Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse"

Transkript

1 Analyse von Zeitreihen in der Umweltphysik und Geophysik Stochastische Prozesse Yannik Behr

2 Gliederung 1 Stochastische Prozesse

3 Stochastische Prozesse Ein stochastischer Prozess ist ein Phänomen, dessen zeitliche Entwicklung durch die Komplexität der zugrundeliegenden Gesetze und durch Unwägbarkeit verschiedener Faktoren nicht exakt, sondern nur innerhalb gewisser Grenzen bestimmt werden kann. Stochastischer Prozess {X t}: Folge von Zufallsvariablen X t Eine beobachtete Zeitreihe x n ist nur eine einzelne Realisierung des Prozesses X t Eigenschaften des zugrunde liegenden Prozesses X t können nicht direkt beobachtet, sondern nur aus x n geschätzt werden. Notation muss bei entsprechenden statistischen Grössen (Mittelwert, Varianz, Kovarianz) unterschieden werden.

4 When you see a random variable, you should think a value selected from a distribution. Think Stats, Allen B. Downey

5 Beispiel: Flughöhe

6 Mittelwert einer Zeitreihe: x = 1 N Mittelwert des Zufallsprozesses: µ t = E[x t] = N 1 x n n=0 x t p t(x) dx Erwartunsgwert über alle möglichen Realisierungen.

7 Beispiel: Flughöhe

8 Varianz einer Zeitreihe: Var(x n) = σx 2 = 1 N 1 (x n x) 2 N Varianz des zugrunde liegenden Prozesses: Var(x t) = E[(x t µ t) 2 ] = n=0 (x t µ t) 2 p t(x) dx

9 Beispiel: Flughöhe

10 Autokovarianz einer Zeitreihe: R xx(k) = 1 N N 1 k n=0 (x n+k x)(x n x), mit k = 0,..., M und M N 1. Autokovarianz des Zufallsprozesses: γ(s, t) = γ x(s, t) = Cov[x s, x t] = E [(x s µ s)(x t µ t)]. Erwartungswert über alle möglichen Realisierungen der Werte x s und x t Autokorrelation des Zufallsprozesses: ρ(s, t) = γ(s, t) γ(s, s)γ(t, t)

11 Ergodische Prozesse erlauben die Schätzung des Ensemble-Mittelwerts µ und der Ensemble-Autokovarianzfunktion aus einer einzigen Zeitreihe. Nur stationäre Prozesse sind modellierbar. Ein Prozess ist mittelwertstationär wenn µ t = µ konstant ist, varianzstationär wenn σ 2 t = σ 2 konstant ist und kovarianzstationär wenn γ(s, t) = γ(τ), d.h. wenn die Kovarianz nur vom Abstand (oder lag) τ = s t abhängt. In diesem Fall ist auch die Autokorrelation ρ(τ) = γ(τ)/γ(0). Ein schwach stationärer Prozess erfüllt alle drei Bedingungen.

12 Beobachtete Zeitreihe

13 Beschreibung durch eine Gerade

14 Beschreibung durch einen random walk

15 White-Noise Prozesse Reiner Zufallsprozess: besteht aus einer Folge von identisch verteilten, voneinander unabhängigen Zufallsvariablen w t. Oft definiert als Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz σ 2 w Autokovarianz γ w (s, t) = White-Noise Prozessse sind stationär. { σ 2 w, s = t 0, s t

16 MA (Moving-Average) Prozesse Linearkombination von White-Noise Variablen: x t = a 0w t + a 1w t 1 + a 2w t a qw t q. Konvolution von weissem Rauschen w t mit MA Operator a n Bezeichnung als MA(q) Prozess.

17 AR (auto-regressive) Prozesse Linearkombination von frühren Werten und einer White-Noise Variable: x t = a 0w t b 1x t 1 b 2x t 2 b px t p. Bezeichnung als AR(p) Prozess.

18 ARMA Prozesse Kombination eines MA und AR Prozesses: x t = a 0w t + a 1w t a qw t q b 1x t 1 b px t p. Bezeichnung als ARMA(p, q) Prozess.

19 ARIMA Prozesse Mit linearem Trend überlagerter ARMA Prozess: y t = β 0 + β 1t + x t Mittelwert abhängig von t - Zeitreihe ist nicht stationär. Umwandlung in stationären Prozess durch Bildung der Differenz y t = y t y t 1 = β 1 + x t x t 1 = β 1 + x t. Vorgehen wird bei höheren Ordnungen wiederholt Bezeichnung als ARIMA(p, d, q) Prozess mit Ordnung d der Integration

20 Prüfung 28. Mai 2015, 10:15 12:00, HG G5 Prüfungsstoff sind das Skript, die Vorlesungen und die Übungen Skript und andere Unterlagen sind zuläessig Elektronische Geräte (laptop, smartphone, etc.) sind nicht zugelassen

Wirtschaftsmathematik Wirtschaftsstatistik

Wirtschaftsmathematik Wirtschaftsstatistik Wirtschaftsmathematik Wirtschaftsstatistik Ökonometrie ARMA-Prozesse Prof. Dr. Franz Seitz, Weiden / Dr. Benjamin R. Auer, Leipzig Neben den formalen Grundlagen von ARMA-Prozessen (Autoregressive Moving

Mehr

Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle

Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle Kapitel 12 Stochastische Prozesse und reihenmodelle [ Stochastische Prozesse und reihenmodelle ] Einleitung:.com-Blase an der NASDAQ Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

Überblick und Ausblick

Überblick und Ausblick Letzte Vorlesung Statistik Vorlesung Datenanalyse und Statistik Gliederung 1 Sortiert nach dem Inhalt der Vorlesung Sortiert nach Daten 2 Kovarianzmatrizen Klusteranalyse Hauptkomponentenanalyse Faktorenanalyse

Mehr

Einführung in die Geostatistik (7) Fred Hattermann (Vorlesung), hattermann@pik-potsdam.de Michael Roers (Übung), roers@pik-potsdam.

Einführung in die Geostatistik (7) Fred Hattermann (Vorlesung), hattermann@pik-potsdam.de Michael Roers (Übung), roers@pik-potsdam. Einführung in die Geostatistik (7) Fred Hattermann (Vorlesung), hattermann@pik-potsdam.de Michael Roers (Übung), roers@pik-potsdam.de 1 Gliederung 7 Weitere Krigingverfahren 7.1 Simple-Kriging 7.2 Indikator-Kriging

Mehr

Einführung in statistische Analysen

Einführung in statistische Analysen Einführung in statistische Analysen Andreas Thams Econ Boot Camp 2008 Wozu braucht man Statistik? Statistik begegnet uns jeden Tag... Weihnachten macht Deutschen Einkaufslaune. Im Advent überkommt die

Mehr

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,...,

Mehr

ein stationärer Prozeß (AR(0)). Etwas allgemeiner nimmt man an, daß die d-te Differenz ARMA(p, q) ist, also ist die Differenz

ein stationärer Prozeß (AR(0)). Etwas allgemeiner nimmt man an, daß die d-te Differenz ARMA(p, q) ist, also ist die Differenz Kapitel 4 Nichtstationäre Zeitreihen 4.1 ARIMA-Modelle Die bisher diskutierten ARMA-Modelle sind bei bei geeigneter Wahl der Parameter stationär, d.h. wenn alle Wurzeln der Gleichung φ(λ 1 )=0betragsmäßig

Mehr

Die Volatilität von Finanzmarktdaten

Die Volatilität von Finanzmarktdaten Die Volatilität von Finanzmarktdaten Theoretische Grundlagen und empirische Analysen von stündlichen Renditezeitreihen und Risikomaßen Inauguraldissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Wirtschafts-

Mehr

Zeitreihenanalyse. Teil III: Nichtlineare Zeitreihenmodelle. Prof. Dr. W. Zucchini, Dr. O. Nenadić, A. Schlegel. Göttingen, Januar 2008 DAX

Zeitreihenanalyse. Teil III: Nichtlineare Zeitreihenmodelle. Prof. Dr. W. Zucchini, Dr. O. Nenadić, A. Schlegel. Göttingen, Januar 2008 DAX Zeitreihenanalyse Teil III: Nichtlineare Zeitreihenmodelle Prof. Dr. W. Zucchini, Dr. O. Nenadić, A. Schlegel DAX -10-5 0 5 10 0 200 400 600 800 1000 trading day Göttingen, Januar 2008 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Stochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada

Stochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Stochastische Analysis für Zufallsmatrizen Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Was ist eine Zufallsmatrix? Zufallsmatrix = Matrix mit zufälligen Einträgen A : Ω M N (C) Was ist eine Zufallsmatrix?

Mehr

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

4. Zeitreihenanalyse, ARCH & GARCH

4. Zeitreihenanalyse, ARCH & GARCH 4. Zeitreihenanalyse, ARCH & GARCH Nach einführenden Bemerkungen wenden wir uns der Beschreibung von Zeitreihen zu. Die gängigen Modelle werden präsentiert. Dann werden wir uns mit der statistischen Analyse

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min

Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 1 Prof. Dr. Fred Böker 08.08.2006 Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Gesamtpunkte: 39 Aufgabe

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

Solvency II und die Standardformel

Solvency II und die Standardformel Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematische Stochastik Solvency II und die Standardformel Festkolloquium 20 Jahre (neue) Versicherungsmathematik an der TU Dresden Sebastian Fuchs

Mehr

12. Vergleich mehrerer Stichproben

12. Vergleich mehrerer Stichproben 12. Vergleich mehrerer Stichproben Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Häufig wollen wir verschiedene Populationen, Verfahren, usw. miteinander vergleichen. Beipiel: Vergleich

Mehr

Binäre abhängige Variablen

Binäre abhängige Variablen Binäre abhängige Variablen Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Einführung Oft wollen wir qualitative Variablen

Mehr

Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008. Aufgabe 1

Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008. Aufgabe 1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008 Aufgabe 1 Ihnen liegt

Mehr

Eine zweidimensionale Stichprobe

Eine zweidimensionale Stichprobe Eine zweidimensionale Stichprobe liegt vor, wenn zwei qualitative Merkmale gleichzeitig betrachtet werden. Eine Urliste besteht dann aus Wertepaaren (x i, y i ) R 2 und hat die Form (x 1, y 1 ), (x 2,

Mehr

Bachelorabschlussseminar Dipl.-Kfm. Daniel Cracau

Bachelorabschlussseminar Dipl.-Kfm. Daniel Cracau 1 Einführung in die statistische Datenanalyse Bachelorabschlussseminar Dipl.-Kfm. Daniel Cracau 2 Gliederung 1.Grundlagen 2.Nicht-parametrische Tests a. Mann-Whitney-Wilcoxon-U Test b. Wilcoxon-Signed-Rank

Mehr

3. Einführung in die Zeitreihenanalyse

3. Einführung in die Zeitreihenanalyse 3. Einführung in die Zeitreihenanalyse Dr. Johann Burgstaller Finance Department, JKU Linz (Dieser Foliensatz wurde zuletzt aktualisiert am 25. Dezember 2007.) Dr. Johann Burgstaller IK Empirische Kapitalmarktforschung

Mehr

Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit

Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit Messgeräte: Mess-System-Analyse und Messmittelfähigkeit Andreas Berlin 14. Juli 2009 Bachelor-Seminar: Messen und Statistik Inhalt: 1 Aspekte einer Messung 2 Mess-System-Analyse 2.1 ANOVA-Methode 2.2 Maße

Mehr

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungsfreie Verfahren Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL

Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Max C. Wewel Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Methoden, Anwendung, Interpretation Mit herausnehmbarer Formelsammlung ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow,

Mehr

Weitere (wählbare) Kontraste in der SPSS Prozedur Allgemeines Lineares Modell

Weitere (wählbare) Kontraste in der SPSS Prozedur Allgemeines Lineares Modell Einfaktorielle Versuchspläne 27/40 Weitere (wählbare) Kontraste in der SPSS Prozedur Allgemeines Lineares Modell Abweichung Einfach Differenz Helmert Wiederholt Vergleich Jede Gruppe mit Gesamtmittelwert

Mehr

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten

Kugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Kernel, Perceptron, Regression. Erich Schubert, Arthur Zimek. 2014-07-20 KDD Übung

Kernel, Perceptron, Regression. Erich Schubert, Arthur Zimek. 2014-07-20 KDD Übung Kernel, Perceptron, Regression Erich Schubert, Arthur Zimek Ludwig-Maximilians-Universität München 2014-07-20 KDD Übung Kernel-Fukctionen Kernel kann mehrdeutig sein! Unterscheidet zwischen: Kernel function

Mehr

Modul G.1 WS 07/08: Statistik 17.01.2008 1. Die Korrelation ist ein standardisiertes Maß für den linearen Zusammenhangzwischen zwei Variablen.

Modul G.1 WS 07/08: Statistik 17.01.2008 1. Die Korrelation ist ein standardisiertes Maß für den linearen Zusammenhangzwischen zwei Variablen. Modul G.1 WS 07/08: Statistik 17.01.2008 1 Wiederholung Kovarianz und Korrelation Kovarianz = Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen x und y Korrelation Die Korrelation ist ein standardisiertes

Mehr

Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8

Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8 1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen

Mehr

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012 Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält

Mehr

PROZESSE. Andreas Handl

PROZESSE. Andreas Handl PROZESSE Andreas Handl Inhaltsverzeichnis 1 Was ist ein Prozess? 2 2 Quellen der Variation 6 3 Eingriffe in Prozesse und ihre Konsequenzen 13 4 Qualitätsregelkarten 23 4.1 Was ist eine Qualitätsregelkarte?...

Mehr

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X)

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X) Ich habe eine Frage zur Tschebyschew Ungleichung. In der Aufgabe 4 des Übungsblattes 3 benötigt man ja die Ungleichung. In diesem Falle war der Bereich (0, 20) symmetrisch um den Erwartungswert µ = 5.

Mehr

Das GARCH Modell zur Modellierung von Finanzmarktzeitreihen. Seminararbeit von Frauke Heuermann Juni 2010

Das GARCH Modell zur Modellierung von Finanzmarktzeitreihen. Seminararbeit von Frauke Heuermann Juni 2010 Das GARCH Modell zur Modellierung von Finanzmarktzeitreihen Seminararbeit von Frauke Heuermann Juni 2010 i Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 1 Der ARCH-Prozess 1 1.1 Das ARCH(1)-Modell........................

Mehr

FORMELSAMMLUNG. Analyse longitudinaler Daten und Zeitreihen WS 2003/04

FORMELSAMMLUNG. Analyse longitudinaler Daten und Zeitreihen WS 2003/04 FORMELSAMMLUNG Analyse longitudinaler Daten und Zeitreihen WS 2003/04 Inhaltsverzeichnis 1 Zeitreihenanalyse 3 1.1 Grundlagen................................ 3 1.1.1 Notation..............................

Mehr

Teil I Beschreibende Statistik 29

Teil I Beschreibende Statistik 29 Vorwort zur 2. Auflage 15 Vorwort 15 Kapitel 0 Einführung 19 0.1 Methoden und Aufgaben der Statistik............................. 20 0.2 Ablauf statistischer Untersuchungen..............................

Mehr

Die Black-Scholes-Gleichung

Die Black-Scholes-Gleichung Die Black-Scholes-Gleichung Franziska Merk 22.06.2012 Outline Optionen 1 Optionen 2 3 Optionen Eine Kaufoption ist ein Recht, eine Aktie zu einem heute (t=0) festgelegten Preis E an einem zukünftigen Zeitpunkt

Mehr

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,

Mehr

Schätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenmittel X N. Stichprobenmedian X N

Schätzer (vgl. Kapitel 1): Stichprobenmittel X N. Stichprobenmedian X N Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 8.1 Schätzer für Lage- und Skalenparameter und Verteilungsmodellwahl Lageparameter (l(x + a) = l(x) + a): Erwartungswert EX Median von X

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 22. Juni 2012 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

Stochastische Modelle

Stochastische Modelle Klausur (Teilprüfung) zur Vorlesung Stochastische Modelle (WS04/05 Februar 2005, Dauer 90 Minuten) 1. Es sollen für eine Zufallsgröße X mit der Dichte Zufallszahlen generiert werden. (a) Zeigen Sie, dass

Mehr

3.5 Beschreibende Statistik. Inhaltsverzeichnis

3.5 Beschreibende Statistik. Inhaltsverzeichnis 3.5 Beschreibende Statistik Inhaltsverzeichnis 1 beschreibende Statistik 26.02.2009 Theorie und Übungen 2 1 Die Darstellung von Daten 1.1 Das Kreisdiagramm Wir beginnen mit einem Beispiel, welches uns

Mehr

Motivation. Jede Messung ist mit einem sogenannten Fehler behaftet, d.h. einer Messungenauigkeit

Motivation. Jede Messung ist mit einem sogenannten Fehler behaftet, d.h. einer Messungenauigkeit Fehlerrechnung Inhalt: 1. Motivation 2. Was sind Messfehler, statistische und systematische 3. Verteilung statistischer Fehler 4. Fehlerfortpflanzung 5. Graphische Auswertung und lineare Regression 6.

Mehr

Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest

Mehr

Fachhochschule Aachen, Abteilung Jülich Seminararbeit Thema: Prognose von Zeitreihen

Fachhochschule Aachen, Abteilung Jülich Seminararbeit Thema: Prognose von Zeitreihen Fachhochschule Aachen, Abteilung Jülich Seminararbeit Thema: Prognose von Zeitreihen Vorgelegt von: Hans Nübel Matrikel-Nr.: 827052 Studiengang: Scientific Programming Datum: 14.12.2010 1. Betreuer: Prof.

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 3914 jutta.arrenberg@th-koeln.

Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 3914 jutta.arrenberg@th-koeln. Übungen zur Vorlesung Wirtschaftsstatistik Zufallsvariablen Aufgabe 4.1 Ein Unternehmen fertigt einen Teil der Produktion in seinem Werk in München und den anderen Teil in seinem Werk in Köln. Auf Grund

Mehr

Varianzanalyse ANOVA

Varianzanalyse ANOVA Varianzanalyse ANOVA Johannes Hain Lehrstuhl für Mathematik VIII Statistik 1/23 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Bisher war man lediglich in der Lage, mit dem t-test einen Mittelwertsvergleich für

Mehr

Ein möglicher Unterrichtsgang

Ein möglicher Unterrichtsgang Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige

Mehr

Multivariate Statistik

Multivariate Statistik Hermann Singer Multivariate Statistik 1 Auflage 15 Oktober 2012 Seite: 12 KAPITEL 1 FALLSTUDIEN Abbildung 12: Logistische Regression: Geschätzte Wahrscheinlichkeit für schlechte und gute Kredite (rot/blau)

Mehr

Das Dialogfeld für die Regressionsanalyse ("Lineare Regression") findet sich im Statistik- Menu unter "Regression"-"Linear":

Das Dialogfeld für die Regressionsanalyse (Lineare Regression) findet sich im Statistik- Menu unter Regression-Linear: Lineare Regression Das Dialogfeld für die Regressionsanalyse ("Lineare Regression") findet sich im Statistik- Menu unter "Regression"-"Linear": Im einfachsten Fall werden mehrere Prädiktoren (oder nur

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik

Willkommen zur Vorlesung Statistik Willkommen zur Vorlesung Statistik Thema dieser Vorlesung: Varianzanalyse Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften Prof. Dr. Wolfgang

Mehr

Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle

Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle Kapitel 12 Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle Department of Statistics and Mathematics WU Wien c 2008 Statistik 12 Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle 0 / 53 Inhalt Notation Zusammenhang

Mehr

Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten

Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten Verfahren zur Analyse ordinalskalierten Daten 1 Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten Unterschiede bei unabhängigen Stichproben Test U Test nach Mann & Whitney H Test nach Kruskal & Wallis parametrische

Mehr

Ein erweitertes Poisson INAR(1)-Modell

Ein erweitertes Poisson INAR(1)-Modell Ein erweitertes Poisson INAR(1)-Modell Christian H. Weiß Fachbereich Mathematik Technische Universität Darmstadt Zähldatenzeitreihen und -prozesse Populär bei reellwertigen stationären Prozessen: ARMA(p,q)-Modelle.

Mehr

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung 5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.

Mehr

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis

K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis 8.1 Theoretischer Hintergrund Wir haben (nicht abzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume Meßbare Funktionen Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen Dichten in R

Mehr

Verkäufer/-in im Einzelhandel. Kaufmann/-frau im Einzelhandel. belmodi mode & mehr ein modernes Unternehmen mit Tradition.

Verkäufer/-in im Einzelhandel. Kaufmann/-frau im Einzelhandel. belmodi mode & mehr ein modernes Unternehmen mit Tradition. Eine gute Mitarbeiterführung und ausgeprägte sind dafür Das ist sehr identisch des Verkäufers. Eine gute Mitarbeiterführung und ausgeprägte sind dafür Das ist sehr identisch des Verkäufers. Eine gute Mitarbeiterführung

Mehr

Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II Seminar Portfoliokreditrisiko

Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II Seminar Portfoliokreditrisiko Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II Seminar Portfoliokreditrisiko Jan Jescow Stoehr Gliederung 1. Einführung / Grundlagen 1.1 Ziel 1.2 CreditRisk+ und CreditMetrics 2. Kreditportfolio 2.1 Konstruktion

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

9 Die Normalverteilung

9 Die Normalverteilung 9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,

Mehr

1.3 Die Beurteilung von Testleistungen

1.3 Die Beurteilung von Testleistungen 1.3 Die Beurteilung von Testleistungen Um das Testergebnis einer Vp zu interpretieren und daraus diagnostische Urteile ableiten zu können, benötigen wir einen Vergleichsmaßstab. Im Falle des klassischen

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Teil I Beschreibende Statistik 17

Inhaltsverzeichnis. Teil I Beschreibende Statistik 17 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind

Mehr

Nachholklausur STATISTIK II

Nachholklausur STATISTIK II Nachholklausur STATISTIK II Name, Vorname: Matrikel-Nr.: Die Klausur enthält zwei Typen von Aufgaben: T e i l A besteht aus Fragen mit mehreren vorgegebenen Antwortvorschlägen, von denen mindestens eine

Mehr

ARCH- und GARCH-Modelle

ARCH- und GARCH-Modelle ARCH- und GARCH-Modelle Thomas Simon Analyse und Modellierung komplexer Systeme 04.11.2009 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 1 / 27 Ausgangssituation

Mehr

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz 9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Wenn wir die Standardabweichung σ nicht kennen,

Mehr

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung

Mehr

5. Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren

5. Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren 5. Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren Stichwörter: Trend, Saisonalität, Noise, additives Modell, multiplikatives Modell, Trendfunktion, Autokorrelationsfunktion, Korrelogramm, Prognosehorizont, Prognoseintervall,

Mehr

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests

Mehr

Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas. Kevin Schellkes und Christian Hendricks 29.08.2011

Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas. Kevin Schellkes und Christian Hendricks 29.08.2011 Kevin Schellkes und Christian Hendricks 29.08.2011 Inhalt Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen Ansatz zur Simulation mit Copulas Test und Vergleich der beiden Verfahren Fazit

Mehr

Kap. 12: Regression mit Zeitreihendaten und Prognosemodelle

Kap. 12: Regression mit Zeitreihendaten und Prognosemodelle Kap. 12: Regression mit Zeitreihendaten und Prognosemodelle Motivation Grundbegriffe Autoregressionen (AR-Modelle) Dynamische Regressionsmodelle (ADL-Modelle) Nichstationarität Ausblick 12.1 Motivation

Mehr

Geoadditive Regression

Geoadditive Regression Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Zufallsfelder Universität Ulm 27.01.2009 Inhalt Einleitung 1 Einleitung 2 3 Penalisierung 4 Idee Variogramm und Kovarianz Gewöhnliches Ansatz für

Mehr

Zeitreihenanalyse. Prof. Dr. Hajo Holzmann Fachbereich Mathematik und Informatik, Universität Marburg. Wintersemester 2008/09 (Stand: 26.

Zeitreihenanalyse. Prof. Dr. Hajo Holzmann Fachbereich Mathematik und Informatik, Universität Marburg. Wintersemester 2008/09 (Stand: 26. Zeitreihenanalyse Prof. Dr. Hajo Holzmann Fachbereich Mathematik und Informatik, Universität Marburg Wintersemester 2008/09 (Stand: 26. Januar 2009) ii INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander

Mehr

Multiple Regression. Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren)

Multiple Regression. Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren) Multiple Regression 1 Was ist multiple lineare Regression? Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren) Annahme: Der Zusammenhang

Mehr

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F

Mehr

Institut für Soziologie. Methoden 2. Regressionsanalyse I: Einfache lineare Regression

Institut für Soziologie. Methoden 2. Regressionsanalyse I: Einfache lineare Regression Institut für Soziologie Methoden 2 Regressionsanalyse I: Einfache lineare Regression Programm Anwendungsbereich Vorgehensweise Interpretation Annahmen Zusammenfassung Übungsaufgabe Literatur # 2 Anwendungsbereich

Mehr

Interne und externe Modellvalidität

Interne und externe Modellvalidität Interne und externe Modellvalidität Interne Modellvalidität ist gegeben, o wenn statistische Inferenz bzgl. der untersuchten Grundgesamtheit zulässig ist o KQ-Schätzer der Modellparameter u. Varianzschätzer

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Eine Einführung in R: Statistische Tests

Eine Einführung in R: Statistische Tests Eine Einführung in R: Statistische Tests Bernd Klaus, Verena Zuber Institut für Medizinische Informatik, Statistik und Epidemiologie (IMISE), Universität Leipzig http://www.uni-leipzig.de/ zuber/teaching/ws12/r-kurs/

Mehr

Lösungen zu Janssen/Laatz, Statistische Datenanalyse mit SPSS 1

Lösungen zu Janssen/Laatz, Statistische Datenanalyse mit SPSS 1 LÖSUNG 9B a) Lösungen zu Janssen/Laatz, Statistische Datenanalyse mit SPSS 1 Man kann erwarten, dass der Absatz mit steigendem Preis abnimmt, mit höherer Anzahl der Außendienstmitarbeiter sowie mit erhöhten

Mehr

Markov-Prozesse mit stetigem Zustands- und Parameterraum

Markov-Prozesse mit stetigem Zustands- und Parameterraum Kapitel 8 Markov-Prozesse mit stetigem Zustands- und Parameterraum Markov-Prozesse mit stetigem Zustandsraum S R (bzw. mehrdimensional S R p und in stetiger Zeit, insbesondere sogenannte Diffusionsprozesse

Mehr

Statistiktraining im Qualitätsmanagement

Statistiktraining im Qualitätsmanagement Gerhard Linß Statistiktraining im Qualitätsmanagement ISBN-0: -446-75- ISBN-: 978--446-75-4 Leserobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter htt://www.hanser.de/978--446-75-4 sowie im Buchhandel

Mehr

1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit

1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1.1 Grundlagen Wir betrachten zufällige Prozesse, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), welche Werte in einen fest gewählten Zustandsraum annehmen.

Mehr

Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero?

Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero? Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero? Manche sagen: Ja, manche sagen: Nein Wie soll man das objektiv feststellen? Kann man Geschmack objektiv messen? - Geschmack ist subjektiv

Mehr

Übungsserie Nr. 10 mit Lösungen

Übungsserie Nr. 10 mit Lösungen Übungsserie Nr. 10 mit Lösungen 1 Ein Untersuchungsdesign sieht einen multivariaten Vergleich einer Stichprobe von Frauen mit einer Stichprobe von Männern hinsichtlich der Merkmale X1, X2 und X3 vor (Codierung:

Mehr

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur

Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - robeklausur Sommersemester 2007 - Lösung Name: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Hinweise Sie sollten insgesamt Blätter erhalten haben. Tragen Sie bitte Ihre Antworten

Mehr

Überblick über die Tests

Überblick über die Tests Anhang A Überblick über die Tests A.1 Ein-Stichproben-Tests A.1.1 Tests auf Verteilungsannahmen ˆ Shapiro-Wilk-Test Situation: Test auf Normalverteilung H 0 : X N(µ, σ 2 ) H 1 : X nicht normalverteilt

Mehr

1 Statistische Grundlagen

1 Statistische Grundlagen Konzepte in Empirische Ökonomie 1 (Winter) Hier findest Du ein paar Tipps zu den Konzepten in Empirische 1. Wenn Du aber noch etwas Unterstützung kurz vor der Klausur brauchst, schreib uns eine kurze Email.

Mehr

Schleswig-Holstein 2011. Kernfach Mathematik

Schleswig-Holstein 2011. Kernfach Mathematik Aufgabe 6: Stochastik Vorbemerkung: Führen Sie stets geeignete Zufallsvariablen und Namen für Ereignisse ein. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsvariablen. Eine repräsentative

Mehr

Schätzverfahren ML vs. REML & Modellbeurteilung mittels Devianz, AIC und BIC. Referenten: Linda Gräfe & Konstantin Falk

Schätzverfahren ML vs. REML & Modellbeurteilung mittels Devianz, AIC und BIC. Referenten: Linda Gräfe & Konstantin Falk Schätzverfahren ML vs. REML & Modellbeurteilung mittels Devianz, AIC und BIC Referenten: Linda Gräfe & Konstantin Falk 1 Agenda Schätzverfahren ML REML Beispiel in SPSS Modellbeurteilung Devianz AIC BIC

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Einfache Statistiken in Excel

Einfache Statistiken in Excel Einfache Statistiken in Excel Dipl.-Volkswirtin Anna Miller Bergische Universität Wuppertal Schumpeter School of Business and Economics Lehrstuhl für Internationale Wirtschaft und Regionalökonomik Raum

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr