Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse

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1 Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse Yannik Behr

2 Gliederung 1 Stochastische Prozesse

3 Stochastische Prozesse Ein stochastischer Prozess ist ein Phänomen, dessen zeitliche Entwicklung durch die Komplexität der zugrundeliegenden Gesetze und durch Unwägbarkeit verschiedener Faktoren nicht exakt, sondern nur innerhalb gewisser Grenzen bestimmt werden kann. Stochastischer Prozess {X t}: Folge von Zufallsvariablen X t Eine beobachtete Zeitreihe x n ist nur eine einzelne Realisierung des Prozesses X t Eigenschaften des zugrunde liegenden Prozesses X t können nicht direkt beobachtet, sondern nur aus x n geschätzt werden. Notation muss bei entsprechenden statistischen Grössen (Mittelwert, Varianz, Kovarianz) unterschieden werden.

4 When you see a random variable, you should think a value selected from a distribution. Think Stats, Allen B. Downey

5 Beispiel: Flughöhe

6 Mittelwert einer Zeitreihe: x = 1 N Mittelwert des Zufallsprozesses: µ t = E[x t] = N 1 x n n=0 x t p t(x) dx Erwartunsgwert über alle möglichen Realisierungen.

7 Beispiel: Flughöhe

8 Varianz einer Zeitreihe: Var(x n) = σx 2 = 1 N 1 (x n x) 2 N Varianz des zugrunde liegenden Prozesses: Var(x t) = E[(x t µ t) 2 ] = n=0 (x t µ t) 2 p t(x) dx

9 Beispiel: Flughöhe

10 Autokovarianz einer Zeitreihe: R xx(k) = 1 N N 1 k n=0 (x n+k x)(x n x), mit k = 0,..., M und M N 1. Autokovarianz des Zufallsprozesses: γ(s, t) = γ x(s, t) = Cov[x s, x t] = E [(x s µ s)(x t µ t)]. Erwartungswert über alle möglichen Realisierungen der Werte x s und x t Autokorrelation des Zufallsprozesses: ρ(s, t) = γ(s, t) γ(s, s)γ(t, t)

11 Ergodische Prozesse erlauben die Schätzung des Ensemble-Mittelwerts µ und der Ensemble-Autokovarianzfunktion aus einer einzigen Zeitreihe. Nur stationäre Prozesse sind modellierbar. Ein Prozess ist mittelwertstationär wenn µ t = µ konstant ist, varianzstationär wenn σ 2 t = σ 2 konstant ist und kovarianzstationär wenn γ(s, t) = γ(τ), d.h. wenn die Kovarianz nur vom Abstand (oder lag) τ = s t abhängt. In diesem Fall ist auch die Autokorrelation ρ(τ) = γ(τ)/γ(0). Ein schwach stationärer Prozess erfüllt alle drei Bedingungen.

12 Beobachtete Zeitreihe

13 Beschreibung durch eine Gerade

14 Beschreibung durch einen random walk

15 White-Noise Prozesse Reiner Zufallsprozess: besteht aus einer Folge von identisch verteilten, voneinander unabhängigen Zufallsvariablen w t. Oft definiert als Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz σ 2 w Autokovarianz γ w (s, t) = White-Noise Prozessse sind stationär. { σ 2 w, s = t 0, s t

16 MA (Moving-Average) Prozesse Linearkombination von White-Noise Variablen: x t = a 0w t + a 1w t 1 + a 2w t a qw t q. Konvolution von weissem Rauschen w t mit MA Operator a n Bezeichnung als MA(q) Prozess.

17 AR (auto-regressive) Prozesse Linearkombination von frühren Werten und einer White-Noise Variable: x t = a 0w t b 1x t 1 b 2x t 2 b px t p. Bezeichnung als AR(p) Prozess.

18 ARMA Prozesse Kombination eines MA und AR Prozesses: x t = a 0w t + a 1w t a qw t q b 1x t 1 b px t p. Bezeichnung als ARMA(p, q) Prozess.

19 ARIMA Prozesse Mit linearem Trend überlagerter ARMA Prozess: y t = β 0 + β 1t + x t Mittelwert abhängig von t - Zeitreihe ist nicht stationär. Umwandlung in stationären Prozess durch Bildung der Differenz y t = y t y t 1 = β 1 + x t x t 1 = β 1 + x t. Vorgehen wird bei höheren Ordnungen wiederholt Bezeichnung als ARIMA(p, d, q) Prozess mit Ordnung d der Integration

20 Prüfung 28. Mai 2015, 10:15 12:00, HG G5 Prüfungsstoff sind das Skript, die Vorlesungen und die Übungen Skript und andere Unterlagen sind zuläessig Elektronische Geräte (laptop, smartphone, etc.) sind nicht zugelassen

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