Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Transkript

1 Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 3 Funktionen mehrerer Variablen

2 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen ii Modul 3 für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften Winter 2002/03 Erstausgabe, basierend auf einem Vorlesungsskript von H. Kraft Winter 2003/04 Grafische Überarbeitung, kleine Ergänungen Winter 2004/05 Kleine Änderungen Winter 2006/07 MathTpe. Erweiterung Herbst 203 Straffung last modified: 5. Deember 203 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 2, 405 Basel Inhalt Warum Funktionen mehrerer Variablen?.... Beispiele....2 Problem der Darstellung Ansicht, Schrägbild Niveaulinien Weitere Beispiele Lineare Funktion in und Sattelfläche Affensattel Beispiel im Raum Ableitung bei mehreren Variablen. Partielle Ableitungen Erinnerung Analogie Partielle Ableitungen Beispiel Tangentialebene Erinnerung: Tangente Analogie: Tangentialebene Beispiel Höhere partielle Ableitungen Eessives Beispiel Differential Erinnerung Analogie, Kettenregel Richtungsableitung Nochmals Niveaulinien Erinnerung, speielle Richtungen Beliebige Richtung Beispiel Der Gradient Definition... 6

3 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen iii 4.2 Richtungsableitung mit Gradient Erinnerung: Skalarprodukt Richtungsableitung Folgerungen Beispiele Der Nabla-Operator Zusammenfassung Funktionen weier Variablen Partielle Ableitungen Gradient Nabla Operator... 2

4 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen Warum Funktionen mehrerer Variablen? Die meisten Funktionen in Naturwissenschaften und Technik hängen von mehreren Variablen ab.. Beispiele. Der Flächeninhalt eines Rechteckes hängt von Länge und Breite ab. Rechtecksfläche = f (, ) = Rechtecksfläche 2. Die Temperatur in diesem Raum hängt von allen drei räumlichen Koordinaten ab, alsot,, ( )..2 Problem der Darstellung ( ), kann in einem, -Koordinatensstem Eine Funktion einer Variablen, also = f dargestellt werden. Der Funktionsgraph ist in der Regel eine Kurvenstück über der - Achse. = f 2 Funktion einer Variablen

5 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 2 Für eine Funktion weier Variablen, also = f (, ), brauchen wir bereits ein räumliches,, -Koordinatensstem. 0 0 ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) Räumliches Koordinatensstem Der Funktionsgraf wird hier u einem Flächenstück über der,-ebene. Wie kann das auf dem Papier dargestellt werden? Eine Funktion dreier Variablen bräuchte u ihrer grafischen Darstellung einen vierdimensionalen Raum. Wir studieren im Folgenden die Funktion f (, ) = in verschiedenen Darstellungsarten..2. Ansicht, Schrägbild f (, ) = 2 + 2, Schrägbild und Sicht von vorne und von oben Die hier auftretenden Netlinien heißen: -Linie: ist variabel, ist fest -Linie: ist fest, ist variabel In der Sicht von vorne sind die -Linien in unvererrt erkennbar (Parabeln).

6 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen Niveaulinien Niveaulinien (Höhenlinien) sind horiontale Schnitte auf bestimmten Höhen. Sie werden in der,-ebene dargestellt. Beispiel: f (, ) = Niveau Null: Niveau Eins: f (, ) = = 0 Genau der Nullpunkt erfüllt diese Bedingung f (, ) = = Die Niveaulinie ist der Einheitskreis Niveau Zwei: f (, ) = = 2 Die Niveaulinie ist der Kreis mit Radius 2 Allgemein: Niveau c: f (, ) = = c Die Niveaulinie ist der Kreis mit Radius c f (, ) = 2 + 2, Niveaulinien für die Niveaus 0,,, 6 Je dichter die Niveaulinien, um so steiler die Fläche. In unserem Beispiel sind alle Niveaulinien Kreise. Das heißt, dass die Fläche eine Rotationssmmetrie aufweist (Rotationsparaboloid, vgl. Parabolantenne oder Scheinwerferspiegel).

7 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 4 Die folgende Figur eigt das Paraboloid mit Niveaulinien für die Niveaus 0,,..., 6 in Schrägbild, Grund- und Aufriss. Im Grundriss sehen wir die Niveaulinien als Kreise, im Aufriss als äquidistante horiontale Geraden. (Aus softwaretechnischen Gründen hat das Paraboloid unten eine unschöne Spite. Zwischen den Niveaus wird geradlinig gearbeitet.).3 Weitere Beispiele.3. Lineare Funktion in und Beispiel: f, ( ) = Paraboloid: Schrägbild, Grundriss, Aufriss Diese Funktion ist linear in und in. Die Fläche im Raum ist eine (schiefe) Ebene. Bei geeigneter Sicht sehen wir daher nur eine Gerade. f (, ) = in verschiedenen Ansichten (für [ 0,] und [ 0,] ) Die Niveaulinien sind parallele Geraden.

8 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen Sattelfläche Beispiel: f, f (, ) =, Niveaulinien für die Niveaus 0, 0.2, 0.4,, 2 ( ) =. Diese Funktion ist uns schon bei der Rechtecksfläche begegnet. [ ], [,] erhalten wir die Ansicht: Für den Ausschnitt, Für die Niveaulinien gilt: Niveau Null: f (, ) =, Ansicht, Sicht von oben, Sicht von vorne f (, ) = = 0 dies ist für = 0 oder = 0 erfüllt (Achsen) Niveau c: f (, ) = = c dies ist für = c erfüllt (Hperbeln)

9 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 6 Tal Berg Berg - Tal f (, ) =, Niveaulinien für die Niveaus -, -0.9,, 0.9, Im ersten und dritten Quadranten haben wir positive Funktionswerte, im weiten und vierten Quadranten negative Funktionswerte. Der Nullpunkt ist ein Passpunkt oder Sattelpunkt: in wei Richtungen geht es hinauf, in wei Richtungen hinunter..3.3 Affensattel Wo ist das Niveau Null? f (, ) = = 0

10 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 7 Der Computer liefert bei pfleglicher Behandlung folgende Niveaulinien: Berg Tal Tal Berg Berg Tal Niveaulinien von f (, ) = Wir haben drei Berge und drei Täler (Affensattel)..3.4 Beispiel im Raum ( ). Statt Niveaulinien haben wir hier Niveauflächen (Punkte glei- Temperatur = T,, cher Temperatur). f (, ) = 3 3 2, Affensattel: Ansicht, Blick von oben

11 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 8 2 Ableitung bei mehreren Variablen. Partielle Ableitungen 2. Erinnerung Lokale Linearisierung bei einer Funktion einer Variablen. Es ist: f ( ) f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) f( ) 0 Lokale Linearisierung 2.2 Analogie Lokale Linearisierung bei einer Funktion von wei Variablen: Berechnung von a f (, ) f 0, 0 ( ) + a( ) + b( )? 0? 0

12 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen Partielle Ableitungen Partielle Ableitung nach : Partielle Ableitung nach : f ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) = lim Ableitung in -Richtung Steigung einer -Linie f ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) = lim Ableitung in -Richtung Steigung einer -Linie f (, 0 ) f 0, ( ) f ( 0,) f 0, ( ) Somit wird: f (, ) f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) 2.3. Beispiel Damit wird: Anwendung: f ( 3.02, 7.) =? f (, ) = f (, ) = f (, ) = 2 f (, ) = f (, ) = 2 Eakte Berechnung mit dem Taschenrechner: f ( 3.02, 7.) = = Approimative Berechnung:

13 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen Tangentialebene 2.4. Erinnerung: Tangente Bei einer Funktion einer Variablen liefert g der Tangente an der Berührungsstelle 0. ( ) = f ( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) die Gleichung f( ) Analogie: Tangentialebene ( ) hat als Graphen eine Fläche. Die Linearisie- Eine Funktion weier Variablen f, rung: Tangente bei einer Funktion einer Variablen g(, ) = f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) ergibt die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle ( 0, 0 ) Beispiel Wir suchen die Tangentialebene an den Grafen der Funktion f, ( ). Stelle 0.6,0.8 ( ) = an der

14 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen Fläche mit Berührungsstelle ( 0.6, 0.8) und Berührungspunkt ( 0.6, 0.8, ) Fläche mit Tangentialebene, verschiedene Ansichten 2.5 Höhere partielle Ableitungen Zweimalige partielle Ableitung nach : f = 2 f 2 Einmal nach und einmal nach abgeleitet: f = 2 f Zweimalige partielle Ableitung nach : f = 2 f 2

15 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen Eessives Beispiel f (, ) = 4 7 Feststellung: Die Reihenfolge der partiellen Ableitungen spielt keine Rolle. 2.6 Differential 2.6. Erinnerung d 0 Echte Abweichung: Δ f 0 = d Echte Abweichung und Differenial ( ) d Differenial: d = f ( 0 ) d Übergang ur Kettenregel: = f ( ( t) ) d dt = f ( ( t) ) d dt

16 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen Analogie, Kettenregel Δf = f, ( ) f ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) ( 0 ) + f 0, 0 d oder Δ Echte Abweichung: Δf f d + f d ( ) ( 0 ) + r, d oder Δ ( ) Differenial: Übergang ur Kettenregel: df = f d + f d ( ( )) f ( t), t df dt = f d dt + f d dt Beispiel f (, ) = 2 ( t) = e 3t ( t) = tan( t)

17 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 4 3 Richtungsableitung 3. Nochmals Niveaulinien In welcher Richtung ist die Steigung am größten? 3.2 Erinnerung, speielle Richtungen f = f f = f Ableitung in -Richtung, Ableitung in -Richtung, Steigung einer -Linie Steigung einer -Linie 3.3 Beliebige Richtung 0 r cos( ) sin( ) g 0 Richtungsvektor r Wir geben eine beliebige Richtung durch einen Vektor r = cos α sin( α ) an. Es ist r =. Die Punkte auf der Geraden g können mit dem Parameter t durch beschrieben werden. ( ) = 0 + t cos( α ) ( ) = 0 + t sin( α ) t t ( )

18 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 5 Wir leiten nun an der Stelle ( 0, 0 ) in Richtung r ab. Dies bedeutet: Somit gilt: f r ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) cos( α ) + f ( 0, 0 ) sin( α ) 3.3. Beispiel ( ) =. Die Niveaulinien kennen wir bereits: f, Niveaulinien von f (, ) =

19 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 6 Aus f, ( ) = folgt f = und f =. Wir leiten an der Stelle ( 0, 0 ) = (, ) in wei verschiedenen Richtungen ab: Rechtwinklig u den Höhenlinien, steilster Anstieg. Es ist α = 45 = π. Wir erhalten: In Richtung der Höhenlinie, kein Anstieg Es ist α = 45 = π. Wir erhalten: 4 4 Der Gradient 4. Definition Unter dem Gradient einer Funktion f (, ) verstehen wir folgenden Vektor: grad( f )( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) ( ) f 0, 0, einfacher: grad f ( ) = f Unter dem Gradient einer Funktion f (,, ) verstehen wir folgenden Vektor: grad( f )( 0, 0, 0 ) = ( ) ( ) ( ) f 0, 0, 0 f 0, 0, 0 f 0, 0, 0 f, einfacher: grad( f ) = Für eine Funktion von n Variablen ist der Gradient entsprechend ein Vektor im n- dimensionalen Raum. f f f

20 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen Richtungsableitung mit Gradient 4.2. Erinnerung: Skalarprodukt a = a a 2, b = b b 2 b a Skalarprodukt: Vektoren mit Zwischenwinkel a b = a b + a 2 b 2 a b = a b cos γ ( ) Richtungsableitung Für die Ableitung einer Funktion f, wir die Formel: f r = f cos( α ) + f sin( α ) ( ) in Richtung des Vektors r = cos( α ) sin( α ) Dies kann nun kürer als Skalarprodukt der beiden Vektoren grad f ( ) r = cos α geschrieben werden: sin( α ) f r = f cos( α ) + f sin( α ) = grad( f ) r ( ) = f fanden f und Folgerungen Ist γ der Winkel wischen den Vektoren grad f Daraus folgt: ( ) und r, so gilt f r = grad( f ) r = grad( f ) r cos( γ )

21 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 8 γ = 0 cos( γ ) = f r maimal γ = π 2 cos γ ( ) = 0 f ( ) = f r = 0 γ = π cos γ r minimal Der Gradient gibt also die Richtung des steilsten Anstieges an. Er steht rechtwinklig u den Niveaulinien Beispiele Beispiel: f(, ) = Die Grafik eigt die Niveaulinien und die Gradientenrichtungen für die Funktion f (, ) =. (Die Gradienten sind verkürt geeichnet, es stimmen nur die Richtungen) Tal 0.5 Berg Berg -0.5 Tal Niveaulinien und Gradientenrichtungen Beispiel Affensattel Die Grafik eigt die Niveaulinien und die Gradientenrichtungen für den Affensattel. (Die Gradienten sind verkürt geeichnet, es stimmen nur die Richtungen.)

22 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 9 Berg Tal 0.5 Tal Berg Berg Tal Niveaulinien und Gradientenrichtungen des Affensattels Die Menge sämtlicher Gradienten einer Funktion wird als Gradientenfeld beeichnet. Ein Gradientenfeld ist ein Sonderfall eines Vektorfeldes.

23 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 20 5 Der Nabla-Operator Der Nabla-Operator dient einer kuren Schreibweise, es gibt hier also nichts u verstehen. Der Nabla-Operator ist ein Pseudovektor : Es sei nun f, = oder = ( ) eine Funktion von wei Variablen. Dann können wir schreiben: f = f = f f = grad( f ) Wir tun so, wie wenn wir den Pseudovektor mit dem f multipliieren. Entsprechendes geht auch für eine Funktion von drei Variablen. Generell haben wir: f = grad( f ) Wir werden später weitere Anwendungen dieser Schreibweise mit dem Nabla-Operator kennen lernen. Sein Name stammt von der Beeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte. Im Englischen wird für den Nabla-Operator auch die Beeichnung Del-Operator verwendet (Del wie Delta).

24 Hans Walser: Modul 3, Funktionen mehrerer Variablen 2 6 Zusammenfassung 6. Funktionen weier Variablen Darstellung als Fläche im Raum. -Linien und -Linien. Niveaulinien (Höhenlinien) 6.2 Partielle Ableitungen f ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) = lim f ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) = lim Tangentialebene an der Stelle ( 0, 0 ) : f (, 0 ) f 0, ( ) f ( 0,) f 0, ( ) g(, ) = f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) Höhere partielle Abeilungen: f = 2 f, f 2 = 2 f, f = 2 f. Reihenfolge des Ableitens spielt keine 2 Rolle. Kettenregel: 6.3 Gradient grad f df dt = f d dt + f d dt ( ) = f f, grad f ( ) = f f f Richtung des steilsten Anstieges. Orthogonal u Niveaulinien oder Niveauflächen. Richtungsableitung: f r = grad( f ) r 6.4 Nabla Operator Pseudovektor: = Anwendung: f = grad( f ) oder =