Einfaktorielle Varianzanalyse Vergleich mehrerer Mittelwerte
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- Ruth Esser
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1 Einfaktorielle Varianzanalyse Vergleich mehrerer Mittelwerte
2 Es wurden die anorganischen Phosphatwerte im Serum (mg/dl) eine Stunde nach einem Glukosetoleranztest bei übergewichtigen Personen mit Hyperinsulinämie, nicht- Hyperinsulinämie und Kontrollen gemessen. Gibt es Unterschiede zwischen den 3 Gruppen? Beispiel
3 Hypothesen Nullhypothese: Alternativhypothese: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = = μ k H 1 : wenigstens ein μ i unterscheidet sich von den anderen Globaltest
4 Voraussetzungen Voraussetzungen: Daten aller Stichproben entstammen normalverteilten Grundgesamtheiten Varianzhomogenität (Faustregel: Verhältnis größter zu kleinster Standardabweichung muss kleiner 2:1 sein; Levene-Test, ) Die Messwerte bzw. Faktorstufen sind voneinander unabhängig
5 Modellbetrachtung yij = μ + α + ε i ij y ij ist die jte Beobachtung (j=1,2,,n i ) in Gruppe i (i=1,2,,k) µ ist das Gesamtmittel α i ist die Differenz zwischen Mittelwert von Gruppe i und dem Gesamtmittel ε ij ist der Fehlerterm
6 Varianzanalyse Vergleicht die Variation zwischen den Gruppen mit der Variation innerhalb der Gruppen. Gesamtvariabilität wird in 2 Komponenten aufgeteilt: Variabilität zwischen Gruppen, und Variabilität innerhalb Gruppen Varianzanalysetafel (ANOVA Tafel)
7 Quadratsummen ( ) 2 2 y y = ( y y ) + ( y ) i j ij.. i j i... i j ij yi. 2 SST SSB SSW SST: SSB: SSW: Gesamt-Quadratsumme Quadratsumme der Behandlungen Fehler-Quadratsumme
8 Varianzanalyse ONEWAY ANOVA y Between groups Within groups Total Sum of Mean Significan Squares df Square F ce 56, ,000 42,000,000 6,000 9,667 62, Wir können die Nullhypothese verwerfen.
9 Varianzanalyse df = (n 1) = (n k) + (k 1) SS / df = mittlere Quadrate (MQ) Entstammen alle Gruppen derselben Grundgesamtheit, dann sollten die Varianzen, also die Mittleren Quadrate, MQ zwischen und MQ innerhalb, gleich groß sein. MQ MQ zwischen innerhalb = = 1 k 1 1 k 1 k i= 1 k n i n ( y y ) ( i y ) ij yi. i= 1 j= 1 i
10 Varianzanalyse Sind diese nicht gleich groß, d.h. ist der Quotient aus MQ zwischen und MQ innerhalb größer als der kritische Wert der F-Verteilung (bestimmt durch df 1, df 2 und α), so wird die Nullhypothese verworfen. Fˆ > F k ( 1; n k; α ) H0 verwerfen df 1 = k 1; df 2 = n - k D.h. Es gibt Gruppen mit unterschiedlichen Mittelwerten, mindestens zwei µ i sind voneinander verschieden.
11 Post-hoc Tests Multiple Vergleiche, p-werte müssen korrigiert werden. Bonferroni Die Unsicherheit (Irrtumswahrscheinlichkeit α=0,05) wird zu gleichen Teilen auf alle Paarvergleiche aufgeteilt. Bei 4 Gruppen gibt es 3+2+1=6 Vergleiche; jeder dieser Tests wird mit α/6 durchgeführt. Die Bonferroni-Korrektur ist konservativ, d.h. sie hält lange an der Nullhypothese fest Alternativen Bonferroni-Holm-Korrektur LSD Least-Signifikant-Difference HSD Honest-Significant-Difference (Tukey) SNK Student-Newman-Keuls
12 Beispiel randomisiertes Blockexperiment Untersucht wurde die Gerinnungszeit von Plasma, das mit vier verschiedenen Methoden behandelt wurde. Von 8 zufällig ausgewählten Patienten einer Population werden je 4 Blutproben genommen und zufällig den 4 Behandlungsmethoden zugeteilt. Die Gerinnungszeiten (min) von diesen 8x4 Plasmen wurden bestimmt. Gibt es Unterschiede zwischen den Behandlungen.
13 Daten randomisiertes Blockexperiment Subject treat1 treat2 treat3 treat4 1 8,4 9,4 9,8 12,2 2 12,8 15,2 12,9 14,4 3 9,6 9,1 11,2 9,8 4 9,8 8,8 9, ,4 8,2 8,5 8,5 6 8,6 9,9 9,8 10,9 7 8,9 9 9,2 10,4 8 7,9 8,1 8,2 10
14 Analyse randomisiertes Blockexperiment Tests der Zwischensubjekteffekte Abhängige Variable: clot_time Quelle Quadratsum me vom Typ III df Mittel der Quadrate F Signifikanz Korrigiertes Modell 92,005 a 10 9,201 14,027,000 Konstanter Term 3196, , ,749,000 subjects 78, ,284 17,204,000 treatments 13, ,339 6,615,003 Fehler 13,774 21,656 Gesamt 3301, Korrigierte Gesamtvariation 105, a. R-Quadrat =,870 (korrigiertes R-Quadrat =,808)
15 Nichtparametrische Methoden Kruskal Wallis Test Friedman Test
16 Weiterführende Methoden Zweifaktorielle ANOVA (die Varianz wird zwei Faktoren und Wechselwirkung zugeschrieben) Mehrfaktorielle ANOVA (MANOVA) ANOVA mit Messwiederholungen (Repeated Measurement mehrere Messungen am gleichen Objekt, häufig ein zeitlicher Verlauf) GLM, ANCOVA, GEE, Mixed Models,..
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