Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Stetige Verteilungen

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1 Materialien zur Lösung der folgenden Aufgaben: - in Übung 3 beigefügte Tabelle Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter und stetiger Zufallsgrößen - Übersicht - beigefügte Tabelle spezieller stetiger Verteilungen im Anhang dieses Übungsblattes Aufgabe Die Zeit X (in Jahren bis zum Ausfall eines Kühlaggregates soll durch eine Verteilungsdichte modelliert werden. 00 Messungen ergaben folgende Klassenhäufigkeitstabelle: Klasse Ki (in Jahren [0- [- [-3 [3-4 [4-5 [5-6 [6-7 [7-8 Anzahl Hn(KI a Zeichen Sie das Histogramm b Schätzen Sie aus den Daten die erwartete Lebensdauer EX! c Passen Sie eine geeignete Dichtefunktion an das Histogramm an! Geben Sie dabei die Funktionsgleichung der Dichtefunktion an und schätzen Sie alle unbekannten Parameter in dieser Funktion aus der Stichprobe! Skizzieren Sie die Dichtefunktion! d Berechnen Sie mit Hilfe Ihrer Dichtefunktion den Anteil aller Kühlaggregate, die bereits nach h ausfallen! e Berechnen Sie mit Hilfe der Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig aus der Grundgesamtheit ausgewähltes Kühlaggregat die mittlere Lebensdauer der Stichprobe überschreitet!

2 Aufgabe Bei der Produktion von Wellen wurden Abweichungen des Wellendurchmessers von einer Norm festgestellt. Bei früheren Messungen der Wellendurchmesser X wurde ein Histogramm erstellt und daraus auf eine stetige Gleichverteilung für X geschlossen, X~ [a,b]. Für stetige Zufallsgrößen ist bekannt, dass gilt EX = (a+b/ und Var(X = (b-a /. ( a Stellen Sie ( nach a und b um! b Die Messungen von X ergaben einen Mittelwert x = 0,5 und eine Streuung s =,. Schätzen Sie daraus die Grenzen a und b von X! c Wieviel % aller Wellendurchmesser sind größer als 0,3 cm? d Eine weitere Stichprobe Jahr später ergab folgende Werte für X (in cm: 0,3 0, 0,3 0,4 0, 0, 0, 0,4 0, 0,3 Berechnen Sie Mittelwert x und Streuung s der Stichprobe. Haben sich die Grenzen a und b verschoben? Aufgabe 3 X sei eine normalverteilte Zufallsgröße, X~N(EX, Var(X. Dabei sind EX=µ, Var X=(σ unbekannt. Berechnen Sie trotzdem die Wahrscheinlichkeiten für folgende Intervalle und stellen Sie diese grafisch als Flächen unter der Dichtefunktion f(x der Normalverteilung dar! a P ( µ σ X µ + σ c P ( µ 3σ X µ + 3σ b P ( µ σ X µ + σ Was stellen Sie fest? Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse in Worten!

3 Aufgabe 4 Eine Geschwindigkeitsmessung an einer Stelle S ergab für die Geschwindigkeit X vorbeifahrender Autos eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert EX = 00 km/h und der Varianz Var(X = (0 km/h, d.h. X~N(00,0 a Was können Sie unter Verwendung der Ergebnisse der Aufgabe 3 aus der Angabe N(00,0 über den Anteil aller Autos schließen, die a zwischen 90 und 0 km/h fahren, a zwischen 00 und 0 km/h fahren, a3 zwischen 80 und 0 km/h fahren, a4 zwischen 00 und 0 km/h schnell sind a5 mehr als 0 km/h schnell sind b In welchem Bereich fahren fast alle Autos? Schließen Sie das nur aus der Angabe N(00,0 (ohne Rechnung! c Wie groß ist der Anteil der Autos, die zwischen 03 und 09 km/h fahren d Wie groß ist der Anteil der Autos, die nicht schneller als 85 km/h fahren? e Problematisch ist aus verkehrstechnischer Sicht eine Geschwindigkeit zu weit unter 00 und zu weit über 00. In welchen Toleranzbereich [00-c, 00+c] um den Erwartungswert EX = 00 km/h herrum liegen 95% aller Geschwindigkeiten, d.h. für welches c sind 0 % aller gefahrenen Geschwindigkeiten als problematisch anzusehen? 3

4 Anhang: Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Verteilung der Zufallsgröße X Stetige Gleichverteilung auf einem Intervall zwischen a und b Exponentialverteilung Normalverteilung Logarithmische Normal- Verteilung Parameter a,b R, a<b λ>0 µ, σ µ R, σ>0 µ, σ µ R, σ>0 Bezeichnung X~R(a,b X~E(λ X~N(µ, σ X~logN(µ, σ Dichtefunktion f ( t = b a 0 falls a t b λe f ( t = 0 λt falls t 0 f ( t = e σ π ( t µ σ, t R f ( t = e σt π 0 (ln t µ σ für t > 0 EX a + b µ λ e σ µ + 4

5 Var(X ( b a λ σ µ + σ σ e ( e Anwendungsgebiete Man weiß: Beobachtungen von X liegen zwischen a und b und es gibt keine Häufung. Beschreibung von Wachstums- oder Abklingvorgängen, Lebensdauern, Bediendauern und Zwischenankunftszeiten. Beschreibung von symmetrischen Häufigkeitsverteilungen. Besonderheiten: siehe * Beschreibung von schiefsymmetrischen Häufigkeitsverteilungen. (Häufung auf der linken Seite nichtnegativer Zufallsgrößen. Wird deshalb auch als nichtinformative Verteilung bezeichnet. - Zeit bis zum ersten Ausfall eines Bauelementes - Telefongesprächsdauern -Wartezeiten - Zwischenzeit zwischen treffenden Signalen - Längen - Gewichte -r IQ -Messfehler -zuf. Rauschen X unterliegt einer logarithmischen Normalverteilung, wenn ln(x eine Normalverteilung besitzt. 5