Lösungen für Klausur A

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1 Lösungen für Klausur A Aufgabe Skizze es Zelts im Querschnitt: h. (a) Aus sin folgt cos un aher h tan, also h. (b) Aus folgt urch Wurzelziehen. Einsetzen von m in ie Beziehung aus (a) liefert h 6 m m, was mit Hilfe er Ungleichung auf m m h 4 m führt. Aufgabe (a) Welche er folgenen Aussagen sin wahr? Kreuzen Sie ie wahren Aussagen an. Man bezeichnet ie Elemente er Definitionsmenge, ie nach Einsetzen in eine Gleichung eine wahre Aussage ergeben, als Lösungen ieser Gleichung. Alle Umformungen, ie eine Gleichung in eine äquivalente Gleichung überführen, bezeichnet man als Äquivalenzumformungen. Für ie Gleichung x x + a mit Grunmenge R un a > gilt für jee Definitionsmenge D: L D. Die Lösungsmenge einer Ungleichung hängt von er Grunmenge ab un ist eine Teilmenge erselben. Wenn man beie Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert un ie Ornungsrelation unveränert lässt, ann besitzt ie so entstanene Ungleichung immer ieselbe Lösungsmenge wie ie ursprüngliche Ungleichung. Um ie Lösung einer Gleichung zu ermitteln ist es mitunter sinnvoll ie Gleichung mit Null zu multiplizieren. Für ie Lösungsmenge er Ungleichung x < x mit Grunmenge R gilt: L {}. (b) Kann man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei reellen Variablen finen, as genau rei Lösungen hat? Begrünen Sie Ihre Antwort. Nein. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei reellen Variablen kann nur genau eine Lösung (ie beien Geraen schneien einaner in einem Punkt), keine Lösung (ie beien Geraen sin parallel) oer unenlich viele Lösungen (ie beien Geraen sin ient) haben. Somit ist es nicht möglich, ass ein erartiges Gleichungssystem genau rei Lösungen aufweist.

2 Aufgabe x 9x + b x b x + 98 x 9± 6 4b x b ± b 4 9 Damit ie Lösungen beier Gleichungen reell sin, müssen beie Diskriminanten sein. 6 4b 4b 6 b 6 4 b 9 9 b 9 b 4 9 b 4 9 b 4 9 b > 4 b < 4 oer b > 4 Da b Z folgt aus 9 b 9 un (b < 4 oer b > 4) ie Lösungsmenge L b {±9, ±8, ±7, ±6, ±}. Aufgabe 4 (a) Der affine Unterraum H ist eine Ebene in einem -imensionalen Vektorraum, a ie Vektoren un linear unabhängig sin. Ein Normalvektor ist gegeben urch: Es gilt: v, v. Wir erhalten ie folgene parameterfreie Darstellung von H : H { x R x + x + x }. (b) Wir lösen as folgene Gleichungssystem:. Somit ist H H y + L(u) mit y, u (c) Es gilt: U U [ [

3 un ( U ) Wir lösen as Gleichungssystem: [ 6 [ 4 6 [ Daher ist x () Wir wissen schon, ass x H. Es gilt: somit liegt x auf H. Es gilt: z x, u 6 + ( 6) +, Es folgt araus, ass x Proj H H (z). +. Aufgabe (a) Unter Verwenung er Aitionstheoreme un von Sinus un Kosinus ergibt sich tan(α + β) sin(α + β) cos(α + β) sin(α + β) sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) cos α cos β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β cos α cos β sin α sin β sin α cos β cos α cos β sin α sin β + cos α sin β cos α cos β sin α sin β sin α cos α sin α tan β + sin β cos β tan α sin β tan α tan α tan β + tan β tan α tan β tan α + tan β tan α tan β

4 (b) Aus er VU ist ie Aussage tan( π α) tan α bekannt; sie gilt für α k π, k Z. Damit ergibt sich tan x tan y tan x tan y ( π ) tan x tan y ( tan x tan y π ) m Z : x y + π mπ, wobei wir für ie letzte Äquivalenz en Hinweis aus er Angabe mit α x un β y π verwenet haben (ie Voraussetzung α, β k π, k Z, zur Anwenung es Hinweises ist erfüllt, a in er Angabe x, y k π, k Z, vorausgesetzt ist).

5 Lösungen für Klausur B Aufgabe Skizze es Zelts im Querschnitt: h 6. 6 (a) Aus cos 6 folgt sin 6 un aher h tan 6, also h. (b) Aus folgt urch Wurzelziehen. Einsetzen von 4m in ie Beziehung aus (a) liefert h m, was mit Hilfe er Ungleichung auf m m h 4m führt. Aufgabe (a) Welche er folgenen Aussagen sin wahr? Kreuzen Sie ie wahren Aussagen an. Für ie Gleichung x x + b mit Grunmenge R un b < gilt für jee Definitionsmenge D: L D. Für ie Lösungsmenge er Ungleichung x < x mit Grunmenge R gilt: L {}. Die Lösungsmenge einer Ungleichung hängt von er Grunmenge ab un ist eine Teilmenge erselben. Man bezeichnet ie Elemente er Definitionsmenge, ie nach Einsetzen in eine Gleichung eine wahre Aussage ergeben, als Lösungen ieser Gleichung. Alle Umformungen, ie eine Gleichung in eine äquivalente Gleichung überführen, bezeichnet man als Äquivalenzumformungen. Um ie Lösung einer Gleichung zu ermitteln ist es mitunter sinnvoll ie Gleichung mit Null zu multiplizieren. Wenn man beie Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert un ie Ornungsrelation unveränert lässt, ann besitzt ie so entstanene Ungleichung immer ieselbe Lösungsmenge wie ie ursprüngliche Ungleichung. (b) Kann man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei reellen Variablen finen, as genau vier Lösungen hat? Begrünen Sie Ihre Antwort. Nein. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei reellen Variablen kann nur genau eine Lösung (ie beien Geraen schneien einaner in einem Punkt), keine Lösung (ie beien Geraen sin parallel) oer unenlich viele Lösungen (ie beien Geraen sin ient) haben. Somit ist es nicht möglich, ass ein erartiges Gleichungssystem genau vier Lösungen aufweist.

6 Aufgabe x a x + 98 x 7x + a x a ± a 4 9 x 7± 89 4a Damit ie Lösungen beier Gleichungen reell sin, müssen beie Diskriminanten sein. a 4 9 a 4 9 a 4 9 a > 4 a < 4 oer a > a 4a 89 a 89 4 a 7 7 a 7 Da a Z folgt aus (a < 4 oer a > 4) un 8 a 8 ie Lösungsmenge L a {±8, ±7, ±6, ±}. Aufgabe 4 (a) Der affine Unterraum H ist eine Ebene in einem -imensionalen Vektorraum, a ie Vektoren un linear unabhängig sin. Ein Normalvektor ist gegeben urch: Es gilt: v, v. Wir erhalten ie folgene parameterfreie Darstellung von H : H { x R x x x } { x R x + x + x }. (b) Wir lösen as folgene Gleichungssystem:. Somit ist H H y + L(u) mit y, u (c) Es gilt: U U [ [

7 un ( U ) [ 7 [ [. Wir lösen as Gleichungssystem: 9 8. Daher ist x () Wir wissen schon, ass x H. Es gilt: 6 + +, somit liegt x auf H. Es gilt: 6 z x, u ++. Es folgt araus, ass x Proj H H (z). Aufgabe (a) Unter Verwenung er Aitionstheoreme un von Sinus un Kosinus ergibt sich tan(α β) sin(α β) cos(α β) sin(α β) sin α cos β cos α sin β cos(α β) cos α cos β + sin α sin β sin α cos β cos α sin β cos α cos β + sin α sin β sin α cos β cos α cos β + sin α sin β cos α sin β cos α cos β + sin α sin β sin α cos α + sin α tan β sin β cos β + tan α sin β tan α + tan α tan β tan β + tan α tan β tan α tan β + tan α tan β (b) Siehe Lösung er Klausur von Gruppe A (iese Teilaufgabe ist in beien Klausurversionen ientisch).

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