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1 Die Zahlensysteme Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nichtkommerziellen Zwecken ist gestattet. 1 Einführung Seite 1 2 Das Umrechnen von Zahlen aus unterschiedlichen Zahlensystemen Seite 3 3 Das Rechnen im Dualsystem Seite Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Dualzahlen Seite Das Umrechnen von Dualzahlen in Dezimalzahlen Seite Das Grundrechnen mit Dualzahlen Seite 9 4 Das Rechnen im Hexadezimalsystem Seite Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen Seite Das Umrechnen von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen Seite Das Grundrechnen mit Hexadezimalzahlen Seite 13 5 Das Rechnen im Oktalsystem Seite Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Oktalzahlen Seite Das Umrechnen von Oktalzahlen in Dezimalzahlen Seite Das Grundrechnen mit Oktalzahlen Seite 17 6 Das Rechnen im Quartalsystem Seite Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Quartalzahlen Seite Das Umrechnen von Quartalzahlen in Dezimalzahlen Seite Das Grundrechnen mit Quartalzahlen Seite 21 7 Das Umrechnen zwischen Hexadezimal-, Oktal-, Quartal- und Dualsystem Seite Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 0

2 1 Einführung Ziffer: Zahl: Schriftzeichen zum Darstellen von Zahlen - Mengenangabe - Darstellung in Ziffern (4.711) oder Worten ( hundert ) Additionssytem: stellenwertloses Zahlensystem Römisches Zahlensystem war bis ins 16. Jahrhundert in Europa in Gebrauch Regeln: 1.) Alle Symbole stehen in der Reihenfolge ihrer Werte, erst die höherwertigen, dann die niedrigeren. 2.) Die Hauptsymbole I, X, C und M dürfen maximal dreimal hintereinander stehen. 3.) Die Nebensymbole V, L und D dürfen nur einmal verwendet werden und nicht vor einem höherwertigen Symbol stehen. 4.) Vor einem Symbol steht höchstens das nächstkleinere Hauptsymbol. Beispiele: 49 = XLIX nicht: IL 99 = XCIX nicht: IC, LIL 495 = CDXCV nicht: VD, XDV, CDLXLV 999 = CMXCIX nicht: IM, XMIX, DCDLXLIX 1997 = MCMXCVII 4 = IV Uhr der evangelischreformierten Kirche in Leipzig Nachteile: - lange und unübersichtliche Zahlen - keine Null - schwierig bei Rechenoperationen z. B.: XCIX XLIX (statt: 99 49) - Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 1

3 Eröffnet 31. Oktober 1735 Anno 1685 Positionssystem: (auch: Stellenwertsystem) - von Bedeutung ist die jeweilige Position der Ziffern innerhalb der Zahl - z. B.: = = Das Sexagesimalsystem (Basis 60) verwendeten ca bis 1800 v. u. Z. die Babylonier, Sumerer und Mesopotamier. Zeiteinteilung, Kreiseinteilung - Das Vigesimalsystem (Basis 20) verwendeten die Kelten in England und Frankreich, die Basken in Nordspanien, die Azteken und die Mayas in Südamerika. bis in die 1970er Jahre war ein engl. Pfund = 20 Schillinge - Das Dezimalsystem (lat. decem = dt. zehn ) basiert auf der Grundzahl 10. Im Dezimalsystem gibt es die Ziffern 0, 1, 2, Die Stellenwerte einer Dezimalzahl verlaufen von rechts nach links wie folgt: 1, 10, 100, usw. Exponent: = 100 Potenzwert: 100 Basis: Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 2

4 2 Das Umrechnen von Zahlen aus unterschiedlichen Zahlensystemen 1.) Welchen Dezimalwerten entsprechen die Zahlen / / ? a) Nicht lösbar, da die Ziffer 7 im 7-er-Zahlensystem nicht existiert! b) = = = = c) = = = = 2.) Welchen Dezimalwerten entsprechen die Zahlen / / / / ? a) = = = = b) = = = = c) = = = = d) = = = = e) = = = = - Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 3

5 3.) Welchen Dezimalwerten entsprechen / / / / ? a) = = = b) = = = c) = = = d) = = = e) = = = 4.) Stellen Sie die Dezimalzahl im 7-er-, im 8-er- und im 9-er-Zahlensystem dar! a) : 7 = 673 Rest: : 7 = 96 Rest: 1 96 : 7 = 13 Rest: 5 13 : 7 = 1 Rest: 6 1 : 7 = 0 Rest: 1 b) : 8 = 588 Rest: : 8 = 73 Rest: 4 73 : 8 = 9 Rest: 1 9 : 8 = 1 Rest: 1 1 : 8 = 0 Rest: 1 c) : 9 = 523 Rest: : 9 = 58 Rest: 1 58 : 9 = 6 Rest: 4 6 : 9 = 0 Rest: Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 4

6 5.) Stellen Sie die Dezimalzahl im 5er-, 6er-, 7er-, 8er- und 9er-Zahlensystem dar! a) : 5 = 400 Rest: : 5 = 80 Rest: 0 80 : 5 = 16 Rest: 0 16 : 5 = 3 Rest: 1 3 : 5 = 0 Rest: 3 b) : 6 = 334 Rest: : 6 = 55 Rest: 4 55 : 6 = 9 Rest: 1 9 : 6 = 1 Rest: 3 1 : 6 = 0 Rest: 1 c) : 7 = 286 Rest: : 7 = 40 Rest: 6 40 : 7 = 5 Rest: 5 5 : 7 = 0 Rest: 5 d) : 8 = 250 Rest: : 8 = 31 Rest: 2 31 : 8 = 3 Rest: 7 3 : 8 = 0 Rest: 3 e) : 9 = 222 Rest: : 9 = 24 Rest: 6 24 : 9 = 2 Rest: 6 2 : 9 = 0 Rest: Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 5

7 6.) Stellen Sie die Dezimalzahl im 5er-, 7er-, 9er-, 11er- und 13er- Zahlensystem dar! a) : 5 = 288 Rest: : 5 = 57 Rest: 3 57 : 5 = 11 Rest: 2 11 : 5 = 2 Rest: 1 2 : 5 = 0 Rest: 2 b) : 7 = 206 Rest: : 7 = 29 Rest: 3 29 : 7 = 4 Rest: 1 4 : 7 = 0 Rest: 4 c) : 9 = 160 Rest: : 9 = 17 Rest: 7 1 : 9 = 1 Rest: 8 1 : 9 = 0 Rest: 1 d) : 11 = 131 Rest: : 11 = 11 Rest: : 11 = 1 Rest: 0 1 : 11 = 0 Rest: 1 e) : 13 = 111 Rest: : 13 = 8 Rest: 7 8 : 13 = 0 Rest: 8 7.) Vervollständigen Sie folgende Tabelle! 5-er 6-er 7-er 9-er 10-er 11-er 12-er 13-er Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 6

8 3 Das Rechnen im Dualsystem 3.1 Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Dualzahlen Das Dualsystem (auch: Binärsystem) ist ein Stellenwertsystem, das auf der Grundzahl 2 basiert. Im Dualsystem gelten die Ziffern 0 und 1. Die Stellenwerte einer Dualzahl verlaufen von rechts nach links wie folgt: 1, 2, 4, 8, 16, 32 usw. z. B.: Welcher Dualzahl entspricht der Dezimalwert 53, ? 53 : 2 = 26 Rest: 1 26 : 2 = 13 Rest: 0 13 : 2 = 6 Rest: 1 6 : 2 = 3 Rest: 0 3 : 2 = 1 Rest: 1 1 : 2 = 0 Rest: , = 0,6875 0, = 1,375 0,375 2 = 0,75 0,75 2 = 1,5 0,5 2 = 1,0 0, ) Welcher Dualzahl entspricht der Dezimalwert 23,937510? 23 : 2 = 11 Rest: 1 0, = 1, : 2 = 5 Rest: 1 0,875 2 = 1,75 5 : 2 = 2 Rest: 1 0,75 2 = 1,5 2 : 2 = 1 Rest: 0 0,5 2 = 1,0 1 : 2 = 0 Rest: 1 9.) Welcher Dualzahl entspricht der Dezimalwert 17, ? 17 : 2 = 8 Rest: 1 0, = 1, : 2 = 4 Rest: 0 0, = 1,125 4 : 2 = 2 Rest: 0 0,125 2 = 0,25 2 : 2 = 1 Rest: 0 0,25 2 = 0,5 1 : 2 = 0 Rest: 1 0,5 2 = 1,0 - Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 7

9 3.2 Das Umrechnen von Dualzahlen in Dezimalzahlen z. B.: ,112 = = ½ + ¼ = 43, ) Welchem Dezimalwert entspricht die Dualzahl 11011,1012? 11011,1012 = = ½ /8 = 11.) Welchem Dezimalwert entspricht die Dualzahl 10011,10012? 10011,10012 = = / /16 = - Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 8

10 3.3 Das Grundrechnen mit Dualzahlen z. B.: , , , , , , , , , , , ,50 z. B.: 1011,101 11,1 11,625 3, , , ) Addieren Sie im Dualsystem! a) , , , ,50 20,25 b) , , , ,25 38,25 c) , , , ,25 89,00 13.) Subtrahieren Sie im Dualsystem! a) , , , 1 0 6,50 7,25 b) , , , 0 1 9,25 19,75 c) , , , ,25 34, Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 9

11 4 Das Rechnen im Hexadezimalsystem 4.1 Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen Das Hexadezimalsystem ist ein Stellenwertsystem, das auf der Grundzahl 16 basiert. Im Dualsystem gelten die Ziffern 0, 1, 2,... 9, A, B, C, D, E und F. Die Stellenwerte einer Hexadezimalzahl verlaufen von rechts nach links wie folgt: 1, 16, 256, usw. Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen erfolgt über den Zwischenschritt Dualsystem. Die dabei ermittelte Dualzahl wird in Viererblöcken (Tetraden) zusammengefasst. z. B.: = = = 9316 oder: = = = 9316 oder: 147 : 16 = 9 Rest: 3 9 : 16 = 0 Rest: z. B.: 0, = 5,5 0,5 16 = 8,0 0, ) Stellen Sie die Dezimalzahl 112,37510 als Hexadezimalzahl dar! 112,37510 = ,375 = = oder: /4 + 1 / = , 0110 = oder: 112 : 16 = 7 Rest: 0 0, = 6,0 7 : 16 = 0 Rest: Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 10

12 15.) Stellen Sie die Dezimalzahl 193,62510 als Hexadezimalzahl dar! 193,62510 = /16 = = oder: /2 + 1 / = , 1010 = oder: 193 : 16 = 12 Rest: 1 0, = 10,0 12 : 16 = 0 Rest: Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 11

13 4.2 Das Umrechnen von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen Das Umrechnen von Zahlen aus dem Hexadezimalsystem in das Dezimalsystem erfolgt ebenfalls über den Zwischenschritt Dualsystem. D. h., jeweils eine Dualtetrade entspricht einer Hexadezimalziffer. z. B.: 1A716 = 1 A = oder: 1 A = ) Welchem Dezimalwert entspricht die Hexadezimalzahl 2CB16? 2CB16 = 2 C B = oder: 2 C B = 17.) Welchem Dezimalwert entspricht die Hexadezimalzahl ? = = oder: = - Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 12

14 4.3 Das Grundrechnen mit Hexadezimalzahlen z. B.: 3F8, ,5000 z. B.: 769, , , ,5625 3F8, ,5000 B62, , ,1 881, ) Addieren Sie im Hexadezimalsystem! a) 6AB,5 + 3CE,A c) 83C,1 + B4,A 1.707,3125 b) 9DE, , , A1, , , , , , , ) Subtrahieren Sie im Hexadezimalsystem! a) 6AB,5 3CE,A c) 83C,1 B4,A 1.707,3125 b) 9DE, , ,6250 4A1, , , , , , , Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 13

15 5 Das Rechnen im Oktalsystem 5.1 Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Oktalzahlen Das Oktalsystem ist ein Stellenwertsystem, das auf der Grundzahl 8 basiert. Im Oktalsystem gelten die Ziffern 0, 1, 2, Die Stellenwerte einer Oktalzahl verlaufen von rechts nach links wie folgt: 1, 8, 64, 512, usw. Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Oktalzahlen erfolgt über den Zwischenschritt Dualsystem. Die dabei ermittelte Dualzahl wird in Dreierblöcken (Triaden) zusammengefasst. z. B.: = = 2238 oder: = oder: 147 : 8 = 18 Rest: 3 18 : 8 = 2 Rest: 2 2 : 8 = 0 Rest: z. B.: 0, = 2,75 0,75 8 = 6,0 0, Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 14

16 20.) Stellen Sie den Dezimalwert 92,2510 als Oktalzahl dar! 92,2510 = ¼ = = oder: ¼ , 010 = oder: 92 : 8 = 11 Rest: 4 0,25 8 = 2,0 11 : 8 = 1 Rest: 3 1 : 8 = 0 Rest: 1 21.) Stellen Sie den Dezimalwert 87,7510 als Oktalzahl dar! 87,7510 = ¾ = = oder: ¾ , 110 = oder: 87 : 8 = 10 Rest: 7 0,75 8 = 6,0 10 : 8 = 1 Rest: 2 1 : 8 = 0 Rest: Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 15

17 5.2 Das Umrechnen von Oktalzahlen in Dezimalzahlen Das Umrechnen von Zahlen aus dem Oktalsystem in das Dezimalsystem erfolgt ebenfalls über den Zwischenschritt Dualsystem. D. h., jeweils eine Dualtriade entspricht einer Oktalziffer. z. B.: 1478 = = = oder: = ) Welchem Dezimalwert entspricht die Oktalzahl ? = = = = oder: = 23.) Welchem Dezimalwert entspricht die Oktalzahl 237,28? 237,28 = = /8 = = oder: , ¼ = - Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 16

18 5.3 Das Grundrechnen mit Oktalzahlen z. B.: 645,58 421,62510 z. B.: 645,58 421, , , ,78 250, ,48 672, ,68 170, ) Addieren Sie im Oktalsystem! a) 365, ,48 245, ,50010 b) 623, ,68 403, , , ,87510 c) 453, ,68 299, ,75010 d) 135, ,78 93, , , , ) Subtrahieren Sie im Oktalsystem! a) 365,38 256,48 245, ,50010 b) 623,18 234,68 403, , , ,37510 c) 453,28 375,68 299, ,75010 d) 135,18 132,78 93, , , , Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 17

19 6 Das Rechnen im Quartalsystem 6.1 Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Quartalzahlen Das Quartalsystem ist ein Stellenwertsystem, das auf der Grundzahl 4 basiert. Im Quartalsystem gelten die Ziffern 0, 1, 2 und 3. Die Stellenwerte einer Quartalzahl verlaufen von rechts nach links wie folgt: 1, 4, 16, 64, 256 usw. Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Quartalzahlen erfolgt über den Zwischenschritt Dualsystem. Die dabei ermittelte Dualzahl wird in Zweierblöcken zusammengefasst. z. B.: = = oder: = oder: 147 : 4 = 36 Rest: 3 36 : 4 = 9 Rest: 0 9 : 4 = 2 Rest: 1 2 : 4 = 0 Rest: z. B.: 0, = 1,375 0,375 4 = 1,5 0,5 4 = 2,0 0, Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 18

20 26.) Stellen Sie den Dezimalwert 42½10 als Quartalzahl dar! 42,510 = ½ = = oder: ½ , 10 = oder: 42 : 4 = 10 Rest: 2 0,5 4 = 2,0 10 : 4 = 2 Rest: 2 2 : 4 = 0 Rest: 2 27.) Stellen Sie den Dezimalwert 36¾10 als Quartalzahl dar! 36,7510 = ¾ = = oder: ½ + ¼ , 11 = oder: 36 : 4 = 9 Rest: 0 0,75 4 = 3,0 9 : 4 = 2 Rest: 1 2 : 4 = 0 Rest: Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 19

21 6.2 Das Umrechnen von Quartalzahlen in Dezimalzahlen Das Umrechnen von Zahlen aus dem Quartalsystem in das Dezimalsystem erfolgt ebenfalls über den Zwischenschritt Dualsystem. z. B.: 1324 = = = 3010 oder: = ) Welchem Dezimalwert entspricht die Quartalzahl 21,334? 21,334 = = ¼ /16 = ¾ + 3 /16 = oder: , ½ + ¼ + 1 /8 + 1 /16 = 29.) Welchem Dezimalwert entspricht die Quartalzahl 11,224? 11,224 = = ¼ /16 = ½ + 1 /8 = oder: , ½ + 1 /8 = - Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 20

22 6.3 Das Grundrechnen mit Quartalzahlen z. B.: 301,24 49,5010 z. B.: 301,24 49, , , ,34 38, ,14 88, ,34 10, ) Addieren Sie im Quartalsystem! a) 312, ,34 54, ,7510 b) 232, ,24 46, , , ,7510 c) 300, ,34 48, , , ) Subtrahieren Sie im Quartalsystem! a) 312,24 123,34 54, ,7510 b) 232,14 133,24 46, , , ,7510 c) 300,24 211,34 48, , , Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 21

23 7 Das Umrechnen zwischen Hexadezimal-, Oktal-, Quartal- und Dualsystem Werden die Ziffern einer Dualzahl beginnend ab dem Komma zu Zweier-, Dreier- (auch: Triaden) oder Viererblöcken (auch: Tetraden) zusammengefasst, ergeben sich die Ziffern der gleichwertigen Quartal-, Oktal- bzw. Hexadezimalzahl. z. B.: Wandeln Sie die Dualzahl ,01112 in eine Quartal-, eine Oktal- und eine Hexadezimalzahl! ,01112 = , = 12302, ,01112 = , = 662, ,01112 = , 0111 = 1B2, ) Wandeln Sie die Dualzahl ,10102 in eine Quartal-, eine Oktal- und eine Hexadezimalzahl! ,10102 = , = ,10102 = , = ,10102 = , 1010 = 33.) Wandeln Sie die Dualzahl ,01012 in eine Quartal-, eine Oktalund eine Hexadezimalzahl! ,01012 = , = ,01012 = , = ,01012 = , 0101 = 34.) Wandeln Sie die Quartalzahl 1233,234 in eine Oktal- und eine Hexadezimalzahl! 1233,234 = , = , = 1233,234 = , = , 1011 = - Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 22

24 35.) Wandeln Sie die Quartalzahl 1302,024 in eine Oktal- und eine Hexadezimalzahl! 1302,024 = , = , 001 = 1302,024 = , = , 0010 = 36.) Wandeln Sie die Oktalzahl 2307,574 in eine Quartal- und eine Hexadezimalzahl! 2307,578 = , = , = 2307,578 = , = , 1011 = 37.) Ergänzen Sie in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte! Dualsystem Oktalsystem Quartalsystem Dezimalsystem Hexadezimalsystem Dualsystem Quartalsystem Oktalsystem Dezimalsystem Hexadez.- system 19D - Unterrichtshilfe zum Thema Zahlensysteme, Seite 23

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