Aufgabe 1: Laplace-Transformation

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1 Aufgabe 1: Laplace-Transformation (25 Punkte) a) Teilaufgabe: 15 Punkte Gegeben sei die folgende Differenzialgleichung dritter Ordnung: mit den Anfangswerten: y (3) (t) + 4 ÿ(t) + ẏ(t) 6 y(t) = 12 u(t) ÿ( 0) = ẏ( 0) = y( 0) = 0. a1) Transformieren Sie diese Differenzialgleichung in den Laplacebereich. a2) Überprüfen Sie die Stabilität des durch die Differenzialgleichung beschriebenen Systems, und begründen Sie Ihre Aussage. a3) Ermitteln Sie die Lösung der Differenzialgleichung für eine rampenförmige Eingangsfunktion der Form: u(t) = { t für: t>0 0 sonst. Sämtliche zu identifizierenden Nullstellen sind betragsmäßig klein und ganzzahlig. 1

2 b) Teilaufgabe: 10 Punkte Gegeben sei ein Regelkreis mit der folgenden Struktur: z(t) w(t) y(t) G R (s) G(s) G S (s) b1) Bestimmen Sie die Störübertragungsfunktion G z (s) des geschlossenen Regelkreises für w(t) = 0: G R (s) = 1+T R s, G(s) = K s 2, G S (s) = 1. Als Störgröße z(t) tritt gelegentlich ein Zeitsignal folgender Form auf: z(t) 2 1 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T t b2) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der dargestellten Funktion z(t). b3) Untersuchen Sie das Endwertverhalten der Ausgangsgröße y(t) dieses geschlossenen Regelkreises für den Fall, dass das Störsignal z(t) einmalig aufgetreten ist (es gilt: w(t) = 0für alle t). 2

3 Aufgabe 2: Strukturbild-Reduktion (20 Punkte) Im folgenden Strukturbild sei das dynamische Verhalten eines Zweitanksystems nach der Modellbildung und Linearisierung wiedergegeben: u(t) 1 A 1 s y 1 (t) K 1 1 A 1 s y 2 (t) K 2 a) Vereinfachen Sie das Strukturbild durch schrittweise grafische Reduktion, und berechnen Sie auf diesem Wege die Übertragungsfunktion G(s) = Y 2(s) U(s). Hinweis: Betrachtungen bezüglich y 1 (t) sind hier nicht gefordert. Die Parameter dieses Zweitanksystems lauten (in normierten Größen): A = 0.2 ; K 1 = K 2 = 0.1 b) Geben Sie die Übertragungsfunktion G(s) im stationären Fall an! c) Handelt es sich beim resultierenden Übertragungssystem G(s) um ein stabiles rationales Übertragungsglied? Ist es schwingfähig? Begründen Sie! 3

4 Aufgabe 3: Stabilitätsnachweise (10 Punkte) Untersuchen Sie die Lage der Nullstellen folgender charakteristischer Systemgleichungen, und treffen Sie eine Stabilitätsaussage: a) b) N W 1 (s) = s 5 + s 4 +6s 3 +5s 2 +12s +20 = 0 N W 2 (s) = s 5 + s 4 +(5+ɛ)s 3 +5s 2 +12s +10. Der Parameter ɛ ist hierbei sehr klein; untersuchen Sie daher zunächst den Fall ɛ =0und danach sehr kleine positive und negative Werte des Parameters ɛ. 4

5 Aufgabe 4: Frequenzkennlinien (20 Punkte) Durch messtechnische Untersuchungen an einem unbekannten Übertragungssystem konnte folgendes BODE-Diagramm gewonnen werden: Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) a) Bestimmen Sie den zugehörigen Frequenzgang G(jω). b) Skizzieren Sie die Lage der Pole und Nullstellen des entsprechenden Übertragungssystems G(s) in der komplexen s-ebene. Das Übertragungssystem G(s) soll nun als Regelstrecke im geschlossenen Kreis betrieben werden. 5

6 w(t) y(t) G R (s) G(s) c) Bestimmen Sie zunächst die Durchtrittsfrequenz ω D und die Phasenreserve ϕ R der Regelstrecke G(s). d) Wählen Sie nun einen Regler G R (s) entsprechend der folgenden Anforderungen für den offenen Regelkreis F 0 (s) =G R (s)g(s): die Durchtrittsfrequenz ω D darf nicht verringert werden, und die Phasenreserve ϕ R soll zur Erhöhung der Schnelligkeit der Regelung etwas abgesenkt werden. 6

7 Aufgabe 5: Wurzelortskurve (25 Punkte) Gegeben sei der abgebildete Standard-Regelkreis F 0 (s) mit der Übertragungsfunktion F 0 (s) = k s +5 (s 2 +2s +2)(s 2 +8s + 17) für: k>0. a) Berechnen und zeichnen Sie den Verlauf der Wurzelortskurve des gegebenen Regelkreises mit Hilfe des WOK-Verfahrens. Hinweise: Bei s = 5.80 gibt es einen Verzweigungspunkt. Die WOK schneidet bei ω = ±3 die imaginäre Achse der s-ebene. b) Wie groß ist der entstehende relative Fehler, wenn man den schwer bestimmbaren Verzweigungspunkt in s = 5.80 nur näherungsweise berechnet, indem man in der entsprechenden Regel des WOK-Verfahrens die beiden entfernten komplexen Pole vernachlässigt? c) Für welche Werte von k ist der geschlossene Regelkreis stabil? d) Welcher k-wert muss eingestellt werden, damit der geschlossene Regelkreis einen Mehrfach-Pol aufweist? e) Der Regelkreis werde gerade an der Stabilitätsgrenze betrieben. Dann besitzt er zwei konjugiert-komplexe Pole auf der imaginären Achse. Sind die übrigen Pole in diesem Fall reell oder komplex (Begründung erforderlich!)? 7