Wiederholung Analysis

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1 Wiederholung Analysis F( x) sei Stammfunktion zu f( x) f( x) dx = F( x) F ( x) = f( x) Bestimmtes Integral b a f ( x) dx = F( b) F( a) Uneigentliche Integrale x x x f() t 0 F( x) = f() t dt ist monoton wachsend A=F(b)-F(a) a f ( t) dt = F( x) lim F( a), falls der Grenzwert existiert a f ( t) dt = lim F( b) F( x), falls der Grenzwert existiert b b f(x) Stet. Vert. 1

2 Stetige Zufallsgrößen Eine Zufallsgröße heißt stetig, wenn sie alle Werte eines Intervalls annehmen kann. Stetige Zufallsgrößen beschreiben zum Beispiel: Lebensdauer eines Bauelements Wartezeiten auf eine Bedienung Fehler bei Längenmessungen Problem Ist X eine stetige Zufallsgröße, so gilt P(X = x) = 0 für jedes x, d.h. jeder Wert wird mit der Wahrscheinlichkeit 0 angenommen. Eine stetige Verteilung ist also nicht über Punktwahrscheinlichkeiten P(X = x) beschreibbar. Ausweg Anstelle von P(X = x) werden alle Intervallwahrscheinlichkeiten P(X x) für die Charakterisierung der Verteilung betrachtet. Dadurch entsteht eine Verteilungsfunktion. Stet. Vert.

3 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X: Fx ( ) = PX ( x), x Interpretation F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X Werte im Intervall (-, x] annimmt. Eigenschaften der Verteilungsfunktion 1. 0 F( x) 1. F( x) ist monoton wachsend lim F( x) = 0 x lim F( x) = 1 x + Fx ( ) = PX ( x) 0 0 Stet. Vert. 3

4 Intervallwahrscheinlichkeiten Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten Pa ( < X b) = Fb ( ) Fa ( ) PX ( b) = Fb ( ) Pa ( < X b) = Fb ( ) Fa ( ) Pa ( < X) = 1 Fa ( ) Da bei stetigen Zufallsgrößen die Punktwahrscheinlichkeiten P(X = x) gleich Null sind, sind < und bei der Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeiten beliebig austauschbar. Stet. Vert. 4

5 Stetige Zufallsgrößen Die Intervallwahrscheinlichkeiten sind umso größer, je steiler der Anstieg von F(x) ist. Das Anstiegsverhalten von F( x) wird über die erste Ableitung beschrieben: F ( x) = f( x) a b F(b )-F(a ) In Intervallen mit großen Werten steilem Anstieg von F(x), d.h. großen Werten von F ( x) = f( x) liegt X mit hoher Wahrscheinlichkeit, daher bezeichnet man f( x) als Dichte. Stet. Vert. 5

6 Dichte Dichte f( x) einer stetigen Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion F F ( x) = f( x) Eigenschaften der Dichte 1. f( x) 0. + f ( x) dx = F( ) F( ) = 1 3. In Intervallen mit Dichte = 0 liegen (quasi) keine Realisierungen von X 4. In Intervallen mit hoher Dichte liegen ' viele' Werte der Zufallsgröße ( X liegt dort mit hoher Wahrscheinlichkeit) Berechnung der Verteilungsfunktion aus der Dichte F( x) = f () t dt x 5.1 Stet. Vert. 6

7 Count Count Dichte Dichte ist Grenzfall des Histogramms ( n, Klassenbreite 0) Count ,00-1,00 0,00 1,00,00 r ,00-1,00 0,00 1,00,00 r00-3,00 -,00-1,00 0,00 1,00,00 r400 Histogramme von 100, 00 bzw. 400 (normalverteilten) Zufallszahlen mit steigender Klassenanzahl bei fallender Klassenbreite und Dichte der Verteilung Stet. Vert. 7

8 Dichte Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten mit der Dichte b P( a < X b) = f ( x) dx a Pa ( < X b) a P( X a) = f ( x) dx a b P( X b) f ( x) dx > = b PX ( a) a Da bei stetigen Zufallsgrößen die Punktwahrscheinlichkeiten P(X = x) alle gleich Null sind, sind < und bei der Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeiten beliebig austauschbar. b PX ( > b) Stet. Vert. 8

9 Kenngrößen stetiger Verteilungen X sei eine stetige Zufallsgröße mit der Dichte f(x): Erwartungswert E X = x f ( x) dx Varianz Standardabweichung (Streuung) X = x X f x dx Var ( E ) ( ) s = + = x f ( x) dx (E X ) s EX VarX Variationskoeffizient v = (nur bei X >= 0) Stet. Vert. 9

10 Kenngrößen stetiger Verteilungen Vergleich der Formelstrukturen stetige Zufallsgröße Erwartungswert E X = x f ( x) dx Varianz Var X = ( x E X ) f ( x) dx diskrete Zufallsgröße EX = x P( X = x ) k k Var X = ( xk EX ) P( X = xk) k k Formeln bei stetigen und diskreten Zufallsgrößen sind analog Dichte f(x) entspricht der Wahrscheinlichkeitsfunktion p k =P(X=x k ) Integral entspricht dem Summenzeichen Stet. Vert. 10

11 Kenngrößen stetiger Verteilungen u α heißt α - Quantil der Verteilung von X, wenn PX ( < ) =α,0<α< 1 u α Zusammenhang zu Dichte uα P( X < u ) =α f ( x) dx =α α Zusammenhang zu Verteilungsfunktion α= PX ( < u) = Fu ( ) α α α u α u α α Folgerungen links von u α liegen α 100% der Werte von X Ist die Verteilungsfunktion streng monoton, existiert ihre Umkehrfunktion, und es gilt: u F 1 ( α ) α = Stet. Vert. 11

12 Spezielle stetige Verteilungen Wichtige Verteilungen für Modellierung (Auswahl): Gleichverteilung Gl[a,b] Exponentialverteilung exp(λ) Normalverteilung N(µ, σ ) Weibullverteilung W(b,T) Erlangverteilung Erlang(λ,n) Gammaverteilung Γ (a,n) Wichtige Testverteilungen in schließender Statistik: T Verteilung t n χ - Verteilung χ n F Verteilung F m,n Stet. Vert. 1

13 Spezielle stetige Verteilungen Gleichverteilung auf Intervall [ ab, ] Modell [ ] Außerhalb des Intervalls ab, liegen keine Werte von X. Die Wahrscheinlichkeit, dass X Werte in einem Teilintervall von [ ab, ] annimmt, ist nur abhängig von der Intervalllänge, aber nicht von der Lage des Teilintervalls. Bezeichnung: X ~ Gl[a,b] Dichte Verteilungsfunktion Erwartungswert EX = 1 x f( x) = b a 0 sonst [ ab, ] 0 x a x a F( x) = a< x b b a 1 x> b a+ b Varianz VarX = ( b a) 1 a a b b 5. Stet. Vert. 13

14 Normalverteilung Normalverteilung N(µ, σ ) Anwendungen 1. Verteilung zufälliger Messfehler. Verteilung der Summe von vielen unabhängigen Zufallsgrößen 3. Verteilung des Mittelwertes von unabhängigen Zufallsgrößen n 1 X = X für n 30 in guter Näherung n i = 1 i Bedeutung in der Statistik Normalverteilung ist am besten untersuchte stetige Verteilung in Statistik! Stet. Vert. 14

15 Normalverteilung Normalverteilung N(µ, σ ) Dichte : Gaußsche Glockenkurve f( x) = 1 πσ e ( x µ ) σ Parameter µ σ >, 0 Kurvendiskussion: - Maximum in μ - symmetrisch zu μ - Wendepunkte in μ ± σ µ σ µ µ+σ Stet. Vert. 15

16 Normalverteilung Normalverteilung N(µ, σ ) Form der Dichte in Abhängigkeit von den Parametern 1. Die Werte der Zufallsgröße X sind um μ konzentriert. Je größer der Abstand von μ, desto seltener liegen die Werte 3. Je kleiner σ, desto enger ist die Kurve Bedeutung der Parameter Erwartungswert: E X = μ Varianz: Var X = σ² N(0,1) N(0,4) N(1,1) Stet. Vert. 16

17 Normalverteilung Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zu Fuß nicht möglich ( < ) = ( x µ ) σ P a X b e dx b a 1 πσ Es gibt keine Stammfunktion für das Integral, nur tabellierte Werte. Verteilungsfunktion φ ( ) = ( µσ, x 1 ( t µ ) σ x e dt ) πσ Spezialfall µ= 0, σ = 1 Standardnormalverteilung φ ( ) ( ) ( 0, 1) x =φ x Tabellen existieren nur für den Spezialfall der Standardnormalverteilung, für Parameter µ 0, σ 1 ist Transformation erforderlich. Stet. Vert. 17

18 Normalverteilung Transformation in Standardnormalverteilung X sei eine normalverteilte Zufallsgröße, X ~ N(μ, σ ), dann gilt: X µ Z = N(0,1) σ Da die Standardnormalverteilung symmetrisch zu Null ist, existieren Tabellen nur für x 0. Für x < 0 erfolgt eine Umrechnung nach folgender Beziehung: Φ( x) = 1 Φ( x) Beispiel X~ N(, 9), dann ist μ =, σ = Φ (,9)(1) =Φ(0,1) 1 =Φ(0,1) 3 (0,1) ( ) = 1 Φ 0.33 = = Stet. Vert. 18

19 Normalverteilung Standardnormalverteilung: Tabellierte Verteilungsfunktion Auf den Rändern steht das Argument mit maximal Dezimalstellen, im Inneren der entsprechende Funktionswert. 0,00 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00,5000,5040,5080,510,5160,5199,539,579,5319,5359 0,10,5398,5438,5478,5517,5557,5596,5636,5675,5714,5753 0,0,5793,583,5871,5910,5948,5987,606,6064,6103,6141 0,30,6179,617,655,693,6331,6368,6406,6443,6480,6517 0,40,6554,6591,668,6664,6700,6736,677,6808,6844,6879 0,50,6915,6950,6985,7019,7054,7088,713,7157,7190,74 0,60,757,791,734,7357,7389,74,7454,7486,7517,7549 0,70,7580,7611,764,7673,7704,7734,7764,7794,783,785 0,80,7881,7910,7939,7967,7995,803,8051,8078,8106,8133 Ablesebeispiel Φ (0,1) ( 0.33) = Stet. Vert. 19

20 Normalverteilung Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten für X ~ N ( µσ, ) b µ a µ Pa ( < X b) =Φ Φ σ σ a µ Pa ( < X) = 1 Φ σ b µ PX ( b) =Φ σ k- σ- Regel für normalverteilte Zufallsgrößen P( µ σ< X <µ+σ ) = P( µ σ< X <µ+ σ ) = P( µ 3σ< X <µ+ 3 σ ) = für k =1,,3 5.3 Stet. Vert. 0

21 Additionssatz Additionssatz für unabhängige, normalverteilte Zufallsgrößen ( 1 1 ) ( ) X + Y N( µ 1+µ σ 1 +σ) Sei X ~ N µ, σ, Y ~ N µ, σ, dann ist X + Y normalverteilt, und es gilt Folgerung ~,. Die Verteilung der Summe von Zufallsgrößen nennt man Faltung. Eine explizite Berechnung von Faltungen ist oft elementar schwierig. Der Additionssatz besagt, dass eine Faltung von unabhängigen Normalverteilungen wieder eine NV ergibt. X,..., 1 X n seien unabhängig, identisch verteilt nach N ( µσ, ) Dann gilt 1 X = X N µσ n n i ~ (, / ) n 5.4 i = 1 Stet. Vert. 1

22 Quantile der Standardnormalverteilung Die Quantile der Normalverteilung erhält man aus der Verteilungstabelle, indem man α im Inneren der Tabelle als Funktionswert sucht. Das dazugehörige Argument auf dem Rand ist dann das Quantil der Ordnung α. Die Symmetrie der Dichte bewirkt folgende Symmetrie der Quantile zα = z 1 α Spezielle Quantile α α z z z = 1.64 = 1.96 =.33 z α z 1 α Stet. Vert.

23 Exponentialverteilung Exponentialverteilung mit Parameter λ Modell Lebensdauerverteilung mit Nichtalterungseigenschaft 1/λ ist das mittlere Alter einer so verteilten Größe, λ > 0 Bezeichnung: X ~ Exp(λ) Dichte 0 x 0 f( x) = λx λ e x > 0 y F(x) 0.6 Verteilungsfunktion Erwartungswert 0 x 0 F( x) = λx 1 e x > EX = Varianz VarX = λ λ x 5.5 Stet. Vert. 3

24 Exponentialverteilung Nichtalterungseigenschaft der Exponentialverteilung PX ( t+ h/ X t) = PX ( h) für alle t 0, h 0 Interpretation Fällt ein Teil mit exponentiell verteilter Lebensdauer im Intervall (0,t) nicht aus, dann ist Wahrscheinlichkeit, noch länger als h Zeiteinheiten zu leben so groß wie die Wahrscheinlichkeit, als neues Teil (startend in 0) länger als h zu leben. Verteilung des Minimums von Exponentialverteilungen Seien X1, X,..., Xn unabhängige, exponentialverteilte Zufallsgrößen mit den Parametern λ,..., 1 λn Satz Das Minimum min( X1, X,..., X n ) ist exponentialverteilt mit dem Parameter n λ k= 1 k 5.6 Stet. Vert. 4

25 Erlangverteilung Modell Verteilung der Summe von Exponentialverteilungen Seien X1, X,..., Xn unabhängige, exponentialverteilte Zufallsgrößen mit dem gleichen Parameter λ Die Summe X = X1+ X Xn heißt erlangverteilt der Ordnung n mit Parameter λ X ~ Erl(n,λ) (Faltung n unabhängiger exponentialverteilter ZG mit gleichem λ) Verteilungsfunktion Dichte n 1 λ ( λx) F( x) = e k! k= 0 n 1 ( λx) f( x) = λ e ( n 1)! k λx Erwartungswert Varianz n EX = λ n VarX = λ Stet. Vert. 5

26 Exponentialverteilung Anwendung in der Zuverlässigkeitstheorie T sei die zufällige Lebensdauer eines Bauelements, dann ist ihre Verteilung die Ausfallwahrscheinlichkeit PT ( < t) = Ft ( ), t> 0 R sei die (zufällige) Überlebensfunktion/Zuverlässigkeitsfunktion des Bauelements, Rt () = PT ( t) = 1 Ft (), t 0 Mittlere Lebensdauer ET = t f () t dt 0 es gilt ET = R() t dt, falls ET < 0 Ausfallrate (Hazardfunktion) h( x) dx 0 ht () = f()/ t Rt () es gilt Rt () = e Ausfallrate gibt an, mit welcher Chance ein Element im nächsten (beliebig kleinen) Zeitraum ausfallen wird, wenn es bis zum Zeitpunkt t überlebt hat. t 5.7 Stet. Vert. 6

27 Weibullverteilung Weibullverteilung mit den Parametern b und T Modell Lebensdauerverteilung mit zeitabhängiger Ausfallrate (Alterung modellierbar) Bezeichnung: X ~ Wei(b,T), b > 0, T > 0 Verteilungsfunktion T F( x) = 1 e, x 0 b x Dichten für verschiedene b Dichte b x f( x) = T T b 1 x T e b Bedeutung der Parameter T > 0: charakteristische Lebensdauer, das entspricht der Zeit, in der 63.% aller Objekte ausgefallen sind b > 0: Ausfallsteilheit, in der Praxis meist 0.5 < b < 5 ab b = 3.5 Ähnlichkeit mit NV b = 1: Exponentialverteilung mit λ=1/t Stet. Vert. 7

28 Weibullverteilung Verteilungsfunktion T F( x) = 1 e, x 0 b x Alternative Darstellung mit 1 β= b und α= T αx F( x) = 1 e, x 0 β β Dichte Erwartungswert Varianz Ausfallrate b 1 x T b x f( x) = e T T 1 EX = T Γ + 1 b 1 VarX = T Γ + 1 Γ + 1 b b 1 λ ( x) = b x T b b 1 b β 1 αx f( x) = αβx e 1/ 1 EX β =α Γ + 1 β β / β 1 VarX =α Γ + 1 Γ + 1 β β λ ( x) = αβ 1 x β wobei die Gamma-Funktion definiert ist durch y α 1 a e y dy Γ ( ) = 0 Stet. Vert. 8

29 Gamma-Funktion Die Gamma-Funktion ist eine Fortsetzung von f( n) = ( n 1)! auf die reellen Zahlen mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen und Null durch y α 1 a e y dy Γ ( ) = 0 Spezielle Funktionswerte erhält man aus folgenden Eigenschaften: Eigenschaften der Gamma-Funktion Γ (1) = 1 Γ ( n) = ( n 1)! Γ( α ) = ( α 1) Γ( α 1) Γ (1/ ) = π (n 1) Γ n + = π n π Bsp. Γ (3/ ) =Γ (1 + 1/ ) = weitere Funktionswerte sind tabelliert bzw. mit MATLAB berechenbar y x 5.8 Stet. Vert. 9

30 Weibullverteilung Anwendung: Modellierung der Ausfallwahrscheinlichkeit/Lebensdauer von Systemen bei nicht konstanter Ausfallrate Ausfallwahrscheinlichkeit: W( X t) = Ft () = 1 e Zuverlässigkeit: Rt () = 1 Ft () = e b t T b t T Ausfallrate: f() t b t ht () = = Rt () T T b 1 Ausfallrate gibt an, mit welcher Chance ein Element im nächsten (beliebig kleinen) Zeitraum ausfallen wird, wenn es bis zum Zeitpunkt t überlebt hat. b > 1: Ausfallrate λ() t steigt mit t (Verschleißausfälle) b < 1: Ausfallrate λ() t ist monoton fallend (Frühausfälle, dann Stabilität) 1 b = 1: konstante Ausfallrate λ () t = (Exponentialverteilung) T Stet. Vert. 30

31 Stetige Verteilung Wichtige Verteilungen der schließenden Statistik Standardnormalverteilung χ - Verteilung mit n Freiheitsgraden: t - Verteilung mit n Freiheitsgraden: F Verteilung mit (n, m) Freiheitsgraden: Die Freiheitsgrade berechnet man aus dem jeweiligen Stichprobenumfang. Die Werte ihrer Quantile sind für verschiedene Freiheitsgrade und Quantilordnungen α tabelliert. Für ein Quantil u a der Ordnung α jeder der Verteilungsfunktionen F gilt 1 Fu ( ) =α u = F ( α) a a Viele Computerprogramme enthalten die Werte der inversen Verteilungsfunktionen. Stet. Vert. 31

32 Stetige Verteilung χ - Verteilung mit n Freiheitsgraden: χ n = Z + + Zn mit Z i 1... ~ N(0,1), unabhängig χ Die -Verteilungen sind nicht symmetrisch! Daher hat man auch keine Symmetrie in den Quantilen, χ und χ n, α n,1 α können nicht ineinander umgerechnet werden. Ab n > 30 können die Quantile mit denen der NV genähert werden, 1 χn ( z + n 1), α α Stet. Vert. 3

33 Stetige Verteilung t - Verteilung mit n Freiheitsgraden: n n / n / T = Z χ n mit Z ~ N(0,1), χ chi-quadrat-verteilt mit n FG, unabh. von Z Die t-verteilung besitzt die gleiche Symmetrieeigenschaft wie die NV, folglich ist t = 1 α ta Mit wachsendem n nähert sich die t-verteilung der NV, ab n = 30 kann sie durch die der NV in guter Näherung ersetzt werden. Stet. Vert. 33

34 Stetige Verteilung F Verteilung mit (n, m) FG: nm, = ( χn/ ) /( χm/ ) F n m mit χ, χ n m chi-quadrat-verteilt mit n bzw. m Freiheitsgraden, unabhängig Für die Quantile gilt folgende Beziehung f mna.. = f 1 nm,,1 α Stet. Vert. 34

35 Stet. Vert. Nr.

36 Grenzwertsätze Spezialfall: Grenzwertsatz von Moivre-Laplace X np Sei X~ Bin ( np, ), dann nähert sich die Verteilung von Zn = für np(1 p) n der Standardnormalverteilung. 9 (Faustregel: n>, bei p(1 p) p auch n p> ) Damit lässt sich die Binomialverteilung Bin(n,p) durch eine Normalverteilung mit µ= np σ = np p, (1 ) approximieren. Es gilt für X ~ Bin(n,p) x np PX ( x) Φ np(1 p) Approximation mit Stetigkeitskorrektur x np x 0.5 np PX ( = x) Φ Φ np(1 p) np(1 p) 5.9, Stet. Vert. 36

37 Grenzwertsätze Tschebyscheffsche Ungleichung VarY P( Y EY ε), ε> 0 ε Folgerung σ 1 8 P( Y EY 3 σ) =, folglich P( Y EY < 3 σ) 9σ 9 9 Schwaches Gesetz der großen Zahlen Sei EX n ( ) X n n = 1,,... =µ, VarX =σ Dann gilt für alle ε> 0 n eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen mit N 1 lim N P Xn µ ε 0 N = n= 1 Stet. Vert. 37

38 Grenzwertsätze Folgerung Konvergenz der relativen Häufigkeiten eines Ereignisses gegen seine Wahrscheinlichkeit Serie von N unabhängigen, zufälligen Versuchen zur Beobachtung des Ereignisses A X n 1 falls A im n-ten Versuch eintritt = 0 sonst Dann ist PX ( = 1) = p, PX ( = 0) = 1 p, EX = p n n n Nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen gilt für die relative Häufigkeit N 1 fn( A) = Xn N n = 1 N 1 lim N P Xn µ ε lim N P( fn( A) p ) 0 N = ε = n= 1 Stet. Vert. 38

39 Vektoren stetiger Zufallsgrößen X = [X 1, X ] sei Vektor stetiger Zufallsgröße über der gleichen Grundmenge Ω Gemeinsame Verteilungsfunktion F ( x, x ) = P( X x X x ), x, x X Randverteilungen der Komponenten F ( x) = lim F ( x, x ), F ( x) = lim F ( x, x) X x X X x X Die Komponenten X 1, X sind unabhängig, wenn F ( x, x ) = F ( x ) F ( x ), x, x X 1 X 1 X 1 1 Der Vektor heißt stetig verteilt mit der gemeinsamen Dichte x x 1 F ( x, x ) = f ( ξ, ξ ) dξ dξ X 1 X 1 1 fx ( x, x ), wenn Bei Unabhängigkeit ist diese Dichte gleich dem Produkt der Randdichten f ( x, x ) = f ( x ) f ( x ) X 1 X 1 X 1 1 f x F x ' X ( ) = X ( ) i i Stet. Vert. 39

40 Vektoren stetiger Zufallsgrößen X 1, X seien stetige Zufallsgröße mit der gemeinsamen Dichte f X Kovarianz Cov( X, X ) = E( X EX )( X EX ) Korrelation ρ= Cov( X, X ) VarX 1 VarX 1 = ( x EX )( x EX ) f ( x, x ) dx dx 1 1 X 1 1 Mit -1 ρ 1 ist die Korrelation ein Maß für die lineare Abhängigkeit, wobei ρ = 0 für lineare Unabhängigkeit steht. Faltung von X 1, X : Verteilung der Summe Z = X 1 + X Dichte der Faltung bei zusätzlicher Voraussetzung der Unabhängigkeit von X 1, X + f ( z) = f ( z) = f ( x) f ( z x) dx Z X X X X 1 1 Stet. Vert. 40