Mathematik fur die Fachschule Technik
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- Joseph Pfeiffer
- vor 5 Jahren
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1 Heinz Rapp Mathematik fur die Fachschule Technik 4., verbesserte Auflage Unter Mitarbeit von Dieter Janda Herausgegeben von Kurt Mayer Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden
2 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Rapp, Heinz: Mathematik fur die Fachschule Technik / Heinz Rapp. Unter Mitarb. von Dieter Jonda. Hrsg. von Kurt Mayer. - 4., verb. Aufl. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1991 (Viewegs Fachbiicher der Technik) ISBN-13: e-isbn-13: : / Auflage , berichtigte Auflage , uberarbeitete Auflage , verbesserte Auflage 1991 Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 1991 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fallen bedarf deshalb der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Umschlaggestaltung: Hanswerner Klein, Leverkusen Satz: Vieweg, Wiesbaden Gedruckt auf saurefreiem Papier ISBN-13:
3 v Vorwort Mit diesem neuen Werk wird ein Lehrbuch der Mathematik vorgestellt, das ganz auf die Belange der Praxis abgestimmt ist. I nhaltlich umfa~t es den gesamten Lehrstoff der Mathematik der Fachschulen fur Technik, ist aber in seinen wesentlichen Zugen so gehalten, da~ einer Verwendung in anderen Schularten, die zu einem mittleren Bildungsabschlu~ (Fachschulreife) fuhren, nichts im Wege steht. Der didaktische Leitgedanke war, grundlegende Kenntnisse anwendungsorientiert zu vermitteln, ohne dabei die angemessene begriffliche und mathematische Sorgfalt au~er acht zu lassen. Dabei wurde eine geeignete Auswahl mathematisch-technischer Aufgaben getroffen, die speziell fur Fachschulen von Bedeutung sind. Bewu~t wurde auf Aufgaben aus Physik und angewandten Gebieten verzichtet, die durch ausfiihrliche Sachklarungen den mathematischen Sachverhalt uberwuchern wurden. Die knappe Darstellung und die konsequente Zweispaltigkeit der Buchseiten, bei denen der erklarende Text der praktischen Ausfuhrung mathematischer Berechnungen gegeniibergestellt ist, erleichtert das schnelle und grundliche Einarbeiten in das Stoffgebiet. Viele Aufgabenbeispiele mit Losungsgang erlauben es dem Benutzer, sein Konnen und Wissen selbst zu uberprufen und geben damit einen Anreiz, auch die schwierigeren Anwendungsaufgaben anzugehen. In besonderer Weise eignet sich deshalb das Buch auch zum Selbststudium. Heinz Rapp Bad Cannstatt, im Juni 1983
4 VI I nhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Teil I: Algebra 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen Zahlen..., Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden Mengen Aufzahlende Mengenschreibweise Beschreibende Mengenschreibweise Mengendiagramme Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen) Mengenverkniipfungen (Mengenoperationen) Gesetze der Mengenverkniipfung Symbole fiir Relationen und I ntervalle Symbole der Logik Terme Rechnen mit Termen Addition Addition positiver Zahlen Addition negativer Zahlen Addition positiver und negativer Zahlen Subtraktion Rechnen mit Klammerausdriicken Multiplikation Grundgesetze der Multiplikation Produkte mit negativen Zahlen Multiplikation mit Null (Nullprodukt) Multiplikation mit Summentermen (Distributivges.) Multiplikation mit gleichen Summentermen (Binomische Formeln) Division Rationale Zahlen Erweitern von Bruchtermen Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen Kiirzen von Bruchtermen Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Vorzeichenregeln bei negativen Briichen Die Null in Divisionsaufgaben Multiplizieren von Bruchtermen Dividieren von Bruchtermen... 38
5 I nhaltsverzeichnis 3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen Aquivalenz von Aussageformen Losungsverfahren fur lineare Gleichungen Einfache lineare Gleichungen Bruchgleichungen Gleichungen mit Formvariablen (Formeln) Lineare Ungleichungen Begriffsklarung Aquivalenzumformungen bei Ungleichungen Einfache Ungleichungsformen Bruchungleichungen Textliche Gleichungen Allgemeine textliche Gleichungen Mischungsaufgaben Bewegungsaufgaben Behalteraufgaben Arbeitsaufgaben Funktionen des 1. Grades Der Funktionsbegriff Darstellung von Funktionen Funktionsdarstellung im Koordinatensystem Das rechtwinklige Koordinatensystem Das Polarkoordinatensystem Funktionsdarstellung Von Geraden Die lineare Funktion x---mx Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y = mx + b (Hauptform der Geradengl.) Andere Formen der Geradengleichung Punkt-Steigungs-Form Zwei-Punkte-Form Achsenabschnittsform Hesse-Form der Geradengleichung Winkel zwischen Geraden Winkel zwischen Gerade und x-achse (Steigung und Steigungswinkel)..., Schnittwinkel zweier Geraden Orthogonalitat bei Geraden Graphische Darstellung linearer Zusammenhange Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen Graphisches Losungsverfahren bei Gleichungen mit zwei Variablen Rechnerische Losungsverfahren bei Gleichungen mit zwei Variablen Das Gleichsetzungsverfahren Das Einsetzungsverfahren Das Additionsverfahren Gleichungssysteme mit Bruchtermen Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen.... VII
6 VIII I nhaltsverzeichnis 5.4 Textaufgaben mit zwei Variablen Mischungsaufgaben Bewegungsaufgaben Behalteraufgaben Vermischte Aufgaben Lineare Ungleichungssysteme Lineares Optimieren , Potenzen Potenzbegriff Potenzrechnung Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation von Potenzen Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleichem Exponenten Division von Potenzen Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleichem Exponenten Potenzieren von Potenzen Erweiterung des Potenzbegriffs auf Potenzen mit ganzen negati ven Hochzahlen, auf ao und a Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen) Potenzen von Binomen Potenzfunktionen DieFunktionx~xn (nein) Achsensymmetrische Parabeln (n gerade) Punktsymmetrische Parabeln (n ungerade) Die Funktionenxt--x- n (nein) Punktsymmetrische Hyperbeln (n ungerade) Achsensymmetrische Hyperbeln (n gerade) Wurzeln Wurzelbegriff Ouadratwurzeln Der Wurzelwert als positive Zahl... ; Wurzeln als irrationale Zahlen Der Allgemeine Wurzelbegriff Rechnen mit Wurzeltermen Ouadratische Gleichungen Rechnerische Losung quadratischer G leichungen ReinquadratischeGleichungen Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied (Defektquadratische Gleichungen) Gem ischtquadratische G leichungen Koeffizientenregel von Vieta B iquadratische G leichungen... " Ouadratische Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungsvariablen Textaussagen. die auf quadratische Gleichungen fiihren
7 Inhaltsverzeichnis IX 12 Quadratische Funktionen Die allgemeine quadratische Funktion xt--ax 2 + bx +c und ihre graphische Darstellung Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung Graphische Losung quadratischer Gleichungen Wurzelfunktionen Ouadratwurzelfu nktionen Wurzelfunktionen hoherer Ordnung Wurzelgleichungen Wurzelgleichungen mit einer Variablen (Ouadratwurzelgleichungen) Wurzelgleichungen mit zwei Variablen Exponentialfunktionen Die allgemein Exponentialfunktion Die e-funktion Logarithmen Logarithmenbegriff Logarithmensysteme Zehnerlogarithmen Natiirliche Logarithmen Das Rechnen mit Logarithmen Logarithmengesetze Logarithmische Berechnung von Termen Logarithmusfunktionen Die allgemeine Logarithmusfunktion Die natiirliche Logarithmusfunktion Exponentialgleichu ngen Kreisgleichungen Mittelpunktgleichung eines Kreises Allgemeine Kreisgleichung Kreis u nd Gerade Das Dualsystem Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen Rechnen mit Dualzahlen Das Dezimal-Dual-System (BCD Code) Schaltalgebra Grundfunktionen Rechengesetze der Schaltalgebra Darstellung von Verkniipfungsgliedern im Signalschaltplan
8 x Inhaltsverze!chnis Teil II: Geometrie 1 Mathematische Abkiirzungen und Bezeichnungen Grundbegriffe der Geometrie Linien Geometrische Grundfiguren Winkel WinkelmaBe Winkelarten Winkel am Dreieck Geometrische Konstruktionen Geometrische Ortslinien Definition Arten von Ortslinien Besondere Dreiecke - Symmetrische Dreiecke Kongruenz bei Dreiecken Grundkonstruktionen von Dreiecken Besondere Linien und Punkte im Dreieck Dreieckskonstruktionen FUichensiitze am rechtwinkligen Dreieck Satz des Pythagoras Kathetensatz (Euklid) Hohensatz Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke Berechnung des gleichschenkligen Dreiecks Berechnung des gleichseitigen Dreiecks Ahnlichkeit und Strahlensiitze Strahlensatze Streckenteilung und Mittelwerte Stetige Teilung (Goldener Schnitt) Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Seitenverhaltnisse als Winkelfunktionen Definitionen der Winkelfunktionen Langen- und Winkelberechnungen am rechtwinkligen Dreieck Die Sinusfunktion Die Kosinusfunktion Die Tangens- und Kotangensfunktion Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen Winkelfunktionen beliebiger Winkel Die Graphen der Winkelfunktionen Die Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung Die Schaubilder der Tangens- und Kotangensfunktion
9 I nhaltsverzeichnis XI 10 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck Sinussatz Kosinussatz Flachenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks Summen- und Differenzgleichungen von Winkelfunktionen (Additionstheoreme) Funktionen von Winkelvielfachen und Winkelteilen Gleichungen mit Winkelfunktionen (Goniometrische Gleichungen) Fliichenberechnung Geradlinig begrenzte Fliichen Kreisfermig begrenzte Flachen Kerperberechnung Prismatische Kerper Pyramidenfermige und kegelfermige Kerper Pyramide und Pyramidenstumpf Kegel und Kegelstumpf Kugelfermige Kerper Vollkugel Kugelteile Kugelabschnitt (Kugelsegment) Kugelschicht Kugelausschnitt (Kugelsektor) Schiefe Kerper Satz des Caval ieri Simpsonsche Regel Oberflachen und Volumina von Rotationskerpern (Guldinsche Regel) Losungen Teil I Losungen Teil " 451 Sachwortverzeichnis
10 XII In vielen Fa"en wird noch mit den fruheren Bezeichnungen IN und INo gearbeiteto Das Buch ist deshalb auf diese Bezeichnungen abgeste"to So "ten die neuen Bezeichnungen eingefuhrt sein, so sind folgende Festlegungen fur die Standardmengen zu berucksichtigen: Standardmengen nach DIN 5473 IN = {O; 1; 2,.. o} (bisher INo ) 71. = Menge der ganzen Zahlen ~ = Menge der rationalen Zahlen IR = Menge der ree"en Zahlen I CC = Menge der komplexen Zahlen in*=in\{o}={1;2;3;.. o} (bisherin) 71. * = 71.\ {OJ; 71.: = {xl x E 71.*!\ x> O} ~ * = ~\ {O}; ~: = {x I x E ~*!\ x > O} 1R* = 1R\ {OJ; 1R: = {xl x E 1R*!\ x > O} CC ={zlz=a+bi!\a, beir!\i=yi=1}
Teil I: Algebra.
Teil I: Algebra 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen 1 1.1 Zahlen 1 1.2 Mengen 1 1.2.1 Aufzählende Mengenschreibweise 1 1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise 2 1.2.3 Mengendiagramme 2 1.2.4 Beziehungen
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