Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 13. Übungsblatt

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1 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmogr Hiko Hoffmnn WS 3/4 Höhr Mthmtik I für di Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläg zum 3. Übungsbltt Aufgb 49 ) Untrsuchn Si, ob di nchfolgndn unigntlichn Intgrl istirn und bstimmn Si im Fll ihrr Eistnz drn Wrt. i) ii) iii) iv) v) d d log) d s cost) d s <, t R) log d b) Zign Si, dss ds unigntlich Intgrl konvrgirt. Lösungsvorschlg: d zu ): zu i): Es si >. Dnn rhltn wir durch zwimligs Anwndn prtillr Intgrtion d = [ ] d = [ ] + d = [ ] = +. Also istirt ds unigntlich Intgrl und s gilt d =. zu ii): Es sin < < b. Dnn gilt sowi d = d = d = d = [ ] = ) [ ] b = ) b.

2 Also istirt ds unigntlich Intgrl und s gilt d =. zu iii): Es gilt für > log) d = Folglich konvrgirt ds unigntlich Intgrl nicht. [ ] log ) = log ) log ). zu iv): Es si >. Zwimligs Anwndn prtillr Intgrtion führt zu bcht s ) [ ] s s cost) d = s cost) s + t sint) d s [ ] s [ ] s = s cost) + s t sint) s s t cost) d, worus sich bzw. ) [ + t s s cost) d = s s ) s cost) d = + t s s s rgibt. Wgn s < folgt lsdnn s cost) d = + t ] s cost) + s t sint) s cost) + s t sint) ) s s ) s = s s + t. Also istirt ds unigntlich Intgrl und s gilt s cost) d = s s +t. zu v): Offnbr gilt log d = [ log ) > für ll. Für > rhltn wir ] = log ) Also istirt ds unigntlich Intgrl istirt dnn br uch ds unigntlich Intgrl unigntlich Intgrl log d nicht konvrgirn. log ). d nicht. Nch dm Minorntnkritrium log d nicht. Somit knn uch ds zu b): Für ll R mit gilt und dmit uch. Frnr hbn wir für < und b > sowi d = [ ] = d = [ ] b =. Nch dm Mjorntnkritrium konvrgirn dhr di unigntlichn Intgrl d und d. Drübr hinus istirt uch ds Rimnn-Intgrl d sttigr Intgrnd uf kompktm Intrvll). Mithin konvrgirt ds unigntlich Intgrl d wi bhuptt.

3 Aufgb 5 Es si R und f, g : [, ), ) zwi Funktionn, von dnn in jd uf lln Intrvlln dr Form [, b] mit b > Rimnn-intgrbl si. Frnr istir dr Lims f) α := und s glt α >. g) Zign Si, dss untr disn Vorusstzungn ds unigntlich Intgrl f) d gnu dnn istirt, wnn dis uf ds unigntlich Intgrl g) d zutrifft. Lösungsvorschlg: Wir nhmn zunächst n, dss ds unigntlich Intgrl g) d istirt. Aufgrund von f) = α istirt in g) > mit f) < α + bzw. f) α + )g) für ll g). D ds unigntlich Intgrl α + )g) d istirt, konvrgirt uch ds unigntlich Intgrl f) d nch dm Mjorntnkritrium. D f ußrdm nch Vorusstzung uf dm Intrvll [, ] Rimnn-intgrbl ist, rhltn wir, dss ds unigntlich Intgrl f) d istirt. Wir nhmn nun umgkhrt n, dss ds unigntlich Intgrl f) d konvrgirt. Wgn α > rhltn wir = >. Mit dm bn Gzigtn folgt dnn di g) f) α Bhuptung.

4 Aufgb 5 ) Es si f : R R in Funktion drrt, dss ds unigntlich Intgrl f) d t istirt. Zign Si, dss dnn t f) d = f) d gilt. b) Wir btrchtn di Funktion f : R R; +. Zign Si, dss ds unigntlich Intgrl f) d nicht istirt, wohinggn dr t Grnzwrt t f) d shr wohl istirt. Lösungsvorschlg: zu ): Nch Vorusstzung gilt und f) d = f) d = f) d f) d. Es si nun ɛ > blibig. Dnn istirn in b > und in < drrt, dss f) d f) d < ɛ für ll b b und f) d f) d < ɛ für ll rfüllt sind. Für ll t m{b, } rhltn wir dnn t t f) d f) d f) d f) d + f) d worus di Bhuptung folgt. zu b): Für b > gilt < ɛ + ɛ = ɛ, [ ] b + d = log + ) = log + b ), f) d wshlb ds unigntlich Intgrl f) d nicht istirt. Für t > gilt llrdings t [ ] t + d = log + ) = log + t ) log + ) ) ) =, t t d.h., s gilt t f) d =.

5 Aufgb 5 ) Skizzirn Si di folgndn Mngn mit Bgründung!). i) {z C : < Rz) < } ii) {z C : z = Rz) + } iii) {z C \{ i} : Im z i z+i ) = } b) Bstimmn Si Rl- und Imginärtil sowi Btrg und in Argumnt dr nchfolgnd ufgführtn kompln Zhln. i) ii) +i +i 3 i 3 R \{, }) ) Lösungsvorschlg: zu ): Im Folgndn idntifizirn wir C mit R und schribn z = + iy mit, y R für z C. zu i): Es gilt {z C : < Rz) < } = {, y) R :, )}. Dhr rhltn wir: y zu ii): Wir stzn A := {z C : z = Rz) + }. Dnn gilt für z = + iy di nchsthnd Folg von Äquivlnzn z A + y = + + y = + und + y = + + und y ) = und.

6 Für ll y R gilt jdoch y ) ) =, sodss wir { {z C : z = Rz) + } =, y) R : = } y ) { =, y) R : y {± + } und } rhltn. Dis führt zu: zu iii): Für z C \{ i} gilt z i z + i und dhr uch = z i)z + i) z + i = z i)z i) z + i = z iz + z) z + i = z z + i Rz) z + i i Im ) z i = Rz) z + i z + i. Somit rgibt sich {z C \{ i} : Im z i z+i ) = } = {, y) R : = und y }. Dis lifrt:

7 y zu b): zu i): Es gilt + i = + i und dhr uch R ) +i = sowi Im ) +i =. Es folgt + i = ) ) + = Schlißlich folgt us bcht ) Im ) +i R ) = +i =, +. dss rctn) in Argumnt von +i ist, flls, ) \ {}, und dss rctn) + π in Argumnt von +i ist, flls > gilt. zu ii): Es gilt sowi rctn ± i 3 = Dmit rhltn wir jtzt + i ) 3 i π i 3 = 3 worus R +i 3 i 3 Argumnt von ) =, Im +i 3 i 3 + ± 3) = ± ) 3 = rctn ± ) 3 = ± π 3. +i 3 i 3 i π 3 ) π i = ) 3 = πi 67 =, ) = und +i 3 i 3 ) = folgt. Frnr ist in ).

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