Inhalt. Vorwort 4. Quadratische Funktionen Einführung in das Thema 5-6. Ergänzung von Werten in Wertetabellen 9-10

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1 Inhalt Seite Vorwort 4 1 Quadratische Funktionen Einführung in das Thema Die Funktionsgleichung = Ergänzung von Werten in Wertetabellen Erstellen von Wertetabellen und Zeichnen von Graphen Teil 1: Quadratische Funktionen Scheitelpunkte 21-2 Bestimmung von Funktionsgleichungen Nullstellen 28 - Binomische Formeln 4-5 Bestimmung des Scheitelpunktes bei gemischtquadratischen Funktionen 6-45 Tetaufgaben 46-5 Quadratische Funktionen: Test I 54-6 Allgemeine Bemerkungen zu Parabeln Richtig oder falsch? Quadratische Funktionen: Gestreckte und gestauchte Parabeln Quadratische Funktionen: Berechnung des Scheitelpunktes und der Nullstellen bei gestreckten sowie einer gestauchten Parabel 72-7 Bestimmung der Funktionsgleichungen von gestreckten und gestauchten Parabeln Quadratische Funktionen: Modellieren (Tetaufgaben) Quadratische Funktionen: Test II [Sämtliche Graphen in diesem Heft wurden mit dem Programm MatheGraphi 11.0 von Roland Hammes entworfen und gestaltet.] Seite

2 1 Inhalt Quadratische Gleichungen: Allgemeine Einführung Seite 102 Teil 2: Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen: Methoden Die Herleitung der pq-formel und der abc-formel Quadratische Gleichungen: Aufgaben Teil I Quadratische Gleichungen: Aufgaben Teil II Quadratische Gleichungen: Tetaufgaben Quadratische Gleichungen: Geometrie Quadratische Gleichungen: Satz des Pthagoras Quadratische Gleichungen: Test Was kannst du? Liebe Kolleginnen, liebe Kollegen, Vorwort der vorliegende Band befasst sich ausführlich mit quadratischen Funktionen und Gleichungen. Ausgerichtet am Grundsatz Mathematik (leicht) verständlich unterrichten sind Zielsetzungen des Bandes, grundlegende Kenntnisse zu quadratischen Funktionen sowie Gleichungen zu vermitteln, zu festigen und zu überprüfen. Außer vielfältigen Info(rmations)- und Arbeitsblättern enthält die dargebotene Materialsammlung Tests, die auch als Klassenarbeiten dienen können. Im Test I geht es um Normalparabeln, im Test II um gestreckte und gestauchte Parabeln sowie im Test III um quadratische Gleichungen. Die präsentierte Materialsammlung ist bestimmt für den Einsatz in der Sekundarstufe I, wo sie je nach Leistungsvermögen der Schüler(innen) und gemäß den jeweiligen Lehr- bzw. Bildungspläne in verschiedenen Klassenstufen benutzt werden kann. Alle präsentierten Materialien gingen aus meiner langjährigen Unterrichtstätigkeit als Lehrer hervor. Die Materialsammlung ist als Ganzes kompakt im Mathematikunterricht einsetzbar. Aber auch einzelne aus der Materialsammlung ganz gezielt ausgewählte Blätter sind im Unterricht verwendbar. Beim Einsatz der Materialien wünschen Ihnen viel Erfolg das Team des Kohl- Verlags und Friedhelm Heitmann Seite

3 1 Quadratische Funktionen Einführung in das Thema Der Flächeninhalt von Quadraten wird bekanntlich berechnet nach der Formel: A = a a = a 2 A a a Aufgabe 1: Berechne jeweils den Flächeninhalt der folgenden 5 gezeichneten Quadrate. A 1 cm A = A = 1 cm cm A = 5 cm cm A = A = 2 cm 5 cm 4 cm 2 cm Aufgabe 2: Übertrage die Werte aus Aufgabe 1 in das Koordinatensstem. Dabei soll jeweils die Seitenlänge der Quadrate der -Wert sein, die jeweilige Flächengröße der Quadrate der -Wert. Verbinde im Koordinatensstem die eingetragenen Punkte zu einem Graphen. 4 cm Aufgabe : Was stellst du fest, wenn du den Verlauf des Graphen betrachtet hast? Wie verändern sich die -Werte im Vergleich zu den -Werten? Welche Formel gibt es (wohl) dafür? Seite 5

4 1 Quadratische Funktionen Einführung in das Thema Lösungen Der Flächeninhalt von Quadraten wird bekanntlich berechnet nach der Formel: A = a a = a 2 A a a Aufgabe 1: Berechne jeweils den Flächeninhalt der folgenden 5 gezeichneten Quadrate. A 1 cm 1 cm Aufgabe 2: A = 4 cm 2 A = 9 cm 2 cm A = 16 cm 2 cm A = 1 cm 2 A = 25 cm 2 5 cm 2 cm 5 cm 4 cm 2 cm 4 cm Übertrage die Werte aus der 1. Aufgabe in das Koordinatensstem. Dabei soll jeweils die Seitenlänge der Quadrate der -Wert sein, die jeweilige Flächengröße der Quadrate der -Wert. Verbinde im Koordinatensstem die eingetragenen Punkte zu einem Graphen. Aufgabe : Der Graph verläuft nicht gerade (wie bei linearen Funktionsgleichungen), sondern kurvenförmig. Der -Wert nimmt viel schneller zu als der -Wert. Die Formel für das Verhältnis zwischen den -Werten und den -Werten ist: = = 2 Seite 6

5 2 Die Funktionsgleichung = 2 Im kartesischen Koordinatensstem ist jedem -Wert ein bestimmter -Wert zugeordnet. Wir betrachten die Funktionsgleichung = 2. 2 bedeutet Aufgabe 1: Berechne zu folgenden -Werten die -Werte und notiere sie in der Wertetabelle. Bedenke: Minus mal Minus = Plus Aufgabe 2: Berechne nun zu diesen -Werten die -Werte und notiere sie in der Wertetabelle. Bedenke: Minus mal Minus = Plus ,5 1,5 2,5,5 4,5-0,5-1,5-2,5 -,5-4,5 Aufgabe : Trage jetzt die Koordinaten (= - und zugehörige -Werte) in das kartesische Koordinatensstem ein und verbinde die einzelnen Punkte mit einem Kurvenlineal. Aufgabe 4: Beschreibe auf der Rückseite, wie der Graph der Funktionsgleichung = 2 verläuft. Welche Linie teilt den Graphen in 2 Teile auf? Seite 7

6 Ergänzung von Werten in Wertetabellen Verschieben der Normalparabel auf der -Achse Aufgabe 1: Ergänze die fehlenden Werte in den Wertetabellen. = 2-4 Wertetabelle: = 2-4 ist eine auf der -Achse nach unten verschobene Normalparabel. Seite 9 = 2-4 = = 2 = 2 Wertetabelle: Merke dir: = 2 wird als Normalparabel bezeichnet. = Wertetabelle: = ist eine auf der -Achse nach oben verschobene Normalparabel.

7 4 Erstellen von Wertetabellen und Zeichnen von Graphen Auch auf der -Achse lässt sich die Normalparabel = 2 verschieben. Verschieben der Normalparabel auf der -Achse Aufgabe 2: Stelle jeweils eine Wertetabelle auf und zeichne den jeweiligen Graphen der Funktionsgleichungen: a) = ( - 6) 2 b) = ( + ) 2 = ( +) 2 Wertetabelle: = 2 = ( -6) 2 Wertetabelle: Seite 1

8 11 Quadratische Funktionen: Test I Aufgabe 11: Ergänze zu den beiden anschließend genannten Funktionsgleichungen die fehlenden -Werte in den Wertetabellen. a) = ² Wertetabelle: b) = ² -2 Wertetabelle: Aufgabe 12: Zeichne die Graphen der beiden Funktionsgleichungen im kartesischen Koordinatensstem ein. Aufgabe 1: Berechne jeweils den Scheitelpunkt der zwei Funktionsgleichungen. Aufgabe 14: Berechne, wo sich die beiden Funktionsgleichungen schneiden (= Schnittpunkte). Aufgabe 15: Berechne die Nullstellen der Funktionsgleichungen = ² -2. Seite 60

9 Quadratische Gleichungen Methoden (Überblick) Allgemeines Vorgehen bei der Lösung von gemischtquadratischen Gleichungen mit einer Unbekannten: 1. Schritt: Isolierung der -Glieder (² ; ) auf der linken Seite der Gleichung, d.h. das Absolutglied wird auf die rechte Seite gebracht. 2. Schritt: Veränderungen der linken Seite der Gleichung auf die Form a² + 2ab + b² bzw. a² - 2ab + b² durch die Bildung der quadratischen Ergänzung. Um die quadratische Ergänzung zu bilden, muss der Faktor vor ² stets 1 betragen. Die quadratische Ergänzung wird gebildet, indem der halbe Faktor vor quadriert wird.. Schritt: Umformung der linken Seite der Gleichung gemäß der 1. binomischen Formel oder 2. binomischen Formel: a² + 2ab + b² => (a + b)² a² - 2ab + b² => (a - b)² 4. Schritt: Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung; anschließend Isolierung des -Gliedes auf der linken Seite der Gleichung. 5. Schritt: Durchführung der Probe(n). Seite 106

10 Quadratische Gleichungen Methoden (Überblick) Aufgabe: Löse die folgende Aufgabe mit der quadratischen Ergänzung und mit der pq-formel. ² = 0 Mache schließlich auch die Proben, ob die Gleichung mit deinen Ergebnissen auch wirklich stimmt. Ausrechnung mit quadratischer Ergänzung: Ausrechnung mit der pq-formel: Seite 107

11 7 Quadratische Gleichungen (Tetaufgaben) Beispiel: Multipliziert man eine Zahl mit sich selbst, so ist das Ergebnis genauso viel wie, wenn man vom 12-fachen dieser Zahl die Zahl 27 subtrahiert. Für welche zwei Zahlen gilt diese Aussage? Lösung: = ² = ² -12 = -27 quadr. Ergänzung ² ² = ² ² = binomische Formel ( -6)² = 9-6 = ± +6 Antwortsatz: 1 = 9 2 = Antwortsatz: Die genannte Aussage gilt für die Zahlen 9 und. Aufgabe 2: Multipliziere ich eine Zahl mit sich selbst, ergibt sich als Resultat genauso viel wie, wenn ich zum 9-fachen dieser Zahl die 112 addiere. Rechne aus, für welche zwei Zahlen diese Aussage gilt. Seite 16

12 8 Quadratische Gleichungen (Geometrie) Aufgabe : Berechne die Seitenlängen eines rechteckigen Vorgartens, der einen Umfang von 44 Metern und eine Fläche von 120 m² aufweist. Antwortsatz: Aufgabe 4: Antwortsatz: Eine rechteckige Platte weist eine Flächengröße von 1,28 m² auf. Die Breite der Platte beträgt zweimal so viel wie die Länge. Berechne, wie breit und wie lang die Platte ist. Seite 14

13 10 Quadratische Gleichungen (Test) Aufgabe 2: Berechne die -Werte und mache die Proben. a) 5 ² + 9 = 150 b) 5 ² - 9-2² = 6 ( -2) c) 2 ( -1) -112 = 4 ( -1) Seite 152