Kantonsschule Reussbühl Maturitätsprüfung 2000, Typus AB Be/Es/Ko Mathematik Lösungen Sw / x 1+

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Elmar Dunkle
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1 Kantonsschule Reussbühl Matuitätspüfung 000, Typus AB Be/Es/Ko Mathematik Lösungen Sw / 00 Lösung de Aufgabe a ( + a) + a a + a) f () ; f () a fü a - ( + ) b) f() ( ) ( + ) Nullstellen f() 0 fü 0, und - Wegen als Fakto eine geaden Funktion mit laute quadatischen Temen in ist die Funktion f ungeade, d.h. punktsymmetisch bezüglich dem Uspung : f() - f(-). ie Polynomdivison liefet ( - + ) : ( + ) - + ; Asymptote ist demnach die Geade + mit de Gleichung y -, weil de zweite Summand fü gosse veschwindet. Etemalstellen : f () + ; f () 0, wenn (biquadatische Gleichung) ( + ) Lösungen sind ± ± 0,... Aus Günden des asymptotischen Vehaltens und aus Symmetiegünden ist de negative Wet eine Minimalstelle, de positive Wet eine Maimalstelle : Minimum(-0,.../-0,00...); Maimum(0,.../0,00...). Wendepunkte : f () ; es ist f () 0 fü 0 und fü ±. ie Wendepunkte ( + ) sind ( / ± ). c) Im Punkt mit dem gössten Abstand ist die Steigung des Gaphen - (Paallele zu Asymptoten). + Also ist f () -. Man ehält + - ( +) und daaus die quadatische ( + ) Gleichung.ie Punkte des Gaphen, die den gössten Abstand haben, sind demnach (-/0) und (/0).

2 Kantonsschule Reussbühl Matuitätspüfung 000, Typus AB Be/Es/Ko Mathematik Lösungen Sw / 00 Lösung de Aufgabe P( Schönes Wette ) P(S) ; P( schlechtes Wette ) P( S ) P( efekt ) P(); P( S) ;P( S) ; P( S) ; P( S ) ; an einem Tag : S 0 0 efekt 0 S a) P() P(S S ) P(S)P( S) + P( S )P( S ) b) P(höchstens ein efekt po Woche) P(0 ) P(0 ) + P( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 P(0 ) ; P( ) P(höchstens ein efekt po Woche) c) P( S) P(S) P( S) 0 ; P( mal kein efekt bei schönem Wette) ( 0 ) d) P( S ) P()P( S ), also P( S ) e) P( ) ( ) P( ) ( ) P( ) ( ) P( ) ( ) P( S) P( ) X : Beitag fü die Klassenkasse, Wete de Zufallsvaiablen sind,, 6, 0 und P(X) P( ) + P( ) + 6 P( ) + 0 P( ) + P( ),0

3 Kantonsschule Reussbühl Matuitätspüfung 000, Typus AB Be/Es/Ko Mathematik Lösungen Sw / 00 Lösung de Aufgabe h g E 6 a) Gleichung von g: t ; + 0 C B A die Gleichung de Nomalebene N zu g ist + (-)y + z + const 0; fü A N gilt : 6 +(-)(-0)+(-) + const 0, const - 0. ie Gleichung de Ebene N lautet also : - y + z b) as kleinste Quadat egibt sich, wenn de uchstosspunkt von h mit N als Ecke C gewählt wid; AC ist dann iagonale des Quadats. ie Geade h duchstösst die Ebene N : (+t)-() + (-t)-0 0 egibt t - und den uchstosspunkt C(-//). ie iagonale hat die Länge Quadatseite hat demnach die Länge s AC, die e Mittelpunkt des Quadats ist M(/-/). Geometische Lösung fü die Koodinaten des Punktes B (und ) : e Vekto MB ste S ht senkecht zu Ebene, die duch g und einen zum Vekto AC kollineaen aufgespannt wid, ist also Nomalenvekto diese Ebene mit de Länge. ie Ebene hat die 6 Gleichung u v ode + y + z - 0. e Nomalenvekto hat die Länge und ist kollinea zum Vekto MB mit de Länge. Man ehält die Otsvektoen von 6 B duch Addition bzw. Subtaktion dieses Vektos und des Otsvektos von M : B(6 / / ) und (- / -6 / ). Algebaische Lösung fü die Koodinaten des Punktes B (und ) : B(/y/z) N : - y + z AB s : (-6) + (y+0) +(z+) 6 CB s : (+) + (y-) + (z-) 6

4 Kantonsschule Reussbühl Matuitätspüfung 000, Typus AB Be/Es/Ko Mathematik Lösungen Sw / 00 ie Lösung dieses Gleichungssystems liefet ebenfalls die oben gefundenen Koodinaten des Punktes B. Fü den Punkt muss ein entspechendes Gleichungssystem aufgestellt und gelöst weden. c) e Vekto von A nach E ist kollinea zum Richtungsvekto von g und muss die Länge 6 haben : 0 t 6 : t 6, t ±. Man ehält E [eine Lösung] : E A +, also den Punkt E(0 / / ) [die zweite Lösung ist F( - / - / -)] d) BE steht senkecht auf de Spu (BC) de Ebene BCE; de gesuchte Winkel liegt im eieck ABE 6 bei B : tan.,... E 6 A B Lösung de Aufgabe Keis und Paabel liegen symmetisch zu -Achse. Gleichung des obeen Halbkeises f(). ie y-koodinate des Beühpunkts ist f( ). ie Steigung de Tangente an den Keis ist f () ( ), im Beühpunkt f ( ) - ( ) a) ie obee Hälfte de Paabel hat die Gleichung g() c d, im Beühpunkt ist de y-wet c g( ) c d. ie Steigung de Paabel betägt g () ( ) und im Beühpunkt d c g ( ). d Man ehält die beiden Gleichungen fü die y-koodinaten und die Steigung : c d c d Aus de.gleichung c isolieen und in de.gleichung einsetzen: d d egibt d und c. ie Gleichung de Paabel lautet y ± ; Schnittpunkt mit de - Achse ist bei π d π π b) V K ( ) c) V P ( ) π d π π d) Länge ; dies egibt den Radius und die Volumina V K π und V P π.

5 Kantonsschule Reussbühl Matuitätspüfung 000, Typus AB Be/Es/Ko Mathematik Lösungen Sw / 00 Lösung de Aufgabe a) cos + cos - > 0 Faktoisieen : ( cos - ) (cos + ) > 0 Beide Faktoen positiv : cos > ½ und cos > -; dies tifft zu (siehe Cosinuskuve) fü 0< < π π und >. BeideFaktoen negativ : cos < ½ und cos < - egeben keine Lösung b) ln( + ) d ln( + ) ( ) ln( + ) + + d mit f() ln(+ ) f () + ( ) und g () g() as letzte Integal ist bekannt (Fomelsammlung!) als actan. + d c).gleichung : - (y-) veeinfacht y- ode y -.Gleichung : (-) y- veeinfacht -6 y- ode - y - in die.gleichung einsetzen : (y-) - 6 y -. Man ehält y,.

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