Gleichstromtechnik. Vorlesung 12: Lineare Quellen. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

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1 Gleichstromtechnik Vorlesung 12: Lineare Quellen Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann

2 Motivation deale Quellen sind ein stark idealisiertes Modell realer Quellen Reale Quellen lassen sich in besserer Näherung als lineare Quelle beschreiben Verhalten der Quelle wird über eine Gerade beschrieben, die das Verhältnis von Strom zur Spannung wiedergibt Messpunkte liegen in guter Näherung auf einer Geraden Lineare Anhängigkeit ist Voraussetzung für drei abgeleitete Methoden Quellenwandlung Satz der Ersatzquelle Superpositionsprinzip Strom / ma Messwerte Ausgleichsgerade 9,15 9,2 9,25 9,3 Spannung / V Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 2

3 Mathematische Beschreibung lineare Quellen Bei einer linearen Quelle lässt sich die Abhängigkeit von Strom und Spannung als Gerade darstellen Achsenabschnitte dieser --ennlinie im Erzeuger-Pfeilsystem urzschlussstrom = Leerlaufspannung = Strom k passiv aktiv + Zur mathematischen Beschreibung wird die Zweipolgleichung linearer Quellen hergeleitet Lineare Quelle passiv - Spannung Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 3

4 Mathematische Beschreibung lineare Quellen Ausgangspunkt ist eine Geradengleichung in allgemeiner Form, bei der m die Steigung und c der Achsenabschnitt auf der Ordinate ist m c Zur Bestimmung von m und c werden zwei Bestimmungsgleichungen benötigt, dazu werden die oordinaten der beiden Punkte (, ) und (, ) in die Geradengleichung eingesetzt m c m c Auflösen der Gleichungen führt zu der Geradengleichung von linearen Quellen Eine Quelle mit einer linearen ennlinie kann durch eine Ersatzschaltung ersetzt werden, sie weist das gleiche Verhalten wie die zugehörige reale Anordnung auf Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 4

5 Lineare Stromquelle Geradengleichung kann als Strombilanz im Sinne einer notenregel aufgefasst werden, die zum nebenstehenden Ersatzschaltbild gehört R nnenwiderstand ergibt sich zu R Grenzfälle Leerlauf und urzschluss plausibel Q R R dealfall einer idealen Stromquelle mit = Q ergibt sich aus dem Grenzfall eines unendlichen nnenwiderstandes, ideale Stromquelle besitzt damit einen unendlich hohen nnenwiderstand R lim R lim Q R R Q Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 5

6 Lineare Spannungsquelle Auflösen der Geradengleichung nach Spannung R Geradengleichung einer linearen Quelle kann auch als Summe von Teilspannungen im Sinne einer Maschenregel aufgefasst werden, die zum nebenstehenden Ersatzschalbild gehört Q R R Grenzfälle Leerlauf und urzschluss plausibel dealfall einer idealen Spannungsquelle mit = Q ergibt sich aus dem Grenzfall eines unendlich kleinen nnenwiderstandes, eine ideale Spannungsquelle besitzt damit einen unendlich kleinen nnenwiderstand R, der in Reihe zur Spannungsquelle geschaltet ist lim R R lim R Q Q Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 6

7 Zusammenfassung: Lineare Quellen Lineare Stromquelle R R 1 R Q Lineare Stromquelle R R Q R Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 7

8 Quellenwandlung Lineare Quellen können wahlweise als lineare Stromquellen oder lineare Spannungsquellen dargestellt werden Lineare Stromquellen können in lineare Spannungsquellen gewandelt werden und umgekehrt Q R R Prinzip der Quellenwandlung kann dazu genutzt werden, um Schaltungen bezüglich ihres lemmenverhaltens einfacher zu beschreiben R R Q Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 8

9 Übungsaufgaben: Quellenwandlung mit linearer Strom- oder Spannungsquelle Berechnen Sie bei der oberen Schaltung die Ausgangsspannung A Quellenwandlung R 1 Parallelschaltung von Widerständen Berechnung der Ausgangspannung 1 A R R 2 3 Berechnen Sie bei der unteren Schaltung die Ausgangsspannung R3 Quellenwandlung Berechnung der gesuchten Spannung mit Hilfe eines Spannungsteilers R 2 1 R R 1 3 R3 Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 9

10 Beispiel: Schaltungsvereinfachung durch mehrfache Anwendung der Quellenwandlung Schaltung mit zwei Spannungsquellen und drei Widerständen, Berechnung mit Maschen- und notenregel möglich R 1 R 2 Quellenwandlung hat insbesondere bei komplexen Schaltung einen hohen Nutzen Wandlung in lineare Stromquellen Parallelgeschaltete Stromquellen zusammenfassen Parallel geschaltete Widerstände zusammenfassen Wandlung inlineare Spannungsquelle Lösung über Spannungsteiler 1 R3 R 3 2 Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 1

11 Satz der Ersatzquelle Bei der Zusammenschaltung von Widerständen wird gezeigt, dass beliebige Widerstandsnetzwerke zwischen zwei lemmen als ein einziger Ersatzwiderstand dargestellt werden können Erfahrung lässt sich auf Schaltungen mit Widerständen und linearen Quellen erweitern Eine Schaltung kann auch dann als ein Ersatzzweipol dargestellt werden, wenn sie nur Widerstände und lineare Quellen enthält A A A R R B B B Äquivalente Ersatzspannungs quelle Beliebige lineare Schaltung mit Stromquellen, Spannungsquellen und linearen Widerständen Äquivalente Ersatzstrom quelle Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 11

12 Satz der Ersatzquelle Zunächst unbekannten Größen Q und R der Ersatzspannungsquelle beziehungsweise Q und R der Ersatzstromquelle müssen berechnet oder gemessen werden Quellenspannung Q = Bei Leerlauf an den lemmen A - B liegt die Leerlaufspannung an, die gemessen oder berechnet werden kann, diese Spannung ist die Quellenspannung Q Quellenstrom Q = Der Strom, der über die kurzgeschlossenen lemmen A und B fließt, wird gemessen oder berechnet, der Strom entspricht dem Quellenstrom Q nnenwiderstand R deale Stromquellen werden zu null gesetzt, also entfernt deale Spannungsquellen werden zu null gesetzt, also durch einen urzschluss ersetzt Widerstand zwischen den lemmen A und B entspricht dem nnenwiderstand R Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 12

13 Satz der Ersatzquelle Grenzen der Gültigkeit Äquivalenz bei der Ersatzquellen bezieht sich nur auf das Verhalten an den lemmen, also auf den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung nneren Verluste der idealen Spannungsquelle 2 P R sind bei Leerlauf ( = ) null und bei urzschluss ( = ) maximal nneren Verluste der idealen Spannungsquelle 2 1 P R sind bei urzschluss ( = ) null und bei Leerlauf ( = ) maximal n realen Quellen treten im Allgemeinen sowohl bei Leerlauf als auch bei urzschluss-verluste auf, daraus ergibt sich, dass die inneren Verluste in realen Quellen im Allgemeinen nicht mit den hier vorgestellten Ersatzschaltungen dargestellt werden können Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 13

14 Beispiel: Satz der Ersatzquelle Gegeben ist nebenstehende lineare Schaltung Geben Sie für die dargestellten Schaltungen die Ersatzquellen bezüglich den lemmen (A) (B) in allgemeiner Form und in Zahlenwerten an Ersatzspannungsquelle wird durch die Größen und R beschrieben, die Ersatzstromquelle durch die Größen Q und R 1 4 ma R 4 2k R 1 1k R 2 R 3 5 3k A B Wie groß ist die in der Schaltung umgesetzte Leistung, wenn sie im Leerlaufzustand betrieben wird? Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 14

15 Zusammenfassung: Quellenwandlung und Satz der Ersatzquelle Quellenwandlung Strom- in Spannungsquelle R Quellenwandlung Spannungs- in Stromquelle R Vorgehen bei dem Satz der Ersatzquelle Bestimmung des nnenwiderstandes R nach Entfernen aller Stromquellen und urzschließen aller Spannungsquellen Bestimmung der Leerlaufspannung oder des urzschlussstroms Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 15

16 Bestimmung der enngrößen linearer Quellen Lineare Quellen werden durch die enngrößen, und R bestimmt Zugehörige --ennlinie ist eine Gerade, sie wird durch zwei Punkte festgelegt k 1 enngrößen einer linearen Quelle können mit zwei Messungen zu bestimmt werden Strom 2 Messung des urzschlussstromes ist bei vielen Quellen (Batterien, Akkus) nicht zulässig, da durch die hohen Ströme eine Zerstörung des Bauelements riskiert wird Zur Bestimmung der Geraden werden deshalb zwei messbare Betriebspunkte ( 1, 1 ) und ( 2, 2 ) gewählt 1 2 Spannung Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 16

17 Bestimmung der enngrößen linearer Quellen Steigung der --ennlinie beträgt m 1 R k Bestimmung der Quellenspannung über R zu Strom 1 2 R 1 1 urzschlussstrom ergibt sich zu 1 2 Spannung R Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 17

18 Beispiel: Bestimmung der enngrößen linearer Quellen Zur Bestimmung des Ersatzschaltbildes einer 9-V-Blockbatterie werden zwei Messungen durchgeführt Berechnung des nnenwiderstandes Messung 1 2 Strom / ma 5 1 R,18 V 3,6 5 ma Spannung / V 9,15 8,97 Berechnung der Leerlaufspannung 1 R V+ 3,6 5 ma 9,33 V Berechnung des urzschlussstroms 9,33 V 2,59 A R 3,6 Fakultät für Elektro- und nformationstechnik, Manfred Strohrmann 18