Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht

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1 Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Standortplanung Kunden Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 1 Prof Dr Horst W Hamacher

2 Standortplanung Notfallhubschrauber, Centerprobleme und elementare Geometrie Supply Chain Management und Voronoidiagramme Auslieferungslager, Medianprobleme und Kurvendiskussion Center Vertrieb Media Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 2 Prof Dr Horst W Hamacher

3 Literatur 1 PIZ Bad Kreuznach Standortplanung im Unterricht (enthält Theorie und 4 ausgearbetete Unterrichtsreihen von Referendaren) 2 Mathe und Ökonomie Oktober 2004, Kapitel 3 Buch Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 3 Prof Dr Horst W Hamacher

4 Platzierung von Notfallhubschraubern Einsatzorte (bekannt) Standort (unbekannt) für einen Hubschrauber Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 4 Prof Dr Horst W Hamacher

5 Spezialfall: Nur 2 Einsatzorte E 2 E 1 Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 5 Prof Dr Horst W Hamacher

6 Spezialfall: Nur 2 Einsatzorte E 2 E 1 Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 6 Prof Dr Horst W Hamacher

7 Mittelsenkrechte zwischen E 1 und E 2: Mittelpunkt zwischen E 1 und E 2: Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 7 Prof Dr Horst W Hamacher

8 Der beste Standort eines Hubschraubers für 3 Einsatzorte : MS 23 E 2 MS 12 E 3 E 1 MS 13 Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 8 Prof Dr Horst W Hamacher

9 Lösung des 1-Hubschrauberproblems E 2 E 3 E 1 eckige Kreise Gliederu Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 9 Prof Dr Horst W Hamacher

10 Algorithmus zur Lösung des 1-Standortproblems Löse das Problem für alle Triple von Einsatzorten Zeichne den Umkreis für das Triple (spitwinkliges Dreieck) bzw den Kreis um die längste Seite (stumpfwinkliges Dreieck) STOP: Sobald der Kreis alle Einsatzorte enthält Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 10 Prof Dr Horst W Hamacher

11 Algorithmus zur Lösung des 1-Standortproblems Ex 1,Ex 3 Ex 1,Ex 2 Ex 1,Ex 4 Ex 2,Ex 3 Ex 2,Ex 4 Ex 3,Ex 4 Lösung aller Center Standort-probleme mit zwei und drei existierenden Stand-orten (blaue Punkte) Ex 1,Ex 2,Ex 3 Ex 1,Ex 2,Ex 4 Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 11 Prof Dr Horst W Hamacher

12 Mehr als 1 Hubschrauber - Was ist zu tun? Bilde soviele Cluster aus den Einsatzorten, wie Hubschrauber vorhanden sind Löse für jedes Cluster das 1-Hubschrauber Problem Wie bestimmt man Cluster? ZB durch Bestimmung eines Spannenden Baums Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 12 Prof Dr Horst W Hamacher

13 Supply Chain Management Ein einfaches Vertriebsnetzwerk Lieferanten Werke Vertriebszentren Kunden store store Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 13 Prof Dr Horst W Hamacher

14 Vertriebsnetzwerk-Design Werke Vertriebszentren Kunden Typische Entscheidungen: store Wie viele? Vetriebs- Wo? zentren Größe? store Welche Kunden werden von jedem Vertriebszentrum beliefert? Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 14 Prof Dr Horst W Hamacher

15 Input: Schritt 1: Analyse eines existierenden Vertriebsnetzwerks Netzwerkstruktur Kundennachfrage Transportkosten Entscheidungen: Belieferungsmuster: vom VZ zum Kunden Größe der Vertriebszentren Vertriebszentren Kunden store Ziel: Minimierung der Entfernungen store Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 15 Prof Dr Horst W Hamacher

16 Voronoi-Diagramme Für 2 Punkte: Für 3 Punkte: Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 16 Prof Dr Horst W Hamacher

17 Analyse eines existierenden Vertriebsnetzwerks (Forts) Ansatz: Unterteilung der Ebene in N Zellen, V(VZ 1 ),,V(VZ N ) V(VZ i ) = k: k i { 2 x :d(x,vz) } i d(x,vz) k Voronoi-Diagramm VZen Kunden Gliederu Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 17 Prof Dr Horst W Hamacher

18 Auslieferungslager, Medianprobleme und Kurvendiskussion Gegeben sind Standorte von Auslieferungslagern Gesucht ist ein neuer Standort, dessen Gesamtentfernung zu den Auslieferungslagern möglichst klein ist Mathematisches Modell: Standort = Punkt in einem Koordinatensystem gegebene: Ex 1 (a 11 a 22 ),,Ex M (a M1 a M2 ) neuer (unbekannt) X(x 1,x 2 ) Entfernung =??? Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 18 Prof Dr Horst W Hamacher

19 Vergleich von Standorten Ex 1 Ex 2 Ex 1 Ex 2 X X Ex 3 Ex 3 Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 19 Prof Dr Horst W Hamacher

20 Entfernung a m2 Ex m Rechteckentfernung: a m1 -x 1 + a m2 -x 2 x 2 l 2 (Ex m,x) X a m1 -x 1 a m2 -x 2 Maximumsentfernung: max{ a m1 -x 1, a m2 -x 2 } Euklidische Entfernung: x 1 a m1 l ( Ex, X) = ( a x ) + ( a x ) m m1 1 m2 2 mit Hilfe des Satzes von Pythagoras Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 20 Prof Dr Horst W Hamacher

21 Geometrische Lösung für 3 Standorte und Euklidische Entfernung 4 Simpson Linien Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 21 Prof Dr Horst W Hamacher

22 Geometrische Lösung für 3 Standorte und Euklidische Entfernung 4 Simpson Linien 2 X Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 22 Prof Dr Horst W Hamacher

23 Kurvendiskussion und Standortplanung Abstrakte Formulierung des Optimierungsproblems: minimiere M 2 M l2( Exm, X) = ( am 1 x1) + ( am2 x2) m= 1 m= 1 über alle X(x 1 x 2 ) zu schwer!!! ersetze euklidische durch quadratisch, euklidische Enfernung Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 23 Prof Dr Horst W Hamacher

24 Kurvendiskussion und Standortplanung M = m1 1 + m2 2 m= 1 f( x, x ): (( a x ) ( a x ) ) ist minimal genau dann, wenn minimal ist: M f( x ): = ( a x ) 1 m1 1 m= 1 und 2 M f( x ): = ( a x ) 2 m2 2 m= 1 2 Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 24 Prof Dr Horst W Hamacher

25 Kurvendiskussion und Standortplanung M f( x ): = ( a x ) 1 m1 1 m= 1 2 minimal, genau dann, wenn M f '( x ) : = 2( a x ) = 0 1 m1 1 m= 1 genau dann, wen x 1 = M m= 1 a M m1 Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 25 Prof Dr Horst W Hamacher

26 Mathematik und Standortplanung Bessere Modelle Fehlende Differenzierbarkeit: M = m1 1 + m2 2 m= 1 f( x, x ): ( a x ) ( a x ) Wende Iterationsverfahren an (Konvergenzverhalten?, Startlösung? Häufigkeit der Anfahrten ist unberücksichtigt: M = wm m1 1 + am2 2 m= 1 f( x, x ): ( a x ) ( x ) Bei Standorten: Flächen statt Punkte Gliederu Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 26 Prof Dr Horst W Hamacher

27 Standorttheorie Verbotene Gebiete Barrieren Wege, Kreise Multikriteriell Distanzmaße LOLA Library of Location Algorithms Roboter Buslinien Industrieanlagen Notfallanlagen Krebstherapie GIS SAP IBM Kommunen Verkehrsverbünde DKFZ Arcview Markant Krankenhäuser ptv Standortanwendungen END Speyer, Juni Beispiele mathematischer Medellierung Seite 27 Prof Dr Horst W Hamacher