Kapitel : Exponentiell-beschränktes Wachstum

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Eugen Grosser
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1 Wachsumsprozesse Kapiel : Exponeniell-beschränkes Wachsum Die Grundbegriffe aus wachsum.xmcd werden auch hier verwende! Wir verwenden nun eine Angabe aus der Biologie und in einem weieren Beispiel eines aus der Wirschaf (Bankwesen) Beispiel 3 (exponeniell-beschränkes Wachsum) Biologen beobachen, dass sich Tierpopulaionen, die uner Sress (zb durch Feinde, mangelnde Nahrung, Umweleinflüsse usw.) sehen, zwar vermehren, aber die Zunahmen von einer Generaion auf die nächse abnehmen. Solche Wachsumsvorgänge nähern sich einem Säigungswer an. Bei einer Populaion wurde ewa beobache, dass ihre Zunahme nich proporional zur Größe P() der Populaion is, sondern proporional zur Differenz S-P(). Wir gehen von einer Populaionsgröße P(0) 20 Tieren zur Zei 0 aus und wissen, dass nach Generaion 25 Tiere und nach 2 Generaionen 28 Tiere die Populaion bilden. Wir wollen nun das Model aufsellen uner der oben erwähnen Annahme einer Säigung! Die Zei rechnen wir in Generaionen! 2. Sellen Sie dies in einer Tabelle und in einer Graphik für die ersen 0 Generaionen dar 3. Besimmen Sie die passende Wachsumsfunkion P() und die Wachsumsrae P' () α() P () 4. Selle die Wachsumsrae graphisch dar! Lösung Frage Wir gehen von einer Populaionsgröße P(0) 200 Tieren zur Zei 0 aus und wissen, dass nach Generaion 225 Tiere und nach 2 Generaionen 238 Tiere die Populaion bilden. Wir wollen nun das Model aufsellen uner der oben erwähnen Annahme einer Säigung! Die Zei rechnen wir in Generaionen! Wir geben zunächs die Daen der Angabe und die verwendeen Variablen an: j is die Zahl der Generaionen ORIGIN : 0 P j beschreib die Zahl der Tiere in der Generaion j P : 200 Einwohnerzahl im Jahr 996 (Sargröße) 0 Lösungsansaz : P P λ S P j+ j j Nun wissen wir noch die Zahl der Tiere nach und nach 2 Generaionen Wachsum 3.xmcd von 6

2 P 225 und P Dami haben wir 2 Gleichungen mi den Variablen λ und S: Vorgabe λ ( S 200) λ S : λ ( S 225) Suchen( λ, S) Wir erhalen die Lösungen λ 0.48 und S Naürlich müssen wir hier für S eine ganze Zahl annehmen:wir runden auf 252 ab und erhalen somi vorers die Lösung; S : 252; P: P P P α S P P P α P 252 j+ j j j+ j j oder nach Aufflösen der Regression nach der nächsen Generaion P P + α S P P P α P 252 j+ j j j+ j j Lösung Frage 2 Sellen Sie dies in einer Tabelle und in einer Graphik für die ersen 0 Generaionen dar Wir brauchen ur miels der Formel die ersen 0 Generaionen berechnen: j : P : P + λ S P j+ j j P T Wachsum 3.xmcd 2 von 6

3 graphisch sellen wir die Enwicklung für die 0 Generaionen durch Punke für jede Generaion dar Anzahl der Tiere Anzahl der Generaionen Wir erkennen, dass die Säigung bereis in der 8. Generaion erreich wird! Lösung Frage 3 Besimmen Sie die passende Wachsumsfunkion P() und die Wachsumsrae α() P' () P () Wir sezen in die Wachsumsfunkion y() das Jahr 205 ein: Hier müssen wir zunächs einen Vergleich zum rein exponeniellen Wachsum hersellen. Dor haen wir ein rekursives Wachsum in der Form P ( + p) P und eine j+ j Wachsumsfunkion P () P 0 ( + p) Im Vergleich dazu laue jez die rekursive Darsellung P P + λ S P P ( λ) + λ S j+ j j j Wir schauen uns jez mehrere Schrie ausführlich an: P P ( λ) + 0 λ S λ P P ( λ) + λ S P ( λ ) + λ S ( ) + α S P ( λ) 2 + λ S [ ( λ) + ] P P ( λ) + λ S.. P ( λ) 3 + λ S ( λ) 2 + ( λ) Der erse Teil der Aufgabe für P schein klar zu sein - er ergib P ( λ) j - der 2. Term j+ 0 dagegen bereie ewas Schwierigkeien: wir geben daher hier vorers ohne Begründung das Ergebnis an: λ S ( λ) 2 + ( λ) + S ( λ) j Dami bekomm der ganze rekursive Term die funkionale Darsellung P S S P ( ) j j 0 ( ) λ Wachsum 3.xmcd 3 von 6

4 Wir können dies wieder miels einer Tabelle überprüfen: ( ) λ j : P : S S P j 0 ( ) j P T Als Funkion geschrieben ergib dies: P: P; P 0 : 200 P () S ( S P 0 ) ( λ) P ( ) Für die Wachsumsrae benöigen wir die Ableiung dieser Funkion (einer Exponenialfunkion!): P' () S ( S P 0) ( λ) d P' () 52 d ln Dami is die Wachsumsrae α() gegeben durch α() P' () P () 52 ln Lösung Frage 4 Selle die Wachsumsrae graphisch dar! : α() : Die Wachsumsrae geh offensichlich rasan gegen Null - was durch das Erreichen der Säigung auch zu erwaren war! (In der Säigung gib es kein Wachsum mehr! Wachsum 3.xmcd 4 von 6

5 Beispiel 3 -. Teil Ermieln Sie das Kapial Ende 202, wenn Sie a) am Ende dieses Jahres 4000 einlegen und pro Jahr 3% Zinsen erhalen (KES bereis abgezogen) b) beginnend mi Ende dieses Jahres 000 pro Jahr (immer am Jahresende) einlegen und ebenfalls pro Jahr 3% Zinsen erhalen (KES bereis abgezogen) Beispiel 3-2. Teil Wir haben nun nichs zu sparen, sondern benöigen einen Kredi in der Höhe von 5000 am Ende dieses Jahres. Wir müssen pro Jahr 6% Kredizinsen bezahlen und wollen die Kredischuld in viereljährlichen Raen (beginnend am Ende des. Quarals 2009) zurückzahlen. Wie hoch sind die viereljährlichen Raen, wenn wir am Ende des Jahres 205 schuldenfrei sein wollen? Wir haben diese beiden Beispiele im Unerrich eilweise behandel. In der Daei wachsum4 wird dies noch näher ausgeführ! Bemerkung : Diese beiden Aufgaben sind Sandardprobleme der Finanzmahemaik; der. Teil ensprich einem rein exponeniellen Wachsum; der 2. Teil einem beschränken Wachsum mi Säigung bei NULL! Kurze Zusammenfassung Die wesenlichen Eigenschafen des beschränken Wachsums sind: das Wachsum - Zunahme oder Abnahme - erfolg in derselben Form wie beim exponeniellen Wachsum - allerdings is der Säigungswer zu berücksichigen die Wachsumsfunkion is auch hier eine Exponenial-Funkion, aber vom Typ y () S ( S y 0 ) ( α) die Wachsumsrae is ebenfalls eine Exponenialfunkion, die gegen NULL geh. Wachsum 3.xmcd 5 von 6

6 Übungsaufgaben Ü6 Ein anfangs völlig ungeladener Kondensaor wird an einer Spannung von U 0 2 V über einen vorgeschaleen Widersand von R 00 Ω aufgeladen. Der Kondensaor ha die Kapaziä C 20nF. Der Ladevorgang beschrieb ein beschränkes Wachsum und kann mi der Formel U C () U 0 e λ beschrieben werden. Die in der Formel aufreenden und ( ) oben nich angeführen Größen sind... die Zei in µs (mikrosekunden) λ... die Wachsumskonsane, die für den Ladevorgang charakerisisch is und von R und C abhäng: λ RC U C ()... die Spannung am Kondensaor; is jene Größe mi welcher der Ladevorgang physikalisch gemessen werden kann.. Sellen Sie den Ladevorgang in einem geeigneen Fenser mi Ihrem TR dar und überragen Sie die Darsellung auf Papier. 2. Nach welcher Zei is der Kondensaor geladen (in der Praxis heiß dies: die Spannung U C () is mindesens 99% der Eingangsspannung U 0 ) 3. Zu wieviel % is der Kondensaor nach der Zei geladen? λ Ü7 Ein Wachsumsvorgang, der durch die Gleichung y () y 0 ( p) beschrieben wird kann genau so durch eine Funkion z () z 0 e λ beschrieben werden Besimmen Sie für p 0.06 und y 0 00 die Were z 0 und λ (HINWEIS: berachen Sie zuers den Fall 0 und berechnen Sie daraus z 0 ; danach haben sie in der 2. Funkion nur noch die Variable λ - diese können Sie berechnen, indem Sie einen beliebigen Wer >0 einsezen!) Sellen Sie mi den in. errechneen Weren für λ und z 0 beide Funkionen graphisch dar. Für welchen Wer von is y() 2y 0? Für welchen Wer von is y() 0y 0? Handel es sich bei diesem Wachsum um eine exponenielle Zunahme / exponenielle Abnahme / beschränke Zunahme / beschränkes Wachsum? Woran kann die richige Anwor dafür schon aus der Angabe erkann werden und nich ers aus der graphischen Darsellung? Wachsum 3.xmcd 6 von 6

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