Heinz Rapp. Mathematik fur Fachschulen Technik
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- Erwin Albrecht
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1 Heinz Rapp Mathematik fur Fachschulen Technik
2 Heinz Rapp Mathematik fur Fachschulen Technik 3., Uberarbeitete Auflage Unter Mitarbeit von Dieter Jonda Herausgegeben von Kurt Mayer Friedr. Vieweg & Sohn BraunschweiglWiesbaden
3 1. Auflage , berichtigte Auflage , uberarbeitete Auflage 1988 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann. Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig 1988 Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschlitzt. Jede Verwertung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fallen bedarf deshalb der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Umschlaggestaltung: Hanswerner Klein, Leverkusen Satz: Vieweg, Wiesbaden Buchbinderische Verarbeitung: W. Langelliddecke, Braunschweig ISBN-13: DOl: 10. I 007/ e-i SBN-I3:
4 v Vorwort Mit diesem neuen Werk wird ein Lehrbuch der Mathematik vorgestellt, das ganz auf die Belange der Praxis abgestimmt ist. I nhaltlich umfafh es den gesamten Lehrstoff der Mathematik der Fachschulen fiir Technik, ist aber in seinen wesentlichen Ziigen so gehalten, da~ einer Verwendung in anderen Schularten, die zu einem mittleren Bildungsabschlu~ (Fachschulreife) fiihren, nichts im Wege steht. Der didaktische Leitgedanke war, grundlegende Kenntnisse anwendungsorientiert zu vermitteln, ohne dabei die angemessene begriffliche und mathematische Sorgfalt au~er acht zu lassen. Dabei wurde eine geeignete Auswahl mathematisch-technischer Aufgaben getroffen, die speziell fiir Fachschulen von Bedeutung sind. Bewu~t wurde auf Aufgaben aus Physik und angewandten Gebieten verzichtet, die durch ausfiihrliche Sachklarungen den mathematischen Sachverhalt iiberwuchern wiirden. Die knappe Darstellung und die konsequente Zweispaltigkeit der Buchseiten, bei denen der erklarende Text der praktischen Ausfiihrung mathematischer Berechnungen gegeniibergestellt ist, erleichtert das schnelle und griindliche Einarbeiten in das Stoffgebiet. Viele Aufgabenbeispiele mit Losungsgang erlauben es dem Benutzer, sein Konnen und Wissen selbst zu iiberpriifen und geben damit einen Anreiz, auch die schwierigeren Anwendungsaufgaben anzugehen. In besonderer Weise eignet sich deshalb das Buch auch zum Selbststudium. Heinz Rapp Bad Cannstatt, im Juni 1983
5 VI I nhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Teil I: Algebra Mathematische 8egriffe und Schreibweisen Zahlen., Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden Mengen Aufzahlende Mengenschreibweise Beschreibende Mengenschreibweise Mengendiagramme Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen) Mengenverkniipfungen (Mengenoperationen) Gesetze der Mengenverkniipfung Symbole fiir Relationen und I ntervalle Symbole der Logik Terme Rechnen mit Termen Addition Addition positiver Zahlen Addition negativer Zahlen Addition positiver und negativer Zahlen Subtraktion Rechnen mit Klammerausdriicken Multiplikation Grundgesetze der Multiplikation Produkte mit negativen Zahlen Multiplikation mit Null (Nullprodukt) Multiplikation mit Summentermen (Distributivges.) Multiplikation mit gleichen Summentermen (Binomische Formeln) Division Rationale Zahlen Erweitern von Bruchtermen Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen Kiirzen von Bruchtermen Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Vorzeichenregeln bei negativen Briichen Die Null in Divisionsaufgaben Multiplizieren von Bruchtermen Dividieren von Bruchtermen... 38
6 I nhaltsverzeichnis V II 3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen Aqu ivalenz von Aussageformen Losungsverfahren fur lineare Gleichungen Einfache lineare Gleichungen Bruchgleichungen Gleichungen mit Formvariablen (Formeln) Lineare Ungleichungen Begriffskliirung Aquivalenzumformungen bei Ungleichungen Einfache Ungleichungsformen Bruchungleichungen Textliche Gleichungen Allgemeine textliche Gleichungen Mischungsaufgaben Bewegungsaufgaben Behiilteraufgaben Arbeitsaufgaben Funktionen des 1. Grades Der Funktionsbegriff Darstellung von Funktionen Funktionsdarstellung im Koordinatensystem Das rechtwinklige Koordinatensystem Das Polarkoordinatensystem Funktionsdarstellung von Geraden Die lineare Funktion x... mx Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y = mx +b (Hauptform der Geradengl.) Andere Formen der Geradengleichung Punkt-Steigungs-Form Zwei-Punkte-Form Achsenabschnittsform Hesse-Form der Geradengleichung Winkel zwischen Geraden Winkel zwischen Gerade und x-achse (Steigung und Steigungswinkel) Schnittwinkel zweier Geraden Orthogonalitiit bei Geraden Graphische Darstell ung linearer Zusammenhiinge Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen Graphisches Losungsverfahren bei Gleichungen mit zwei Variablen Rechnerische Losungsverfahren bei Gleichungen mit zwei Variablen Das Gleichsetzungsverfahren Das Einsetzungsverfahren Das Additionsverfahren Gleichungssysteme mit Bruchtermen Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen
7 VIII I nhaltsverzeichnis 5.4 Textaufgaben mit zwei Variablen M ischungsaufgaben Bewegungsaufgaben Behiilteraufgaben Vermischte Aufgaben Lineare Ungleichungssysteme Lineares Optimieren Potenzen Potenzbegriff Potenzrechnung Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation von Potenzen Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleichem Exponenten Division von Potenzen Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleichem Exponenten Potenzieren von Potenzen Erweiterung des Potenzbegriffs auf Potenzen mit ganzen negativen Hochzahlen, auf ao und a Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen) Potenzen von B inomen Potenzfunktionen Die Funktionx... x n (neini Achsensymmetrische Parabeln (n gerade) Punktsymmetrische Parabeln (n ungerade) Die Funktionen xr.x- n (n E IN) Punktsymmetrische Hyperbeln (n ungerade) Achsensymmetrische Hyperbeln (n gerade) Wurzeln Wurzelbegriff Ouadratwurzeln Der Wurzelwert als positive Zahl Wurzeln als irrationale Zahlen Der Allgemeine Wurzelbegriff Rechnen mit Wurzeltermen Ouadratische Gleichungen Rechnerische L6sung quadratischer Gleichungen Reinquadratische G leichungen Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied (Defektquadratische Gleichungen) Gemischtquadratische Gleichungen Koeffizientenregel von Vieta BiquadratischeGleichungen Ouadratische Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungsvariablen Textaussagen, die auf quadratische Gleichungen fiihren
8 I nhaltsverzeichnis IX 12 Ouadratische Funktionen Die allgemeine quadratische Funktion xt-ax 2 + bx + c und ihre graphische Darstellung... " Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung Graphische L6sung quadratischer Gleichungen Wurzelfunktionen Quadratwurzelfunktionen Wurzelfunktionen h6herer Ordnung Wurzelgleichungen Wurzelgleichungen mit einer Varia bien (Quadratwurzelgleichungen) Wurzelgleichungen mit zwei Variablen Exponentialfunktionen Die allgemein Exponentialfunktion Die e Funktion Logarithmen Logarithmenbegriff Logarithmensysteme Zehnerlogarithmen Naturliche Logarithmen Das Rechnen mit Logarithmen Logarithmengesetze Logarithmische Berechnung von Termen Logarithmusfunktionen Die allgemeine Logarithmusfunktion Die naturliche Logarithmusfunktion Exponentialgleichungen Kreisgleichungen M ittelpunktgleichung eines Kreises Allgemeine Kreisgleichung KreisundGerade Das Dualsystem Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen Rechnen mit Dualzahlen Das Dezimal-Dual-System (BCD-Code) Schaltalgebra Grundfunktionen Rechengesetze der Schaltalgebra Darstellung von Verknupfungsgliedern im Signalschaltplan
9 x I nhaltsverzeichnis Teil II: Geometrie Mathematische Abkiirzungen und Bezeichnungen Grundbegriffe der Geometrie Linien Geometrische Grundfiguren..., Winkel WinkelmaBe Winkelarten Winkel am Dreieck Geometrische Konstruktionen Geometrische Ortslinien Definition Arten von Ortslinien Besondere Dreiecke - Symmetrische Dreiecke Kongruenz bei Dreiecken Grundkonstruktionen von Dreiecken Besondere Linien und Punkte im Dreieck Dreieckskonstruktionen Flachensatze am rechtwinkligen Dreieck Satz des Pythagoras Kathetensatz (Euklid) H6hensatz Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke 7.1 Berechnung des gleichschenkligen Dreiecks Berechnung des gleichseitigen Dreiecks Ahnlichkeit und Strahlensatze Strahlensatze... ' Streckenteilung und Mittelwerte Stetige Teilung (Goldener Schnitt) Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Seitenverhaltnisse als Winkelfunktionen Definitionen der Winkelfunktionen Langen- und Winkelberechnungen am rechtwinkligen Dreieck Die Sinusfunktion Die Kosinusfunktion Die Tangens- und Kotangensfunktion Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen Winkelfunktionen beliebiger Winkel Die Graphen der Winkelfunktionen Die Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung Die Schaubilder der Tangens- und Kotangensfunktion
10 I nhaltsverzeichnis XI 10 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck Sinussatz Kosinussatz F liichenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks Summen- und Differenzgleichungen von Winkelfunktionen (Additionstheoreme) Funktionen von Winkelvielfachen und Winkelteilen Gleichungen mit Winkelfunktionen (Goniometrische Gleichungen) Fliichenberechnung GeradlinigbegrenzteFliichen Kreisfbrmig begrenzte Flachen Korperberechnung Prismatische Kbrper Pyramidenfbrmige und kegelfbrmige Kbrper Pyramide und Pyramidenstumpf Kegel und Kegelstumpf Kugelfbrm ige Kbrper Vollkugel Kugelteile Kugelabschnitt (Kugelsegment) Kugelschicht Kugelausschnitt (Kugelsektor) Sch iefe Kbrper Satz des Cavalieri Simpsonsche Regel Oberflachen und Volumina von Rotationskbrpern (Guldinsche Regel) Losungen Teill Losungen Teil II Sachwortverzeichnis..., 465
11 XII In vielen Fallen wird noch mit den fruheren Bezeichnungen IN und lno gearbeitet. Das Buch ist deshalb auf diese Bezeichnungen abgestellt. Sollten die neuen Bezeichnungen eingefuhrt sein, so sind folgende Festlegungen fur die Standardmengen zu berucksichtigen: Standardmengen nach DIN 5473 IN = {O; 1; 2,... } (bisher lno) 7l. = Menge der ganzen Zahlen I <Ii = Moo"" doc "tio",i'n Z,hl,n IR = Menge der reellen Zahlen <C = Menge der komplexen Zahlen IN* =IN\ {O}= {1; 2; 3;... } (bisherln) 7l. * = 7l.\ {O}; 7l.: = {xl x E 7l.* A x> O} 02 * = 02\ {O}; 02: = {x I x E 02* A x > O} IR * = IR\ {O}; IR: = {x I x E IR* A x > O} <C ={zlz=a+biaa, beirai=.j=1}
Teil I: Algebra.
Teil I: Algebra 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen 1 1.1 Zahlen 1 1.2 Mengen 1 1.2.1 Aufzählende Mengenschreibweise 1 1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise 2 1.2.3 Mengendiagramme 2 1.2.4 Beziehungen
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