DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 240/476 c Ernst W. Mayr

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1 1.4.4 Laplace-Prinzip in kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsräumen Das folgende Beispiel zeigt, dass im kontinuierlichen Fall die Bedeutung von gleichwahrscheinlich nicht immer ganz klar sein muss. Bertrand sches Paradoxon Wir betrachten einen Kreis mit einem eingeschriebenen gleichseitigen Dreieck. Was ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die Länge einer zufällig gewählten Sehne die Seitenlänge dieses Dreiecks übersteigt (Ereignis A)? DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 240/476

2 Ë Ö ¾ ½¾¼ Æ Ë Å Å ³ DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 241/476

3 Beobachtungen: Die Seiten des Dreiecks haben Abstand r 2 vom Mittelpunkt M. Die Lage jeder Sehne ist (bis auf Rotation um M) durch einen der folgenden Parameter festgelegt: Abstand d zum Kreismittelpunkt, Winkel ϕ mit dem Kreismittelpunkt. Wir nehmen für jeden dieser Parameter Gleichverteilung an und ermitteln Pr[A]. 1 Sei d [0, r] gleichverteilt. A tritt ein, wenn d < r 2, und es folgt Pr[A] = Sei ϕ [0, 180 ] gleichverteilt. Für A muss gelten ϕ ]120, 180 ], und es folgt somit Pr[A] = 1 3. Siehe auch diese graphischen Darstellungen! DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 242/476

4 2. Wichtige stetige Verteilungen 2.1 Gleichverteilung f(x) = F (x) = { 1 b a x für x [a, b], 0 sonst. 0 für x < a, f(t) d t = x a b a für a x b, 1 für x > b. E[X] = a + b 2 und Var[X] = (a b)2 12. DWT 2.1 Gleichverteilung 243/476

5 2.2 Normalverteilung Die Normalverteilung nimmt unter den stetigen Verteilungen eine besonders prominente Position ein. Definition 98 Eine Zufallsvariable X mit Wertebereich W X = R heißt normalverteilt mit den Parametern µ R und σ R +, wenn sie die Dichte besitzt. f(x) = 1 2πσ exp ( (x µ)2 2σ 2 ) =: ϕ(x; µ, σ) In Zeichen schreiben wir X N (µ, σ 2 ). N (0, 1) heißt Standardnormalverteilung. Die zugehörige Dichte ϕ(x; 0, 1) kürzen wir durch ϕ(x) ab. DWT 2.2 Normalverteilung 244/476

6 Die Verteilungsfunktion zu N (µ, σ 2 ) ist F (x) = 1 x ) (t µ)2 exp ( 2πσ 2σ 2 d t =: Φ(x; µ, σ). Diese Funktion heißt Gauß sche Φ-Funktion (ϕ ist nicht geschlossen integrierbar). DWT 2.2 Normalverteilung 245/476

7 Lemma 99 I := Beweis: Wir berechnen zunächst I 2 : ( I 2 = = e x2 /2 d x = 2π. ) ( e x2 /2 d x e y2 /2 d y e (x2 +y 2 )/2 d x d y. Wir gehen nun zu Polarkoordinaten über und setzen x := r cos φ und y := r sin φ. Dann ist x y r r = cos φ sin φ r sin φ r cos φ = r(cos2 φ + sin 2 φ) = r x φ y φ ) DWT 2.2 Normalverteilung 246/476

8 Beweis (Forts.): und wir erhalten I 2 = = 2π 0 2π 0 0 e r2 /2 r d r d φ = 1 d φ = 2π. 2π 0 [ e r2 /2 ] 0 d φ DWT 2.2 Normalverteilung 247/476

9 1,0 ¼ ½ ¾ 1,0 ¼ ½ ¾ 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0,0 0,0-3,0-2,0-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0-3,0-2,0-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 Dichte und Verteilung von N (0, σ 2 ) DWT 2.2 Normalverteilung 248/476

10 Satz 100 (Lineare Transformation der Normalverteilung) Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit X N (µ, σ 2 ). Dann gilt für beliebiges a R \ {0} und b R, dass Y = ax + b normalverteilt ist mit Y N (aµ + b, a 2 σ 2 ). Beweis: Wir betrachten zunächst den Fall a > 0 : Pr[Y y] = Pr[aX + b y] = Pr = 1 2πσ (y b)/a [ X y b a exp ( (u µ)2 2σ 2 ] ) d u. Nach der Substitution u = (v b)/a und d u = (1/a) d v erhalten wir DWT 2.2 Normalverteilung 249/476

11 Beweis (Forts.): Pr[Y y] = 1 y ) (v aµ b)2 exp ( 2πaσ 2a 2 σ 2 d v. Also Y N (aµ + b, a 2 σ 2 ). Für a < 0 verläuft der Beweis analog. DWT 2.2 Normalverteilung 250/476

12 Sei also X eine beliebige N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable X und Y := X µ σ. Dann ist nach Satz 100 Y N (0, 1)-verteilt. Y heißt auch normiert. Ferner gilt [ a µ Pr[a < X b] = Pr < Y b µ ] σ σ ( ) ( ) b µ a µ = Φ Φ σ σ. DWT 2.2 Normalverteilung 251/476

13 Satz 101 X sei N (0, 1)-verteilt. Dann gilt E[X] = 0 und Var[X] = 1. Beweis: E[X] = 1 2π x exp ) ( x2 d x. 2 Da der Integrand punktsymmetrisch zu (0, 0) ist, folgt E[X] = 0. DWT 2.2 Normalverteilung 252/476

14 Beweis (Forts.): Mittels Lemma 99 und durch partielle Integration erhalten wir ) 2π = exp ( x2 d x 2 ) = x exp ( x2 ) + x 2 exp ( x2 d x 2 2 }{{} = 0 Daraus folgt, dass E[X 2 ] = 1 ist und somit Var[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = 1. DWT 2.2 Normalverteilung 253/476

15 Satz 102 X sei N (µ, σ 2 )-verteilt. Dann gilt E[X] = µ und Var[X] = σ 2. Beweis: Y := X µ σ ist standardnormalverteilt. Ferner gilt gemäß der Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz E[X] = E[σY + µ] = σ E[Y ] + µ = µ und Var[X] = Var[σY + µ] = σ 2 Var[Y ] = σ 2. DWT 2.2 Normalverteilung 254/476

16 2.3 Exponentialverteilung Die Exponentialverteilung ist in gewisser Weise das kontinuierliche Analogon zur geometrischen Verteilung. Wie die geometrische Verteilung ist sie gedächtnislos. Sie spielt daher vor allem bei der Modellierung von Wartezeiten eine große Rolle. DWT 2.3 Exponentialverteilung 255/476

17 Definition 103 Eine Zufallsvariable X heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ, λ > 0, wenn sie die Dichte { λ e λx falls x 0, f(x) = 0 sonst besitzt. Für die entsprechende Verteilungsfunktion gilt (für x 0) F (x) = x 0 λ e λt d t = Für x < 0 gilt selbstverständlich F (x) = 0. [ e λt] x 0 = 1 e λx. DWT 2.3 Exponentialverteilung 256/476

18 E[X] = 0 t λ e λt d t [ ] = t ( e λt ) + e λt d t 0 0 [ = ] λ e λt = 1 0 λ. DWT 2.3 Exponentialverteilung 257/476

19 Analog erhalten wir E[X 2 ] = = 0 t 2 λ e λt d t [ t 2 ( e λt ) ] = λ E[X] = 2 λ 2 2t e λt d t und somit Var[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = 1 λ 2. DWT 2.3 Exponentialverteilung 258/476

20 2,0 1,6 ¼ ½ ¾ 1,0 0,8 1,2 0,6 0,8 0,4 0,4 0,2 ¼ ½ ¾ 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Dichte und Verteilung der Exponentialverteilung DWT 2.3 Exponentialverteilung 259/476

21 2.3.1 Eigenschaften der Exponentialverteilung Satz 104 (Skalierung exponentialverteilter Variablen) Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter λ. Für a > 0 ist die Zufallsvariable Y := ax wieder exponentialverteilt mit dem Parameter λ/a. Beweis: F Y (x) = Pr[Y x] = Pr[aX x] [ = Pr X x ] ( x ) = F X a a = 1 e λx a. DWT 2.3 Exponentialverteilung 260/476