Abbildung 1: Geordnete Paare im zweidimensionalen euklidischem Raum

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1 Vektorrechnung Wir werden den Vektorbegriff anschaulich einführen und beschränken uns zunächst auf den zweidimensionalen euklidischen Raum. Die Elemente dieses Raumes sind Punkte P, Q, R, S,.... Geordnete Paare P,Q) von Punkten werden mit einer Linie mit Pfeil verbunden, der vom Angriffspunkt P zum Zielpunkt Q zeigt: P Q. Zwei solcher Pfeile sind äquivalent, wenn sie gleichsinnig parallel sind und gleiche Länge haben. Ein einzelner Pfeil einer Klasse äquivalenter Pfeile heißt Repräsentant des Vektors bzw. kurz Vektor. Vektoren werden wir mit lateinischen Buchstaben mit einem Pfeil a, b,... bezeichnen. Abbildung : Geordnete Paare im zweidimensionalen euklidischem Raum Diese Vektoren wollen wir nun z.b. durch Addition miteinander verknüpfen und durch die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen oder komplexen) Zahl - einem Skalar - einen Vektor auf einen anderen abbilden. Die Addition zweier Vektoren a + b ist wie folgt definiert: Man wählt aus der Klasse a einen beliebigen Pfeil P,Q) und aus der Klasse b den Pfeil Q,R) mit dem Angriffspunkt Q und definiert a + b = P Q + QR = P R Die Addition von Vektoren ist kommutativ: a + b = b + a ist assoziativ: a + ) b + c = a + b + c Abbildung : Addition von Vektoren hat ein neutrales Element, den Nullvektor 0, d.h. die Klasse von Pfeilen bei denen Angriffs- und Zielpunkt zusammenfallen und für den a + 0 = a gilt. Es ist anschaulich klar, dass es zu jedem Vektor a einen Vektor b gibt, so dass a + b = 0. Wir bezeichnen den Vektor b auch mit a. Allgemein nennt man die algebraische Struktur bestehend aus einer Menge G hier die anschaulich definierten Vektoren) und einer Verknüpfungsvorschrift der Elemente von G hier die ebenfalls anschaulich definierte und mit + bezeichnete Addition zweier Vektoren) welche den obigen vier Eigenschaften genügt, eine abelsche Gruppe. Kehren wir von dieser abstrakten Sichtweise zu den anschaulich definierten Vektoren in der zweidimensionale Ebene zurück. Die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl soll wie folgt definiert sein: Die Pfeile λ a sind für λ > 0 gleichsinnig parallel und für λ < 0 gegensinnig parallel zu den Pfeilen der Klasse a. Sie haben die Länge λ Länge von a. Für λ = 0 gilt λ a = 0. Aus dieser Definition ergeben sich sofort die folgenden Eigenschaften für die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren λ, µ R): a = a

2 λµ a) = λµ) a λ a + b) = λ a + λ b λ + µ) a = λ a + µ a Wiederum abstrakt betrachtet nennt man eine abelsche Gruppe für die man eine Multiplikation mit einer reellen Zahl definieren kann welche die gerade diskutierten Eigenschaften hat einen reellen Vektorraum. Den reellen Vektorraum der oben anschaulich definierten Pfeile in zwei Raumdimensionen zweidimensionale Ebene) bezeichnet man mit R. Analog kann man Vektorräume in d Dimensionen definieren. Sie werden allgemein mit R d bezeichnet. 3 Um die Allgemeingültigkeit der Konzepte und Begriffe anzudeuten sind wir mehrfach vom exemplarischen Beispiel der Vektoren in der zweidimensionalen Ebene zu der abstrakten Sichtweise übergegangen. Auch in der Physik - nicht nur der Mathematik - spielen neben dem Vektorraum R d bzw. C d ) andere Vektorräume eine große Rolle. Zum Verständnis des Vorlesung Physik I vgl. Kap. 663) benötigen sie jedoch nur Kenntnisse des R d, so dass wir unsere weiteren Überlegungen auf diesen beschränken werden. Eine Anzahl von m Vektoren g, g,..., g m aus dem R d heißt linear unabhängig, wenn λ g + λ g λ m g m = 0 nur dann gilt, wenn alle Koeffizienten λ i gleich Null sind. Anderenfalls nennt man sie linear abhängig. Im R d gibt es maximal) d linear unabhängige Vektoren, nimmt man jedoch einen weiteren Vektor hinzu, so sind die dann gegebenen d + Vektoren linear abhängig. Zum Beispiel in d = gilt: Abbildung 3: Zwei linear unabhängige Vektoren g und g sind linear unabhängig, aber jeder beliebige dritte Vektor g 3 lässt sich als Linearkombination von g und g schreiben g 3 = λ g + λ g mit zu bestimmenden Skalaren λ, λ R. Man bezeichnet einen Satz g, g,..., g d von d linear unabhängigen Vektoren im R d als Basis. Der Einfachheit halber werden wir hier gleich mit Orthogonalbasen im R d hier speziell im R ) arbeiten, 4 genauer mit Orthonormalbasen: Die Basisvektoren e und e haben die Länge 5 und stehen senkrecht aufeinander. Jeder Vektor a hat dann die Zerlegung a = a e + a e. Die a i nennt man Vektorkomponenten zur vorgegebenen Basis e i. Das Ergebnis der Multiplikation eines Elementes der abelschen Gruppe mit der reellen Zahl muß, wie im obigen Beispiel, wieder ein Gruppenelement sein. Analog gibt es auch komplexe Vektorräume. In diesem Fall ist das Skalar eine komplexe Zahl aus C. 3 Ist die Multiplikation mit einem Skalar bezüglich der komplexen Zahlen definiert, so bezeichnet man die Vektorräume mit C d. 4 Man kann auch allgemeiner mit nicht-orthogonalen Basisvektoren arbeiten. 5 Zur genauen Definition des Begriffs Länge siehe unten.

3 Abbildung 4: Linearkombination von Basisvektoren Wir haben bei der obigen Konstruktion einen festen Punkt 0 als Anfangspunkt oder Ursprung ausgezeichnet. Damit ist dann jeder Punkt P durch den Vektor x = 0P bestimmt. Man nennt diesen Vektor x den Ortsvektor von P bezüglich des Anfangspunktes 0. In Komponenten kann dieser Vektor als x = x e +x e geschrieben werden, und jeder Punkt P ist damit umkehrbar eindeutig durch die Zahlen x,x ) festgelegt. Sie heißen die Koordinaten des Punktes P bezüglich des Koordinatensystems [0; e, e ]. Arbeitet man immer mit demselben Koordinatensystem, so bietet sich die Notation x x = an. Diese kennen sie sicherlich auch aus der Schule. Wir werden diese Notation hier nicht verwenden, da in der Physik häufig ein Basiswechsel notwendig ist, um die physikalischen Phänomene besser zu verstehen z.b. den Basiswechsel in ein beschleunigtes Koordinaten- bzw. Bezugssytem). Wir schreiben manchmal bei vorgegebenem Koordinatensystem [0; e, e ] : x =. x, wobei. = als wird dargestellt durch zu lesen ist. Zum Beispiel schreiben wir statt x x einfach a + b = a e + a e + b e + b e = a + b ) e + a + b ) e a + b =. a + b. a + b Die Länge a eines Vektors ergibt sich nach obiger Skizze und dem Satz von Pythagoras zu a = a + a = a. Die Länge hat aber auch eine geometrische Bedeutung, die unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems ist. Unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems definieren wir das Skalarprodukt zweier Vektoren a b = a b cos ϕ a, ) b, wobei ϕ a, ) b der von a und b eingeschlossene Winkel ist, wenn a und b denselben Angriffspunkt haben. Da die Kosinusfunktion gerade ist, gilt offensichtlich das Kommutativgesetz a b = b a. Um zu zeigen, dass das Distributivgesetz gilt, berechnen wir das Skalarprodukt in einer festen Orthonormalbasis: a = a e + a e a = a cos ϕ a, a = a sin ϕ a, wobei ϕ a der Winkel zwischen der e -Richtung und a ist. Analog gilt und damit b = b e + b e b = b cos ϕ b, b = b sin ϕ b, a b = a b cos ϕ b ϕ a ) = a b [cos ϕ b cos ϕ a + sin ϕ b sin ϕ a ] = a b + a b, wie sie es wahrscheinlich aus der Schule kennen. Ist dann aber b = c + d, so folgt 3

4 a c + d ) = a c + d ) + a c + d ) = a c + a c + a d + a d = a c + a d, d.h. das Distributivgesetz. Mit Hilfe dieses Gesetzes kann man a b = a b + a b auch anders verstehen: Wegen e e = = e e und e e = 0 - da ϕ e, e ) = π/ und cos π/) = 0 - d.h. folgt e i e j = δ i,j = { für i = j 0 für i j ) a b = a e + a e ) b e + b e ) = a b + a b. Das soeben eingeführte und definierte δ i,j bezeichnet man als Kronecker-Symbol bzw. Kronecker-Delta. Über das Skalarprodukt lässt sich die Länge a eines Vektors damit auch zu a = a a = a + a schreiben. Mit Hilfe des Distributivgesetzes beweist man sehr leicht den aus der Schule bekannten Kosinussatz also c c = b a) b a) = a a + b b a b, c = a + b a b cos ϕ a, ) b. Wir können jetzt auch andersherum vorgehen, den Kosinussatz weil aus der Schule bekannt) voraussetzen und einen Ausdruck für das Skalarprodukt herleiten: a b cos ϕ a, ) a + b = b c = a + a + b + b [ b a ) + b a ) ] = a b + a b. Wir erhalten so also wieder das bereits bekannte Ergebnis. Bisher haben wir meistens im zweidimensionalen Raum der Ebene) argumentiert. Wir werden jetzt das Skalarprodukt auf den dreidimensionalen Fall - der in der Physik eine zentrale Rolle spielt- erweitern. Dazu betrachten wir zunächst eine Orthonormalbasis in d = 3. Abbildung 5: Orthonormalbasis in 3D: Rechtssystem Das durch die gezeigten Basisvektoren aufgespannte Koordinatensystem bezeichnet man als Rechtssystem, was man sich wie folgt erklären und merken kann: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung e, der Zeigfinger der rechten Hand in Richtung e und der Mittelfinger der rechten Hand in Richtung e 3, so handelt es sich um ein Rechtssystem. Macht man dasselbe mit der linken Hand, handelt es sich um ein Linkssystem. Ein Vektor a wird in dieser Basis dann durch die Komponenten 4

5 a =. a a a 3 dargestellt, und durch zweimaliges Anwenden des Satzes von Pythagoras sieht man leicht, dass a = a + a + a 3 gilt. Wir definieren dann das Skalarprodukt in d = 3 zu a b = a b cos ϕ a, ) b. Um eine Komponentenschreibweise zu finden, kann man wieder den Kosinussatz verwenden, da a, b und c = b a in einer Ebene des dreidimensionalen Raumes liegen a b = a b cos ϕ a, ) b a + = b c = a + a + a 3 + b + b + b 3 [ b a ) + b a ) + b 3 a 3 ) ] = a b + a b + a 3 b 3, was für jede beliebige Orthonormalbasis gilt. Völlig analog gilt in d-dimensionen a b = a b + a b +... a d b d. Wie in d = ergibt sich damit sofort wieder das Distributivgesetz a b + c = a b + a c. Aus der Definition des Skalarprodukts lässt sich der Winkel, den zwei beliebige Vektoren in d = 3) einschließen, bestimmen: cos ϕ a, ) a b + a b + a 3 b 3 b = a + a + a 3 b + b +. b 3 Zwei Vektoren stehen also senkrecht aufeinander sind orthogonal zueinander), wenn a b = 0 gilt. Für zwei allgemeine dreidimensionale Vektoren definieren wir nun das Vektorprodukt oft auch Kreuzprodukt oder äußeres Produkt genannt) wie folgt a b = n a b sin ϕ a, ) b, wobei n ein Vektor der Länge ist und auf a und b senkrecht steht. Die Richtung von n ist so zu wählen, dass a, b und n ein Rechtssystem bilden. ϕ a, ) b bezeichnet dabei den Betrag des kleineren der beiden Winkel zwischen a und b, so dass 0 < ϕ a, ) b < π und damit sin ϕ a, ) b > 0 gilt. Die Richtung von n lässt sich auch wie folgt bestimmen: Zeigen alle Finger der rechten Hand mit Ausnahme des Daumen in die Richtung der Drehung von a auf b mit dem kleineren der beiden Winkel, so zeigt der abgespreizte Daumen in die Richtung von n Daumen-Regel der rechten Hand ). Abbildung 6: Kreuzprodukt Nach der Definition erfüllt das Vektorprodukt die folgenden Relationen 5

6 Aus der Definition ergibt sich ebenfalls a b = b aλ a) µ b) = λµ) a b), λ, µ R. ) a a = 0. 3) Das Vektorprodukt ist distributiv a b + c = a b + a c, was wir hier jedoch aus Zeitgründen nicht beweisen wollen. 6 Um die Komponenten von a b bezüglich einer Orthonormalbasis angeben zu können, wollen wir zunächst betrachten, was sich nach der Definition des Vektorproduktes für e i e j mit i,j =,,3 ergibt: e e = e 3 e e 3 = e e e 3 = e. Die übrigen Terme ergeben sich mit Hilfe der Gl. ) und Gl. 3). Man kann diese Gleichungen zu e i e j = e k zusammenfassen, wobei i,j,k) eine zyklische Vertauschung von,,3) sein muß - also,,3),,3,) oder 3,,). Für die Komponenten bezüglich der Basis [ e, e, e 3 ] folgt damit a b = a e + a e + a 3 e 3 ) b e + b e + b 3 e 3 ) = a b a b ) e e ) + a b 3 a 3 b ) e e 3 ) + a b 3 a 3 b ) e e 3 ) = a b 3 a 3 b ) e + a 3 b a b 3 ) e + a b a b ) e 3, eine Regel, die sie sicherlich aus der Schule kennen. In der Mechanik wird das Kreuzprodukt z.b. in der Definition der Begriffe Drehimpuls und Drehmoment benötigt. Als mathematisches Beispiel für die Anwendung des Vektorproduktes wollen wir hier die Berechnung des Volumens eines durch drei nicht koplanare Vektoren a, b und c aufgespannten Körpers betrachten. Abbildung 7: Volumen eines durch drei Vektoren aufgespannten Körpers Betrachten wir dazu zunächst die durch a und b aufgespannte Fläche. Sie ist durch Grundlinie Höhe gegeben. Abbildung 8: Grundfläche des Körpers Das ist aber gerade der Betrag von a b. Die Richtung n von a b ist in der folgenden Skizze eingezeichnet. Das Volumen in der obigen Skizze ergibt sich dann zu Grundfläche Höhe. 6 Für einen Beweis siehe z.b. S. Großmann, Mathematischer Einführungskurs für die Physik, Teubner Verlag, Stuttgart 984, Seite 70. 6

7 Abbildung 9: Höhe des Körpers Die Höhe h ist aber gerade durch n c gegeben, so dass insgesamt folgt. Man nennt V a, b, c) auch das Spatprodukt. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung V a, b, c) = a b) c Aufgabe. Gegeben seien die zweidimensionalen Vektoren a = 3 e 4 e, b = e + e und c = e + e.. Bestimmen Sie a + b, a b, a, a + b + c und a b c!. Drücken Sie a, b und c durch ihre Länge und Polarwinkel aus! 3. Berechnen Sie a b, a c und b c! 4. Welchen Winkel schließen die Vektoren a und b ein? 5. Finden Sie µ und ν in der Zerlegung c = µ a + ν b! Im Zweidimensionalen lässt sich ein jeder Vektor p mit Hilfe zweier Einheitsvektoren e und e folgendermaßen darstellen: p = p e + e, wobei p und p Skalare sind. In diesem Fall ist es günstig, die Standard-Einheitsvektoren e = 0 und e = zu verwenden, welche eine besonders einfache Darstellung erlauben, da die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen zeigen. 0 Die Länge eines Vektors entspricht seinem Betrag, also im obigen Fall p = p + p. Der Polarwinkel des Vektors p ist ϕ p = arctan p p Der Winkel zwischen zwei Vektoren p und q ist ϕ p, q) = arccos p q p q. Aufgabe. Die Vektoren a, b und c seien alle senkrecht zueinander und d = α a+β b+γ c. Drücken Sie α, β und γ als Skalarprodukte aus! 7

8 Sind p und q senkrecht zueinander, so ist ihr Skalarprodukt 0. a a a = a Aufgabe. 3 Sei a = 3 e x e y und b = e x + e y 3 e z. Schreiben Sie b als Summe eines Vektors parallel zu a und eines Vektors senkrecht zu a! Manchmal kann man bei der Suche nach einer Lösung auch einfach Variablen frei wählen, die die gegebenen Bedingungen erfüllen. Aufgabe. 4 Gegeben seien die Vektoren a = e + e 3 e 3, b = e + 3 e + e 3. Berechnen Sie a b sowie a + ) b a ) b! Das Kreuzprodukt ist definiert als p p q q = p q 3 p 3 q p 3 q p q 3. p 3 q 3 p q p q Aufgabe. 5 Berechnen Sie für die Vektoren 3 a =, b = 0, c = 0 4 das Skalarprodukt a c und das Kreuzprodukt b c. Welchen Flächeninhalt hat das von a und b aufgespannte Parallelogramm? Sind die drei Vektoren linear unabhängig? Der Flächeninhalt eines von zwei Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms ist definiert als a b Drei Vektoren sind dann und nur dann linear unabhängig, wenn keiner durch eine Linearkombination also Addition von Vielfachen) der beiden anderen dargestellt werden kann. Aufgabe. 6. Zeigen Sie, dass die Punkte a =,), b =,0), c = 7,), d = 4,3) die Ecken eines Parallelogramms sind und berechnen Sie dessen Flächeninhalt!. Es seien nun a und b beliebige Vektoren in R 3. Was für eine geometrische Figur ist durch die Punktmenge gegeben? Skizzieren Sie P a, b). P a, b) = { α a + β } b : α, β [0,] 8

9 3. Nehmen Sie nun einen dritten Vektor c R 3 hinzu! Den durch die Punktmenge S a, b, c) = { α a + β } b + γ c : α, β, γ [0,] gegebenen Körper bezeichnet man als den von a, b und c aufgespannten Spat. Zeigen Sie, dass sein Volumen V gegeben ist durch und verifizieren Sie durch explizites Nachrechnen, dass V = a b c) Wieso muss das so sein? a b c) = b c a) = c a b). 4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von P a, b) und das Volumen von S a, b, c) für a =,, 0), b = 3, 0, ), c =, 0, ). Sind zwei Punkte a, b gegeben, so gibt a b ihren Verbindungsvektor an. Achtung: Um den Flächeninhalt eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms per Betrag des Kreuzproduktes zu berechnen, müssen die Vektoren dreidimensional sein, da sonst das Kreuzprodukt nicht definiert ist! Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht immer senkrecht auf diesen Vektoren. Der Winkel zwischen zwei Vektoren a und b ist cos a, )) a b b = a b. Aufgabe. 7. Rechnen Sie nach: Sind zwei Vektoren a, b R 3 linear abhängig, d.h. lässt sich der eine als skalares Vielfaches des anderen schreiben, so verschwindet ihr Kreuzprodukt.. Beweisen Sie für a, b, c, d R 3 und λ R folgende Rechenregeln des Kreuzproduktes: Antikommutativgesetz: a b) = b a) Distributivgesetz: a b + c) = a b + a c a λ b) = λ a b) = λ a) b a b c) = b a c) c a b) a b) c = b a c) a b c) Jacobi-Identität: 0 = a b c) + c a b) + b c a) a b) c d) = a c) b d) a d) b c) Probieren Sie, wenn Sie nicht weiterkommen, Nulladdition von Termen, die Ihnen für geschickte Umformungen fehlen! Quelle: Erstellt für: Gast 9

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