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- Julius Morgenstern
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1 Universität des Saarlandes, Lehrstuhl für Systemtheorie und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG aus SYSTEMTHEORIE UND REGELUNGSTECHNIK I am Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe erreichbare Punkte erreichte Punkte Punkte aus Übungsmitarbeit Gesamtpunktanzahl Bearbeitungshinweise:. Namen, Vornamen und Matrikelnummer auf dem Deckblatt eintragen. 2. Für jede Aufgabe ein neues Blatt beginnen. 3. Auf jedem Blatt den Namen und die Matrikelnummer angeben. 4. Begründen Sie ausführlich Ihre Antworten. Viel Erfolg!
2 . Gegeben ist ein hydro-mechanisches System (siehe Abbildung ) bestehend aus einem drehbar gelagerten Stab der Länge l mit dem Trägheitsmoment J um den Aufhängepunkt und einer Düse. Der Stab wird mit Hilfe einer linearen Drehfeder der Steifigkeit c und eines linearen Dämpfers mit der Dämpfung d gelagert. Auf die Spitze des Stabs wirkt die Druckkraft F p, die sich in der Form F p = A p approximieren lässt, wobei p den Druck in der Düse beschreibt. Der Druck in der Düse wird durch die Differenzialgleichung der Massenerhaltung in der Form d dt p = β V (q q 2 ) mit dem Volumen V der Düse, der Kompressibilität β des Öls sowie den Volumenströmen q und q 2 beschrieben. Der Volumenstrom q 2 ist proportional zur Wurzel des Druckes p, d.h. q 2 = k 2 p (k2 > ) und der Volumenstrom q kann durch q = k u p s p (k >, u > ) mit dem Eingang u des Systems und dem konstanten Versorgungsdruck p s, beschrieben werden. F p q 2 p, V q Düse Abbildung : Skizze des hydro-mechanisches Systems zu Aufgabe. l c d (a) Geben Sie das mathematische Modell des hydro-mechanischen Systems nach Abb. in der Form d x = f (x, u) dt und dem Winkel ϕ als Ausgangsgröße an. Wählen Sie dazu geeignete Zustandsgrößen. Hinweis: Nehmen Sie an, dass die Druckkraft F p immer normal auf den Stab wirkt und vernachlässigen Sie die Gravitation. (b) Berechnen Sie die Ruhelage des Systems für ein allgemeines u > und linearisieren Sie das System um diese Ruhelage. (c) Unter gewissen Vereinfachungen kann das Modell aus a.) in folgender Form [ ] [ ] ẋ= x+ u y = [ ] x mit dem Zustand x, dem Eingang u und dem Ausgang y angeschrieben werden. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) = ŷ(s) sowie die eingeschwungene Lösung des Systems für die û(s) Eingangsgröße u(t) = A sin (ω t + φ) + Bσ(t).
3 2. Lösen Sie folgende Aufgaben: (a) Erklären Sie den Begriff BIBO-Stabilität. Geben Sie für ein lineares, zeitinvariantes Eingrößensystem jeweils ein Kriterium für BIBO-Stabilität im Zeit- und im Frequenzbereich an. (b) In den Abbildungen 2(α) bis 2(γ) sind die Impulsantworten von drei linearen, zeitinvarianten Eingrößensystemen dargestellt. Bestimmen Sie, welche Systeme BIBO-stabil sind und begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie in Ihrer Begründung bei den nicht BIBO-stabilen Systemen eine geeignete beschränkte Eingangsfunktion an, die das jeweilige System im BIBO-Sinne destabilisiert. y(t).5.5 y(t) t [s] (α) t [s] (β) y(t) t [s] (γ) Abbildung 2: Impulsantworten dreier linearer, zeitinvarianter Eingrößensysteme. (c) Gegeben ist die Sprungantwort eines linearen, zeitinvarianten Eingrößensystems y(t) = 2 + ( ) ( 3 6 e t cos 3t + ( )) 3 sin 3t. Ist das System BIBO-stabil? Begründen Sie Ihre Antwort.
4 (d) Gegeben ist das Blockdiagramm in Abbildung 3, wobei die Einzelblöcke in Form von Sprungantworten gegeben sind. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion G u,y (s). u K y T T t 2 Abbildung 3: Blockdiagramm (Einzelblöcke als Sprungantworten dargestellt). (e) Gegeben ist der geschlossene Regelkreis nach Abbildung 4 mit G(s) =. ( + s) 2 s + s. i. Zeichnen Sie das Bode-Diagramm des offenen Kreises L(s) = K G(s) für s K =, 2, 4. Hinweis: Verwenden Sie den beigelegten Vordruck! K s G(s) Abbildung 4: Geschlossener Regelkreis. ii. Geben Sie an, für welche(s) K (K =, 2, 4 ) der geschlossene Regelkreis aus Abbildung 4 nicht BIBO-stabil ist? Begründen Sie anhand Ihres Bode- Diagramms.
5 Betrag [db] ω [rad s ] Phase [ ] ω [rad s ]
6 3. Lösen Sie folgende Aufgaben: (a) Skizzieren Sie das Strukturschaltbild eines geschlossenen Regelkreises mit zwei Freiheitsgraden und einer additiven Störung am Ausgang. Benennen Sie die einzelnen Bestandteile dieses Regelkreises entsprechend der Vorlesung. (b) Wann nennt man eine Führungsübertragungsfunktion T r,y (s) = z(s) für einen n(s) Regelkreis mit zwei Freiheitsgraden implementierbar? (c) Gegeben ist die Strecke G(s) = s s +. i. Entwerfen Sie mit Hilfe des Verfahrens der Polvorgabe mit zwei Freiheitsgraden einen Regler mit Integralanteil für die Strecke G(s). Wählen Sie dafür zunächst eine der folgenden Führungsübertragungsfunktionen für den geschlossenen Kreis so aus, dass der Ausgangsfehler e(t) = r(t) y(t) für t und r(t) = σ(t) verschwindet. Begründen Sie Ihre Wahl. s s T r,y (s) = T (s )(s+) r,y (s) = (2s+ 2 )(2s+2) T r,y (s) = s T (s+) r,y (s) = +s (s ) s T r,y (s) = T (2s+ 2 )(2s+2) r,y (s) = (2s+ 2 )(2s+2) ii. Entwerfen Sie nun den Regler mit Integralanteil. Wählen Sie eventuell benötigte Realisierungspole zu s r = 2. iii. Auf die Strecke soll nun eine sprungförmige Störung d(t)=σ(t) am Ausgang additiv angreifen. Bestimmen Sie den Ausgangsfehler auf Grund der Störung d(t) mit Hilfe der Störübertragungsfunktion T d,y (s). iv. Welchen Einfluss haben Realisierungspole auf das Führungs- und Störverhalten des geschlossenen Kreises. Begründen Sie Ihre Antwort. (d) Bestimmen Sie die Zustandsrealisierung des Regelkreises aus Aufgabe 3c.
7 4. Lösen Sie folgende Aufgaben: (a) Sei A eine reelle n n Matrix für die A = A T gilt, d.h. A ist schief symmetrisch. Zeigen Sie, dass i. x T Ay = y T Ax gilt, wobei x, y K n mit K = R oder K = C, ii. A nur rein imaginäre Eigenwerte besitzt. Hinweis: Es sei bemerkt, dass falls λ C Eigenwert von A mit zugehörigem Eigenvektor x C n ist, ebenfalls das konjugiert komplexe Argument λ Eigenwert von A ist mit zugehörigem Eigenvektor x C n. (b) Ein lineares zeitinvariantes System in der Form ẋ= Ax + bu y = Cx wird mit Hilfe einer regulären Zustandstransformation x = Vz auf Jordanform transformiert. Dabei bezeichnen (Ã, b, C) die Systemmatrizen des transformierten Systems. Folgende Matrizen sind bekannt Φ(t) = [ e 2t e 2t ], C = [ ], C = [ /2 /2 mit der Transitionsmatrix des transformierten Systems Φ(t). ], b = [ ] /2 /2 i. Ist das System global asymptotisch stabil? Begründen Sie ihre Antwort unter Verwendung der Definition der globalen asymptotischen Stabilität. ii. Berechnen Sie die Dynamikmatrix des transformierten Systems Ã. iii. Bestimmen Sie die Eigenwerte des Systems, sowie die Transformationsmatrix V. iv. Geben Sie das untransformierte System (A, b, C) an. v. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktions G(s) = ŷ(s) ˆx(s) C = c T = [ ]. unter der Annahme
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