Hydrodynamik Kontinuitätsgleichung. Massenerhaltung: ρ. Massenfluss. inkompressibles Fluid: (ρ 1 = ρ 2 = konst) Erhaltung des Volumenstroms : v

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1 Hydrodynamik Kontinuitätsgleichung A2, rho2, v2 A1, rho1, v1 Stromröhre Massenerhaltung: ρ } 1 v {{ 1 A } 1 = ρ } 2 v {{ 2 A } 2 m 1 inkompressibles Fluid: (ρ 1 = ρ 2 = konst) Erhaltung des Volumenstroms : v }{{} 1 A 1 = v }{{} 2 A 2 Q 1 1 m 2 Q 2 Massenfluss Volumenstrom

2 Hydrodynamik Beispiel Rohrströmung: A = konst geschlossene Stromröhre Wasserstrahl m 2 m 1 m geschlossenes Kontrollvolumen m 1 = m 2 + m 3 2

3 Kontinuität WICHTIG: In der 1-dimensionalen Kontinuitätsgleichung ist v ein Mittelwert der Geschwindigkeit. In Wirklichkeit ist v nicht konstant wegen Reibungseffekten, Wirbeln,...! h y x Realität v = v(y) v ist konstant in der Kontinuitätsgleichung Der Massenstrom muß der Gleiche sein ρv(y)dy = ρ vh 3

4 Bernoulli 2.Newton sches Gesetz: Masse Beschleunigung = Summe der äußeren Kräfte m d v dt = F a Bewegungsgleichung für ein infinitesimales Element entlang einer Stromlinie g Druck Reibung z s ρ d v dt = p s ρgdz ds R Trägheit Gravitation 4

5 Bernoulli entlang einer Stromlinie: v = v(s, t) totale (substantielle) d v dt = v Beschleunigung eines Partikels d v = v v dt + t s ds t + ds dt v s = v t + v v s lokale Beschleunigung konvektive Beschleunigung 5

6 Beispiel Rohrströmung A ρ Diffusor v(x) v1(t) v2(t) A,ρ = konst v 1 (t) = v 2 (t) nur lokale Beschleunigung v0 = konst nur konvektive Beschleunigung 6

7 Beispiel Annahmen: inkompressibel (ρ = konst) reibungsfrei (R = 0) stationär t = 0 konstante Gravitation ( g = konst) ] ρ[ v t + v v s = p s ρgdz ds R = 0 = 0 f(s) s = d ds 1 2 ρ dv2 ds = dp ds ρgdz ds ρ 2 v2 + p + ρgz = konst 7

8 Druckmessung statischer Druck: p (Index: 1, 2, a, ) p p Totaldruck (Pitotrohr): p 0, p 01, p 02, p t p 0 = p ρv2 + ρgh bei konstanter Höhe h = 0 p 0 = p ρv2 8

9 Druckmessung Potentialdruck: p pot = ρgh dynamischer Druck: p dyn = 1 2 ρv2 h die kinetische Energie wird umgewandelt, wenn die Strömung auf v = 0 verzögert wird 9

10 6.4 Aus einem großen Überdruckbehälter strömt Wasser ins Freie. Zwischen den Querschnitten A 1 und A 2 wird die Druckdifferenz p gemessen. A 1 = 0, 3 m 2, A 2 = 0, 1 m 2, A 3 = 0, 2 m 2, h = 1 m, ρ = 3 kg/m 3, p a = 5 N/m 2, p = 0, 64 5 N/m 2 g = m/s 2 Bestimmen Sie a) die Geschwindigkeiten v 1, v 2, v 3, b) die Drücke p 1, p 2, p 3 und den Druck p über dem Wasserspiegel!

11 6.4 Druckbehälter mit Düse p B h = konst. z gut gerundeter Einlass Venturidüse 11

12 6.4 Erhaltung der Gesamtenergie entlang einer Stromlinie (qualitativ) p 1/2 rho v3**2 rho g h 1/2 rho v2**2 p B 1/2 rho v1**2 p 1 p2 p 3 = p a s Bernoulli: p 0 = p b + ρgh = p i ρv2 i 12

13 6.4 Kontinuität (Massenbilanz): = = ṁ = ρ Q = konst. ρ = konst = v 1 A 1 = v 2 A 2 = v 3 A 3 = A = v = p a) gemessen p = p 1 p 2 Bernoulli: p 1 + ρ 2 v2 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 = p = p 1 p 2 = ρ 2 (v2 2 v2 1 ) > 0 v 1 = v 2 A 2 A 1 p = ρ 2 [ 1 A2 2 A 2 1 ] v 2 2 v 2 = 2 ρ p ( ( ) ) = 12 1 A2 2 A 1 m s v 1 = v 2 A 2 A 1 = 4 m s v 3 = v 2 A 2 A 3 = 6 m s 13

14 6.4 Die Venturidüse dient zur Massen- und Volumenstrommessung! Q = va = v 2 A 2 Prinzip: Messung von p Berechnung von v 2 Berechnung von Massen- und Volumenstrom 14

15 6.4 b) Berechnung der Drücke p B,p 1,...,p 3 p 0 stellt die Energie dar, die in kinetische Energie umgewandelt werden kann. p 0 = p B + ρgh = p 1 + ρ 2 v2 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 = p 3 + ρ 2 v2 3 Wenn ein Druck bekannt ist, können die anderen mithilfe der Bernoulli- Gleichung berechnet werden. p 3 im Austrittsquerschnitt Annahme: parallele Stromlinien am scharfkantigen Austritt

16 Bewegungsgleichung für ein Element x g p(x+dx)da z p(x)da Bewegungsgleichung in x-richtung für ein mitbewegtes Kontrollvolumen dadx (enthält immer die gleichen Partikel) 16

17 Bewegungsgleichung für ein Element m du dt = ẍρdadx = p(x)da p(x + dx)da ẍρdadx = p(x)da Annahme: parallele Stromlinien ( p + p x dx ) da ρẍ = p x ẋ = 0 Geschwindigkeit u = dx dt = ẋ notwendige Bedingung: ẍ = 0 p x = 0 = der Druck im Austrittsquerschnitt ist eine Funktion von y Strömung in Luft: dp dy = ρg Vern. der pot. Energie von Luft p Austritt = p Umgebung = konst. 17

18 6.4 p 3 = p a Bemerkung: Bernoulli: 0 3 p B + ρgh = p a ρv2 3 offener Behälter p B = p a v 3 = 2ρ (p B p a + ρgh) v 3 = 2gh f(a 3 ) Theorem von Torricelli (15.Okt Okt. 1647) 18

19 6.5 Zwei große übereinanderliegende Becken sind durch eine Hebeleitung miteinander verbunden. Am Ende der Leitung befindet sich eine Düse. A = 1 m 2, A d = 0, 1 m 2, h = 5 m, H = 80 m, p a = 5 N/m 2, ρ = 3 kg/m 3, g = m/s 2 a) Wie groß ist der Volumenstrom? b) Skizzieren Sie den Verlauf des statischen Druckes in der Leitung! c) Bei welchem Austrittsquerschnitt bilden sich Dampfblasen, wenn der Dampfdruck p D = 0, N/m 2 ist? 19

20 6.5 2 v h g r p a H A s A d 5 4 z inkompressibel, reibungsfrei, stationär Bernoulli a) Volumenstrom: Q = va = v 5 A 5 Bernoulli: 0 5 s 4 5 Berechnung von p 5 : gerade parallele Stromlinien Druck ist im Austrittsquerschnitt konstant p a + ρgh = p 5 + ρg( s) + ρ 2 v2 5 p 5 = p a + ρgs 20

21 6.5 p a + ρgh = p a + ρgs ρgs ρv2 5 v 5 = 2gH f(a d,s) b) Q = A d v 5 = 4 m3 s p,p0 pa p1 p2 = p3 p4 1/2 rho u^2 p5= pa+rho g s rho g H rho g (H+h) 1/2 rho u 2 d rho g 0 4 s 5 rho g ( s) 21

22 6.5 c) kleinster Druck zwischen 2 und 3: p 2 = p 3 = p D Kontinuität: v 5 A D = v A Bernoulli: p a = p D + ρgh ρv 2 A d = A p a p D ρgh h H = m2 22

23 erweiterter Bernoulli A rho = const. A 1 2 v 1 v 2 Verengung Delta h ~ Delta p Theoretischer Volumenstrom: Q th für reibungsfreie Strömung 1. Bernoulli: p 1 + ρ 2 v2 1 = p 2 + ρ 2 v Kontinuität: v 1 A 1 = v 2 A 2 23

24 erweiterter Bernoulli Verhältnis der Querschnitte: m = A 2 A 1 : Konti v 1 = v 2 m Bernoulli: p 1 ρ v2 2 m2 = p 2 ρ v2 2 v 2 2 v 2 = ( 1 m 2) = 2 p 1 p 2 ρ 2 p ρ(1 m 2 ) 2 p Q th = A 2 ρ(1 m 2 ) = 2 p ρ 24

25 erweiterter Bernoulli (Forts.) In der Realität entstehen Verluste durch Dissipation, Wirbel,... Die Reibung muss berücksichtigt werden. Die Verluste und die Kontraktion werden in der Durchflusszahl α zusammengefasst. 2 p Q real = αa 2 ρ(1 m 2 ) α 1 = α 1 m 2 α aus Experimenten Wirbel, Dissipation Die Strömung in Rohren kann ebenfalls so bestimmt werden. 25

26 erweiterter Bernoulli (Forts.) Druckverlust in Einbauten (Krümmer, Ventile, Verengung...) p v = ζ 1 2 ρv2 Koeffizient: ζ = p v 1 = Druckverlust 2 ρv2 dynamischer Druck v = 1 2 p ζ ρ(1 m 2 ) = Q = v A = 1 A ζ (Experimente, Standards Katalog) 2 p ρ(1 m 2 ) 26

27 erweiterter Bernoulli Bernoulli von 1 nach 2 p 1 + ρ 2 v2 1 p 2 + ρ 2 v2 2 konst e Fall: Arbeit wird zugeführt e a p 1 + ρ 2 v2 1 + e a = p 2 + ρ 2 v2 2 2.Fall: Verlust e v p 1 + ρ 2 v2 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 + e v 27

28 Beispiel p a g basin l rho 2d l l 4d d d l container l omega p i 28

29 Beispiel Ein großes Becken ist mit einem geschlossenen Behälter verbunden. Der Einlass ist gut gerundet. Die Verbindung besteht aus einem gekrümmten Rohr. Jedes Teilstück des Rohres mit der Länge l hat einen Rohrreibungskoeffizienten λ. Das Rohr dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. Bei der Winkelgeschwindigkeit ω 0 ist der Massenstrom gerade null. a) Berechnen Sie den Druck p i im Behälter b) Berechnen Sie den Volumenstrom Q durch das Rohr für ω = 2 ω 0 c) Skizzieren Sie die mechanischen Energieanteile für eine Stromlinie, beginnend an der Oberfläche Gegeben: l,d,g,ρ,ω 0,p a,λ, Hinweis: p r = ρω2 r 29

30 Beispiel a) kein Massenstrom bei ω = ω p 5 = p a + 4ρgl p 6 = p ρ(ω 0l) 2 p i = p 6 = p a + 4ρgl ρω2 0 l2 b) Bernoulli im rotierenden System [ω = 2ω 0 ]: 1 6 p a + 4ρgl = p i ρv ρ(2ω 0l) ( ) + 2 1ρ v2 2λ 2d l + v 2 3 λ 4d l + v 2 6 λ2l d 2* 3 3*

31 Beispiel Kontinuität: v 2 = v 6( d 2d )2 = v 3 (4d 2d )2 v2 = 1 4 v 6 ; v3 = 1 16 v 6 0 = 3 2 ρω2 0 l2 + 1 [ 2 ρv λ l d ( ] 24 ) v 6 = 3ω2 0 l2 1 + λd l ; Q = πd2 4 v 6 31

32 Beispiel p a p 2 delta p v 2 1/2 rho v 4 rho g l p /2 rho(2 omega l) 32

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