AVL-Bäume Analyse. Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "AVL-Bäume Analyse. Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl:"

Transkript

1 AVL-Bäume Analyse (Folie 85, Seite 39 im Skript) Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl: 0 falls n = 0 F n = 1 falls n = 1 F n 1 + F n 2 falls n > 2

2 AVL-Bäume Analyse (Folie 85, Seite 39 im Skript) Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl: 0 falls n = 0 F n = 1 falls n = 1 F n 1 + F n 2 falls n > 2

3 (Folie 86, Seite 40 im Skript) Beweis. Trivial: Ein vollständiger Binärbaum der Höhe h hat genau 2 h 1 viele interne Knoten (und ist ein AVL-Baum). Ein Baum der Höhe 0 hat keinen internen Knoten und F 0 = 0. Ein Baum der Höhe 1 hat genau einen internen Knoten und F 1 = 1. Falls h > 1, dann hat der linke oder rechte Unterbaum Höhe h 1 und damit mindestens F h 1 viele interne Knoten. Der andere Unterbaum hat mindestens Höhe h 2 und damit mindestens F h 2 viele interne Knoten. Insgesamt macht das mindestens F h 1 + F h 2 = F h viele Knoten.

4 (Folie 86, Seite 40 im Skript) Beweis. Trivial: Ein vollständiger Binärbaum der Höhe h hat genau 2 h 1 viele interne Knoten (und ist ein AVL-Baum). Ein Baum der Höhe 0 hat keinen internen Knoten und F 0 = 0. Ein Baum der Höhe 1 hat genau einen internen Knoten und F 1 = 1. Falls h > 1, dann hat der linke oder rechte Unterbaum Höhe h 1 und damit mindestens F h 1 viele interne Knoten. Der andere Unterbaum hat mindestens Höhe h 2 und damit mindestens F h 2 viele interne Knoten. Insgesamt macht das mindestens F h 1 + F h 2 = F h viele Knoten.

5 (Folie 86, Seite 40 im Skript) Beweis. Trivial: Ein vollständiger Binärbaum der Höhe h hat genau 2 h 1 viele interne Knoten (und ist ein AVL-Baum). Ein Baum der Höhe 0 hat keinen internen Knoten und F 0 = 0. Ein Baum der Höhe 1 hat genau einen internen Knoten und F 1 = 1. Falls h > 1, dann hat der linke oder rechte Unterbaum Höhe h 1 und damit mindestens F h 1 viele interne Knoten. Der andere Unterbaum hat mindestens Höhe h 2 und damit mindestens F h 2 viele interne Knoten. Insgesamt macht das mindestens F h 1 + F h 2 = F h viele Knoten.

6 AVL-Bäume Analyse (Folie 87, Seite 40 im Skript) Theorem Die Höhe eines AVL-Baums mit n Knoten ist Θ(log n). Beweis. Es gilt F h = Θ(φ h ) mit φ = (1 + 5)/2. F h n h log(φ) + O(1) log n n 2 h 1 log n h + O(1)

7 AVL-Bäume Analyse (Folie 87, Seite 40 im Skript) Theorem Die Höhe eines AVL-Baums mit n Knoten ist Θ(log n). Beweis. Es gilt F h = Θ(φ h ) mit φ = (1 + 5)/2. F h n h log(φ) + O(1) log n n 2 h 1 log n h + O(1)

8 AVL-Bäume Analyse (Folie 88, Seite 41 im Skript) Theorem Einfügen, Suchen und Löschen in einen AVL-Baum mit n Elementen benötigt O(log n) Schritte. Beweis. Die Höhe des AVL-Baumes in Θ(log n). Einfügen, Suchen und Löschen benötigt O(h) Schritte, wenn h die Höhe des Suchbaums ist. Das Rebalanzieren benötigt ebenfalls O(h) Schritte.

9 AVL-Bäume Analyse (Folie 88, Seite 41 im Skript) Theorem Einfügen, Suchen und Löschen in einen AVL-Baum mit n Elementen benötigt O(log n) Schritte. Beweis. Die Höhe des AVL-Baumes in Θ(log n). Einfügen, Suchen und Löschen benötigt O(h) Schritte, wenn h die Höhe des Suchbaums ist. Das Rebalanzieren benötigt ebenfalls O(h) Schritte.

10 Splay-Bäume (Folie 89, Seite 41 im Skript) Splay-Bäume sind eine selbstorganisierende Datenstruktur. Basiert auf binären Suchbäumen. Restrukturiert durch Rotationen. Keine Zusatzinformation in Knoten. Nur amortisiert effizient. Einfach zu implementieren. Viele angenehme Eigenschaften (z.b. selbstlernend ) Nur eine komplizierte Operation: splay

11 Die Splay-Operation (Folie 90, Seite 41 im Skript) Gegeben ist ein binärer Suchbaum und ein Knoten x. Algorithmus procedure splay(node x) : while x root do splaystep(x) od Wir führen Splay-Schritte auf x aus, bis es zur Wurzel wird. Ein Splay-Schritt ist ein zig, zag, zig-zig, zig-zag, zag-zig oder zag-zag.

12 Zig und Zag (Folie 91, Seite 42 im Skript) y x C A B Ein zig auf x ist eine Rechtsrotation des Vaters von x. Sie wird nur ausgeführt, wenn x das linke Kind der Wurzel ist. Ein zag ist eine Linksrotation des Vaters, wenn x das rechte Kind der Wurzel ist.

13 Zig und Zag (Folie 91, Seite 42 im Skript) y x x C A y A B B C Ein zig auf x ist eine Rechtsrotation des Vaters von x. Sie wird nur ausgeführt, wenn x das linke Kind der Wurzel ist. Ein zag ist eine Linksrotation des Vaters, wenn x das rechte Kind der Wurzel ist.

14 Zig-zag und Zag-zig (Folie 92, Seite 42 im Skript) z D y x C A B Ein Zig-zag auf x ist eine Rechtsrotation auf y gefolgt von einer Linksrotation auf z. Dabei muß y das rechte Kind von z und x das linke Kind von y sein. Zag-zig ist symmetrisch hierzu.

15 Zig-zag und Zag-zig (Folie 92, Seite 42 im Skript) z D y x x C z y A B D A B C Ein Zig-zag auf x ist eine Rechtsrotation auf y gefolgt von einer Linksrotation auf z. Dabei muß y das rechte Kind von z und x das linke Kind von y sein. Zag-zig ist symmetrisch hierzu.

16 Zig-zig und Zag-zag (Folie 93, Seite 43 im Skript) z y D x C A B Ein Zig-zig auf x ist eine Rechtsrotation auf z gefolgt von einer Rechtsrotation auf y. Dabei muß y das linke Kind von z und x das linke Kind von y sein. Diese Operation sieht unerwartet aus! Zag-zag ist wieder symmetrisch hierzu.

17 Zig-zig und Zag-zag (Folie 93, Seite 43 im Skript) z x y D A y x C B z A B C D Ein Zig-zig auf x ist eine Rechtsrotation auf z gefolgt von einer Rechtsrotation auf y. Dabei muß y das linke Kind von z und x das linke Kind von y sein. Diese Operation sieht unerwartet aus! Zag-zag ist wieder symmetrisch hierzu.

18 Splay-Bäume Suchen (Folie 94, Seite 43 im Skript) Wir suchen folgendermaßen nach Schlüssel k: 1 Normale Suche im Suchbaum 2 Endet in Knoten x mit Schlüssel k oder in x + oder x 3 Wende Splay auf den gefundenen Knoten an 4 Siehe nach, ob k in Wurzel Amortisierte Laufzeit: ( ( (ḡ(w)) ) ) O log erfolgreiche Suche ḡ(x) ( ( log(ḡ(w)) ) ) O log min{ḡ(x + ), ḡ(x erfolglose Suche )}

19 Splay-Bäume Suchen (Folie 94, Seite 43 im Skript) Wir suchen folgendermaßen nach Schlüssel k: 1 Normale Suche im Suchbaum 2 Endet in Knoten x mit Schlüssel k oder in x + oder x 3 Wende Splay auf den gefundenen Knoten an 4 Siehe nach, ob k in Wurzel Amortisierte Laufzeit: ( ( (ḡ(w)) ) ) O log erfolgreiche Suche ḡ(x) ( ( log(ḡ(w)) ) ) O log min{ḡ(x + ), ḡ(x erfolglose Suche )}

20 Splay-Bäume Einfügen (Folie 95, Seite 43 im Skript) Wir fügen einen Schlüssel k mit Gewicht a ein, der noch nicht vorhanden ist: Normale Suche im Suchbaum Einfügen eines neuen Knotens als Blatt Splay-Operation auf diesen Knoten Amortisierte Laufzeit: Das Konto wird zunächst erhöht. x sei der neu eingefügte Knoten. Die Splay-Operation benötigt O(log(ḡ( w))/ḡ(x)).

21 Splay-Bäume Einfügen (Folie 95, Seite 43 im Skript) Wir fügen einen Schlüssel k mit Gewicht a ein, der noch nicht vorhanden ist: Normale Suche im Suchbaum Einfügen eines neuen Knotens als Blatt Splay-Operation auf diesen Knoten Amortisierte Laufzeit: Das Konto wird zunächst erhöht. x sei der neu eingefügte Knoten. Die Splay-Operation benötigt O(log(ḡ( w))/ḡ(x)).

22 Splay-Bäume Löschen (Folie 96, Seite 43 im Skript) Wir löschen einen Schlüssel k: 1 Suche nach dem Schlüssel k 2 Siehe nach k in der Wurzel ist 3 Splay-Operation auf dem größten Knoten im linken Unterbaum 4 Klassisches Löschen von k Amortisierte Laufzeit: Zuerst wie Suche: ( ( (ḡ(w)) ) ) O log erfolgreiche Suche ḡ(x) ( ( log(ḡ(w)) ) ) O log min{ḡ(x + ), ḡ(x erfolglose Suche )} Dann sinkt der Kontostand, was wir aber nicht ausnutzen.

23 Splay-Bäume Löschen (Folie 96, Seite 43 im Skript) Wir löschen einen Schlüssel k: 1 Suche nach dem Schlüssel k 2 Siehe nach k in der Wurzel ist 3 Splay-Operation auf dem größten Knoten im linken Unterbaum 4 Klassisches Löschen von k Amortisierte Laufzeit: Zuerst wie Suche: ( ( (ḡ(w)) ) ) O log erfolgreiche Suche ḡ(x) ( ( log(ḡ(w)) ) ) O log min{ḡ(x + ), ḡ(x erfolglose Suche )} Dann sinkt der Kontostand, was wir aber nicht ausnutzen.

24 Splay-Bäume als assoziatives Array (Folie 97, Seite 44 im Skript) Theorem In einem anfänglich leeren Splay-Baum können n Operationen (Suchen, Einfügen, Löschen) in O(n log n) Schritten ausgeführt werden. Beweis. Wir setzen g(x) = 1. Dann ist ḡ(t ) die Anzahl der Knoten im Baum. Also ist ḡ(t ) n. Die amortisierten Kosten einer Operation sind O(log(ḡ(T )) = O(log n). (Beim Einfügen kommt zur Splay-Operation noch die Erhöhung des Kontostands um O(log n) hinzu.)

25 Splay-Bäume als assoziatives Array (Folie 97, Seite 44 im Skript) Theorem In einem anfänglich leeren Splay-Baum können n Operationen (Suchen, Einfügen, Löschen) in O(n log n) Schritten ausgeführt werden. Beweis. Wir setzen g(x) = 1. Dann ist ḡ(t ) die Anzahl der Knoten im Baum. Also ist ḡ(t ) n. Die amortisierten Kosten einer Operation sind O(log(ḡ(T )) = O(log n). (Beim Einfügen kommt zur Splay-Operation noch die Erhöhung des Kontostands um O(log n) hinzu.)

26 Splay-Bäume als assoziatives Array (Folie 97, Seite 44 im Skript) Theorem In einem anfänglich leeren Splay-Baum können n Operationen (Suchen, Einfügen, Löschen) in O(n log n) Schritten ausgeführt werden. Beweis. Wir setzen g(x) = 1. Dann ist ḡ(t ) die Anzahl der Knoten im Baum. Also ist ḡ(t ) n. Die amortisierten Kosten einer Operation sind O(log(ḡ(T )) = O(log n). (Beim Einfügen kommt zur Splay-Operation noch die Erhöhung des Kontostands um O(log n) hinzu.)

27 Splay-Bäume Beispiel (Folie 98, Seite 45 im Skript) Die Schlüssel von 1 bis 40 werden zufällig eingefügt und gelöscht.

28 Suchen Java und Sortieren private void splay(searchtreenode K, D t) { while(t.parent null) { if(t.parent.parent == null) { if(t == t.parent.left) t.parent.rotateright(); (Folie 99, Seite 45 im Skript) // Zig else t.parent.rotateleft(); } // Zag else if(t == t.parent.left && t.parent == t.parent.parent.left) { t.parent.parent.rotateright(); // Zig-zig t.parent.rotateright(); } else if(t == t.parent.left && t.parent == t.parent.parent.right) { t.parent.rotateright(); // Zig-zag t.parent.rotateleft(); } else if(t == t.parent.right && t.parent == t.parent.parent.right) { t.parent.parent.rotateleft(); // Zag-zag t.parent.rotateleft(); } else if(t == t.parent.right && t.parent == t.parent.parent.left) { t.parent.rotateleft(); // Zag-zig t.parent.rotateright(); } } root = t; }

29 (Folie 100, Seite 45 im Skript) Java public boolean containskey(k k) { if(root == null) return false; Searchtreenode K, D n = root, last = root; int c; while(n null) { last = n; c = k.compareto(n.key); if(c < 0) n = n.left; else if(c > 0) n = n.right; else { splay(n); return true; } } splay(last); return false; }

30 (Folie 101, Seite 45 im Skript) Java public void insert(k k, D d) { super.insert(k, d); containskey(k); } Java public D find(k k) { containskey(k); if(root null && root.key.equals(k)) return root.data; return null; }

31 (Folie 102, Seite 45 im Skript) Java public void delete(k k) { if(!containskey(k)) return; if(root.left null) { Searchtreenode K, D max = root.left; while(max.right null) max = max.right; splay(max); } super.delete(k); }

Suchen und Sortieren

Suchen und Sortieren (Folie 69, Seite 36 im Skript) 5 6 1 4 Als assoziatives Array geeignet Schlüssel aus geordneter Menge Linke Kinder kleiner, rechte Kinder größer als Elternknoten Externe und interne Knoten Externe Knoten

Mehr

Suchen und Sortieren Binäre Suchbäume

Suchen und Sortieren Binäre Suchbäume Löschen (Folie 63, Seite 34 im Skript) In der Klasse Searchtree K, : Java public void delete(k k) { if(root == null) return; if(root.left == null && root.right == null && root.key == k) root = null; else

Mehr

Suchen und Sortieren Sortieren. Heaps

Suchen und Sortieren Sortieren. Heaps Suchen und Heaps (Folie 245, Seite 63 im Skript) 3 7 21 10 17 31 49 28 14 35 24 42 38 Definition Ein Heap ist ein Binärbaum, der die Heapeigenschaft hat (Kinder sind größer als der Vater), bis auf die

Mehr

Es sei a 2 und b 2a 1. Definition Ein (a, b)-baum ist ein Baum mit folgenden Eigenschaften:

Es sei a 2 und b 2a 1. Definition Ein (a, b)-baum ist ein Baum mit folgenden Eigenschaften: Binäre Suchbäume (a, b)-bäume (Folie 173, Seite 56 im Skript) Es sei a 2 und b 2a 1. Definition Ein (a, b)-baum ist ein Baum mit folgenden Eigenschaften: 1 Jeder Knoten hat höchstens b Kinder. 2 Jeder

Mehr

Datenstrukturen Teil 2. Bäume. Definition. Definition. Definition. Bäume sind verallgemeinerte Listen. Sie sind weiter spezielle Graphen

Datenstrukturen Teil 2. Bäume. Definition. Definition. Definition. Bäume sind verallgemeinerte Listen. Sie sind weiter spezielle Graphen Bäume sind verallgemeinerte Listen Datenstrukturen Teil 2 Bäume Jeder Knoten kann mehrere Nachfolger haben Sie sind weiter spezielle Graphen Graphen bestehen aus Knoten und Kanten Kanten können gerichtet

Mehr

Rotation. y T 3. Abbildung 3.10: Rotation nach rechts (analog links) Doppelrotation y

Rotation. y T 3. Abbildung 3.10: Rotation nach rechts (analog links) Doppelrotation y Die AVL-Eigenschaft soll bei Einfügungen und Streichungen erhalten bleiben. Dafür gibt es zwei mögliche Operationen: -1-2 Rotation Abbildung 3.1: Rotation nach rechts (analog links) -2 +1 z ±1 T 4 Doppelrotation

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume

Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Überblick Einführung Einfügen und Löschen Einfügen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2. Dynamische Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen 2. Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen 2 Dynamische Datenstrukturen Algorithmen für dynamische Datenstrukturen Zugriff auf Variable und Felder durch einen Ausdruck: Namen durch feste Adressen referenziert Anzahl

Mehr

3. Binäre Suchbäume. 3.1 Natürliche binäre Suchbäume. EADS 3.1 Natürliche binäre Suchbäume 78/598 ľernst W. Mayr

3. Binäre Suchbäume. 3.1 Natürliche binäre Suchbäume. EADS 3.1 Natürliche binäre Suchbäume 78/598 ľernst W. Mayr 3. Binäre Suchbäume 3.1 Natürliche binäre Suchbäume Definition 18 Ein natürlicher binärer Suchbaum über einem durch total geordneten Universum U ist ein als interner Suchbaum organisierter Binärbaum (also:

Mehr

In vergleichsbasierten Suchbäumen wird nicht in Schlüssel hineingeschaut.

In vergleichsbasierten Suchbäumen wird nicht in Schlüssel hineingeschaut. Binäre Suchbäume Tries (Folie 182, Seite 58 im Skript) In vergleichsbasierten Suchbäumen wird nicht in Schlüssel hineingeschaut. In Tries entspricht die ite Verzweigung dem iten Zeichen des Schlüssels.

Mehr

Informatik II, SS 2014

Informatik II, SS 2014 Informatik II SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 13 (18.6.2014) Binäre Suchbäume IV (Rot Schwarz Bäume) Algorithmen und Komplexität Rot Schwarz Bäume Ziel: Binäre Suchbäume, welche immer

Mehr

Teil 1: Suchen. Problemstellung Elementare Suchverfahren Hashverfahren Binäre Suchbäume Ausgeglichene Bäume. B-Bäume Digitale Suchbäume Heaps

Teil 1: Suchen. Problemstellung Elementare Suchverfahren Hashverfahren Binäre Suchbäume Ausgeglichene Bäume. B-Bäume Digitale Suchbäume Heaps Teil 1: Suchen Problemstellung Elementare Suchverfahren Hashverfahren Binäre Suchbäume Ausgeglichene Bäume AVL-Bäume Splay-Bäume B-Bäume Digitale Suchbäume Heaps M.O.Franz; Oktober 2007 Algorithmen und

Mehr

Binäre Suchbäume. Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps

Binäre Suchbäume. Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps Binäre Suchbäume Mengen, Funktionalität, Binäre Suchbäume, Heaps, Treaps Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer Menge (hier: ganzer Zahlen) unter folgenden Operationen: Mengen n Ziel: Aufrechterhalten einer

Mehr

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 11. VO DAP2 SS 2009 26. Mai 2009 1 Zusätzliche Lernraumbetreuung Morteza Monemizadeh:

Mehr

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (18 Bäume: Grundlagen und natürliche Suchbäume) Prof. Dr. Susanne Albers Bäume (1) Bäume sind verallgemeinerte Listen (jedes Knoten-Element kann mehr

Mehr

ContainerDatenstrukturen. Große Übung 4

ContainerDatenstrukturen. Große Übung 4 ContainerDatenstrukturen Große Übung 4 Aufgabenstellung Verwalte Kollektion S von n Objekten Grundaufgaben: Iterieren/Auflistung Suche nach Objekt x mit Wert/Schlüssel k Füge ein Objekt x hinzu Entferne

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum

Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Motivation Datenstruktur zur Repräsentation dynamischer Mengen

Mehr

Tutoraufgabe 1 (Vollständige Induktion): Tutoraufgabe 2 (Rotationen): Datenstrukturen und Algorithmen SS15 Übungsblatt 5 (Abgabe 3.6.

Tutoraufgabe 1 (Vollständige Induktion): Tutoraufgabe 2 (Rotationen): Datenstrukturen und Algorithmen SS15 Übungsblatt 5 (Abgabe 3.6. Prof. aa Dr. Ir. Joost-Pieter Katoen Allgemeine Hinweise: Christian Dehnert, Friedrich Gretz, Benjamin Kaminski, Thomas Ströder Die Hausaufgaben sollen in Gruppen von je - Studierenden aus der gleichen

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Motivation. Vorlesung 10: Binäre Suchbäume

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Motivation. Vorlesung 10: Binäre Suchbäume Übersicht Datenstrukturen und lgorithmen Vorlesung : Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://moves.rwth-aachen.de/teaching/ss-/dsal/ 1 Suche Einfügen

Mehr

Teil 1: Suchen. Ausgeglichene Bäume B-Bäume Digitale Suchbäume. M.O.Franz, Oktober 2007 Algorithmen und Datenstrukturen - Binärbäume 1-1

Teil 1: Suchen. Ausgeglichene Bäume B-Bäume Digitale Suchbäume. M.O.Franz, Oktober 2007 Algorithmen und Datenstrukturen - Binärbäume 1-1 Teil : Suchen Problemstellung Elementare Suchverfahren Hashverfahren Binäre Suchbäume (Wiederholung aus Prog 2) Bäume: Begriffe, Eigenschaften und Traversierung Binäre Suchbäume Gefädelte Suchbäume Ausgeglichene

Mehr

Vorlesung Datenstrukturen

Vorlesung Datenstrukturen Vorlesung Datenstrukturen Sortierte Folgen Maike Buchin 30.5., 1.6., 13.6.2017 Sortierte Folgen Häufiges Szenario: in einer Menge von Objekten mit Schlüsseln (aus geordnetem Universum) sollen Elemente

Mehr

9.4 Binäre Suchbäume. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen

9.4 Binäre Suchbäume. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen 9.4 Binäre Suchbäume Erweiterung: Einfügen an der Wurzel Standardimplementierung: Der neue Schlüssel wird am Ende des Suchpfades angefügt (natürlich, weil zuerst festgestellt werden muss, ob der Schlüssel

Mehr

Übersicht. Rot-schwarz Bäume. Rot-schwarz Bäume. Beispiel. Eigenschaften. Datenstrukturen & Algorithmen. Rot-schwarz Bäume Eigenschaften Einfügen

Übersicht. Rot-schwarz Bäume. Rot-schwarz Bäume. Beispiel. Eigenschaften. Datenstrukturen & Algorithmen. Rot-schwarz Bäume Eigenschaften Einfügen Datenstrukturen & Algorithmen Übersicht Rot-schwarz Bäume Eigenschaften Einfügen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2009 2 Rot-schwarz Bäume Binäre Suchbäume sind nur effizient wenn Höhe des Baumes

Mehr

Seminarausarbeitung Entwurf und Analyse von Datenstrukturen. Splay Trees. Mirco Lukas und Alexander Werthmann. Datum: 26.06.2013

Seminarausarbeitung Entwurf und Analyse von Datenstrukturen. Splay Trees. Mirco Lukas und Alexander Werthmann. Datum: 26.06.2013 Julius-Maximilians-Universität Würzburg Institut für Informatik Lehrstuhl für Informatik I Effiziente Algorithmen und wissensbasierte Systeme Seminarausarbeitung Entwurf und Analyse von Datenstrukturen

Mehr

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:

Mehr

Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen

Wiederholung ADT Menge Ziel: Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) einer Menge von Elementen Was bisher geschah abstrakter Datentyp : Signatur Σ und Axiome Φ z.b. ADT Menge zur Verwaltung (Finden, Einfügen, Entfernen) mehrerer Elemente desselben Typs Spezifikation einer Schnittstelle Konkreter

Mehr

Bäume. Text. Prof. Dr. Margarita Esponda SS 2012 O4 O5 O6 O ALP2-Vorlesung, M. Esponda

Bäume. Text. Prof. Dr. Margarita Esponda SS 2012 O4 O5 O6 O ALP2-Vorlesung, M. Esponda Bäume O1 O2 Text O3 O4 O5 O6 O7 Prof. Dr. Margarita Esponda SS 2012 22. ALP2-Vorlesung, M. Esponda Inhalt 1. Einführung 2. Warum Bäume? 3. Listen und Arrays vs. Bäume 4. Einfach verkettete binäre Suchbäume

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Bäume Symboltabellen Suche nach Werten (items), die unter einem Schlüssel (key) gefunden werden können Bankkonten: Schlüssel ist Kontonummer Flugreservierung: Schlüssel ist Flugnummer, Reservierungsnummer,...

Mehr

Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt

Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt Algorithmen und Datenstrukturen 265 10 Binäre Suchbäume Suchbäume Datenstruktur, die viele Operationen dynamischer Mengen unterstützt Kann als Wörterbuch, aber auch zu mehr eingesetzt werden (Prioritätsschlange)

Mehr

Folge 19 - Bäume. 19.1 Binärbäume - Allgemeines. Grundlagen: Ulrich Helmich: Informatik 2 mit BlueJ - Ein Kurs für die Stufe 12

Folge 19 - Bäume. 19.1 Binärbäume - Allgemeines. Grundlagen: Ulrich Helmich: Informatik 2 mit BlueJ - Ein Kurs für die Stufe 12 Grundlagen: Folge 19 - Bäume 19.1 Binärbäume - Allgemeines Unter Bäumen versteht man in der Informatik Datenstrukturen, bei denen jedes Element mindestens zwei Nachfolger hat. Bereits in der Folge 17 haben

Mehr

Wiederholung. Bäume sind zyklenfrei. Rekursive Definition: Baum = Wurzelknoten + disjunkte Menge von Kindbäumen.

Wiederholung. Bäume sind zyklenfrei. Rekursive Definition: Baum = Wurzelknoten + disjunkte Menge von Kindbäumen. Wiederholung Baum: Gerichteter Graph, der die folgenden drei Bedingungen erfüllt: Es gibt einen Knoten, der nicht Endknoten einer Kante ist. (Dieser Knoten heißt Wurzel des Baums.) Jeder andere Knoten

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/2, Folie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI

Mehr

Informatik II Vorlesung am D-BAUG der ETH Zürich

Informatik II Vorlesung am D-BAUG der ETH Zürich Informatik II Vorlesung am D-BAUG der ETH Zürich Vorlesung 9, 2.5.2016 [Nachtrag zu Vorlesung : Numerische Integration, Zusammenfassung Objektorientierte Programmierung] Dynamische Datenstrukturen II:

Mehr

Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur

Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur 7. Juli 2010 Name Matrikelnummer Aufgabe mögliche Punkte erreichte Punkte 1 35 2 30 3 30 4 15 5 40 6 30 Gesamt 180 1 Seite 2 von 14 Aufgabe 1) Programm Analyse

Mehr

Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie

Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Dipl.-Math. Bastian Rieck Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 8. Mai 2012 B. Rieck (CoVis)

Mehr

Informatik II, SS 2014

Informatik II, SS 2014 Informatik II SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 10 (3.6.2014) Binäre Suchbäume I Algorithmen und Komplexität Zusätzliche Dictionary Operationen Dictionary: Zusätzliche mögliche Operationen:

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 6 FS 14

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 6 FS 14 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik 2. April

Mehr

Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis

Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 13./14. VO DAP2 SS 2009 2./4. Juni 2009 1 2. Übungstest

Mehr

2 i. i=0. und beweisen Sie mittels eines geeigneten Verfahrens die Korrektheit der geschlossenen Form.

2 i. i=0. und beweisen Sie mittels eines geeigneten Verfahrens die Korrektheit der geschlossenen Form. für Informatik Prof. aa Dr. Ir. Joost-Pieter Katoen Christian Dehnert, Friedrich Gretz, Benjamin Kaminski, Thomas Ströder Tutoraufgabe (Vollständige Induktion): Finden Sie eine geschlossene Form für die

Mehr

Einführung Elementare Datenstrukturen. Der Konstruktor muß den Listenkopf head erzeugen. Der Vorgänger und Nachfolger von head ist head selbst.

Einführung Elementare Datenstrukturen. Der Konstruktor muß den Listenkopf head erzeugen. Der Vorgänger und Nachfolger von head ist head selbst. Einführung Elementare Datenstrukturen (Folie 38, Seite 23 im Skript) Der Konstruktor muß den Listenkopf head erzeugen. Der Vorgänger und Nachfolger von head ist head selbst. Einführung Elementare Datenstrukturen

Mehr

Lernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können.

Lernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können. 6. Bäume Lernziele 6. Bäume Lernziele: Definition und Eigenschaften binärer Bäume kennen, Traversierungsalgorithmen für binäre Bäume implementieren können, die Bedeutung von Suchbäumen für die effiziente

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

Kapitel : Andere dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel : Andere dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4.8-4.11: Andere dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.6 AVL-Bäume 4.8 Rot-Schwarz-Bäume Idee: Verwende Farben, um den Baum vertikal zu

Mehr

Übung: Algorithmen und Datenstrukturen SS 2007

Übung: Algorithmen und Datenstrukturen SS 2007 Übung: Algorithmen und Datenstrukturen SS 07 Prof. Lengauer Sven Apel, Michael Claÿen, Christoph Zengler, Christof König Blatt 8 Votierung in der Woche vom 25.06.0729.06.07 Aufgabe 22 AVL-Bäume (a) Geben

Mehr

Algorithmik II. a) Fügen Sie in einen anfangs leeren binären Baum die Schlüsselfolge 20, 28, 35, 31, 9, 4, 13, 17, 37, 25 ein.

Algorithmik II. a) Fügen Sie in einen anfangs leeren binären Baum die Schlüsselfolge 20, 28, 35, 31, 9, 4, 13, 17, 37, 25 ein. Aufgabe 10 Binäre Bäume a) Fügen Sie in einen anfangs leeren binären Baum die Schlüsselfolge, 28, 35, 31, 9, 4,, 17, 37, 25 ein. 1. Einfügen von : 3. Einfugen von 35: 2. Einfügen von 28: 28 28 10. Einfügen

Mehr

Kapitel : Andere dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2013/14. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel : Andere dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2013/14. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4.8-4.11: Andere dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2013/14 Prof. Dr. Sándor Fekete 1 4.6 AVL-Bäume 2 4.8 Rot-Schwarz-Bäume Rudolf Bayer Idee: Verwende Farben, um den

Mehr

Suchbäume. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung

Suchbäume. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung Suchbäume Annabelle Klarl Zentralübung zur Vorlesung Einführung in die Informatik: http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/wise-13-14/infoeinf WS13/14 Action required now 1. Smartphone: installiere die App "socrative

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen

Datenstrukturen und Algorithmen Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 1 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden

Mehr

Informatik II, SS 2014

Informatik II, SS 2014 Informatik II SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 11 (4.6.2014) Binäre Suchbäume II Algorithmen und Komplexität Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume müssen nicht immer so schön symmetrisch sein

Mehr

Bäume. Informatik B - Objektorientierte Programmierung in Java. Vorlesung 10: Collections 4. Inhalt. Bäume. Einführung. Bäume.

Bäume. Informatik B - Objektorientierte Programmierung in Java. Vorlesung 10: Collections 4. Inhalt. Bäume. Einführung. Bäume. Universität Osnabrück 1 Bäume 3 - Objektorientierte Programmierung in Java Vorlesung 10: Collections 4 Einführung Bäume sind verallgemeinerte Listenstrukturen Lineare Liste Jedes Element hat höchstens

Mehr

Beispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6

Beispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6 Robert Elsässer u.v.a. Paderborn, 29. Mai 2008 Beispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6 Aufgabe 1 (6 Punkte): Zunächst sollte klar sein, daß ein vollständiger Binärer

Mehr

Binärbäume: Beispiel

Binärbäume: Beispiel Binärbäume Als Beispiel für eine interessantere dynamische Datenstruktur sehen wir uns jetzt Binärbäume an Ein Binärbaum wird rekursiv definiert: Er ist leer oder besteht aus einem Knoten (die Wurzel des

Mehr

Technische Universität München. Vorlesungsgrobstruktur: wo stehen wir, wie geht s weiter

Technische Universität München. Vorlesungsgrobstruktur: wo stehen wir, wie geht s weiter Vorlesungsgrobstruktur: wo stehen wir, wie geht s weiter Kapitel 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen Motivation: Lineare Liste: Suchen eines Elements ist schnell O(log n) Einfügen eines Elements ist langsam

Mehr

Der linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v)

Der linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v) Ein Baum T mit Knotengraden 2, dessen Knoten Schlüssel aus einer total geordneten Menge speichern, ist ein binärer Suchbaum (BST), wenn für jeden inneren Knoten v von T die Suchbaumeigenschaft gilt: Der

Mehr

Informatik B Sommersemester Musterlösung zur Klausur vom

Informatik B Sommersemester Musterlösung zur Klausur vom Informatik B Sommersemester 007 Musterlösung zur Klausur vom 0.07.007 Aufgabe : Graphen und Graphalgorithmen + + + () Punkte Für eine beliebige positive, ganze Zahl n definieren wir einen Graphen G n =

Mehr

Motivation Binäre Suchbäume

Motivation Binäre Suchbäume Kap..: Binäre Suchbäume Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS Fakultät für Informatik, TU Dortmund Zusätzliche Lernraumbetreuung Morteza Monemizadeh: Jeden Montag von :00 Uhr-:00 Uhr in

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / Vorlesung 10, Donnerstag 8.

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / Vorlesung 10, Donnerstag 8. Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 10, Donnerstag 8. Januar 2015 (Verkettete Listen, Binäre Suchbäume) Junior-Prof. Dr.

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2013 / 2014 Vorlesung 11, Donnerstag, 16.

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2013 / 2014 Vorlesung 11, Donnerstag, 16. Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2013 / 2014 Vorlesung 11, Donnerstag, 16. Januar 2013 (Balancierte Suchbäume) Junior-Prof. Dr. Olaf Ronneberger

Mehr

Java. Wir verwenden oft Java für Datenstrukturen und Algorithmen. Die Vorlesung ist aber von der Programmiersprache unabhängig.

Java. Wir verwenden oft Java für Datenstrukturen und Algorithmen. Die Vorlesung ist aber von der Programmiersprache unabhängig. Komplexität von Algorithmen (Folie 34, Seite 18 im Skript) Wir verwenden oft für Datenstrukturen und Algorithmen. Die Vorlesung ist aber von der Programmiersprache unabhängig. Lernziel sind die einzelnen

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Heaps. Vorlesung 8: Heapsort (K6) Joost-Pieter Katoen. 7. Mai 2015

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Heaps. Vorlesung 8: Heapsort (K6) Joost-Pieter Katoen. 7. Mai 2015 Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 8: (K6) 1 Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik Software Modeling and Verification Group http://moves.rwth-aachen.de/teaching/ss-15/dsal/ 7. Mai 015 3 Joost-Pieter

Mehr

Vorlesung Datenstrukturen

Vorlesung Datenstrukturen Vorlesung Datenstrukturen Binärbaum Suchbaum Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 356 Datenstruktur Binärbaum Strukturrepräsentation des mathematischen Konzepts Binärbaum

Mehr

3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1

3.2 Binäre Suche. Usr/local/www/ifi/fk/menschen/schmid/folien/infovk.ppt 1 3.2 Binäre Suche Beispiel 6.5.1: Intervallschachtelung (oder binäre Suche) (Hier ist n die Anzahl der Elemente im Feld!) Ein Feld A: array (1..n) of Integer sei gegeben. Das Feld sei sortiert, d.h.: A(i)

Mehr

Balancierte Bäume. Martin Wirsing. in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer. http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/ss06/infoii/ SS 06

Balancierte Bäume. Martin Wirsing. in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer. http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/ss06/infoii/ SS 06 Balancierte Bäume Martin Wirsing in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/ss06/infoii/ SS 06 2 Ziele AVL-Bäume als einen wichtigen Vertreter balancierter

Mehr

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (21 - Balancierte Bäume, AVL-Bäume) Prof. Dr. Susanne Albers Balancierte Bäume Eine Klasse von binären Suchbäumen ist balanciert, wenn jede der drei

Mehr

1 AVL-Bäume. 1.1 Aufgabentyp. 1.2 Überblick. 1.3 Grundidee

1 AVL-Bäume. 1.1 Aufgabentyp. 1.2 Überblick. 1.3 Grundidee AVL-Bäume. Aufgabentyp Fügen Sie in einen anfangs leeren AVL Baum die folgenden Schlüssel ein:... Wenden Sie hierbei konsequent den Einfüge /Balancierungsalgorithmus an und dokumentieren Sie die ausgeführten

Mehr

Informatik II, SS 2016

Informatik II, SS 2016 Informatik II - SS 2016 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 10 (27.5.2016) Binäre Suchbäume II Algorithmen und Komplexität Zusätzliche Dictionary Operationen Dictionary: Zusätzliche mögliche Operationen:

Mehr

Balancierte Suchbäume

Balancierte Suchbäume Foliensatz 10 Michael Brinkmeier echnische Universität Ilmenau Institut für heoretische Informatik Sommersemester 2009 U Ilmenau Seite 1 / 74 Balancierte Suchbäume U Ilmenau Seite 2 / 74 Balancierte Suchbäume

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Martin Lercher Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Teil 6 Suchbäume Version vom 25. November 2016 1 / 75 Vorlesung 10 22. November 2016 2

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/3, Folie 1 2010 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI

Mehr

Dynamische Mengen. Realisierungen durch Bäume

Dynamische Mengen. Realisierungen durch Bäume Dynamische Mengen Eine dynamische Menge ist eine Datenstruktur, die eine Menge von Objekten verwaltet. Jedes Objekt x trägt einen eindeutigen Schlüssel key[x]. Die Datenstruktur soll mindestens die folgenden

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 4 FS 15

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 4 FS 15 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik 18. März

Mehr

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes.

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes. Binäre Bäume Definition: Ein binärer Baum T besteht aus einer Menge von Knoten, die durch eine Vater-Kind-Beziehung wie folgt strukturiert ist: 1. Es gibt genau einen hervorgehobenen Knoten r T, die Wurzel

Mehr

EINI LogWing/WiMa. Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Vorlesung 2 SWS WS 17/18

EINI LogWing/WiMa. Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Vorlesung 2 SWS WS 17/18 EINI LogWing/ Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Vorlesung 2 SWS WS 17/18 Dr. Lars Hildebrand Fakultät für Informatik Technische Universität Dortmund lars.hildebrand@tu-dortmund.de

Mehr

Kap. 4.2 Binäre Suchbäume ff Kap. 4.3: AVL-Bäume

Kap. 4.2 Binäre Suchbäume ff Kap. 4.3: AVL-Bäume Kap. 4.2 Binäre Suchbäume ff Kap. 4.3: AVL-Bäume Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 12./13. VO DAP2 SS 2009 28.5./2.6.2009 1 Motivation Warum soll

Mehr

Mergeable Heaps. C. Komusiewicz 7.1 Fibonacci-Heaps: Überblick 117

Mergeable Heaps. C. Komusiewicz 7.1 Fibonacci-Heaps: Überblick 117 C. Komusiewicz 7.1 Fibonacci-Heaps: Überblick 117 Mergeable Heaps Erweiterung von Standardheaps, die die folgenden fünf Operationen unterstützen. Make-Heappq liefert neuen, leeren Heap. InsertpH, xq fügt

Mehr

Dies ist gerade der konstruktive Schritt beim Aufbau von Binomialbäumen.

Dies ist gerade der konstruktive Schritt beim Aufbau von Binomialbäumen. Linken von Bäumen: Zwei Bäume desselben Wurzel-Rangs werden unter Einhaltung der Heap-Bedingung verbunden. Sind k 1 und k 2 die Wurzeln der zwei zu linkenden Bäume, so wird ein neuer Baum aufgebaut, dessen

Mehr

Mehrwegbäume Motivation

Mehrwegbäume Motivation Mehrwegbäume Motivation Wir haben gute Strukturen (AVL-Bäume) kennen gelernt, die die Anzahl der Operationen begrenzen Was ist, wenn der Baum zu groß für den Hauptspeicher ist? Externe Datenspeicherung

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen I Bruder-Bäume

Algorithmen und Datenstrukturen I Bruder-Bäume Algorithmen und Datenstrukturen I Bruder-Bäume Prof. Dr. Oliver Braun Letzte Änderung: 11.12.2017 10:50 Algorithmen und Datenstrukturen I, Bruder-Bäume 1/24 Definition ein binärer Baum heißt ein Bruder-Baum,

Mehr

Geordnete Binärbäume

Geordnete Binärbäume Geordnete Binärbäume Prof. Dr. Martin Wirsing in Zusammenarbeit mit Gilbert Beyer und Christian Kroiß http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/wise-09-10/infoeinf/ WS 09/10 Einführung in die Informatik: Programmierung

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen (SS 2013)

Datenstrukturen und Algorithmen (SS 2013) Datenstrukturen und Algorithmen (SS 20) Übungsblatt 8 Abgabe: Montag, 24.06.20, 14:00 Uhr Die Übungen sollen in Gruppen von zwei bis drei Personen bearbeitet werden. Schreiben Sie die Namen jedes Gruppenmitglieds

Mehr

Aufgabe 1 O-Notation (2+3+5=10 Punkte)

Aufgabe 1 O-Notation (2+3+5=10 Punkte) 1 Aufgabe 1 O-Notation (2+3+=10 Punkte) Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: a) n 2 +log n Θ(n 2 ) Ist die Aussage wahr, so muss gelten: 0 < lim n + n 2 +logn n 2

Mehr

Übung Algorithmen I

Übung Algorithmen I Übung Algorithmen I.6.5 Christoph Striecks Christoph.Striecks@kit.edu (Mit Folien von Julian Arz, Timo Bingmann und Sebastian Schlag.) Roadmap Hinweise zur Übungsklausur (Weitere) Traversierungen von Binärbäumen

Mehr

Informatik II. PVK Part1 Severin Wischmann wiseveri@student.ethz.ch n.ethz.ch/~wiseveri

Informatik II. PVK Part1 Severin Wischmann wiseveri@student.ethz.ch n.ethz.ch/~wiseveri Informatik II PVK Part1 Severin Wischmann wiseveri@student.ethz.ch n.ethz.ch/~wiseveri KAUM JAVA Kaum Java Viel Zeit wird für Java-spezifisches Wissen benützt Wenig wichtig für Prüfung Letztjähriger Assistent

Mehr

- k Maximalwerte aus Menge mit n >> k Elementen (Rangfolgebestimmung von Suchmaschinen!) Die typische Operationen:

- k Maximalwerte aus Menge mit n >> k Elementen (Rangfolgebestimmung von Suchmaschinen!) Die typische Operationen: 6 Partiell geordnete binäre Bäume: Heap (Haufen) Motivation für manchen Anwendungen nur partielle Ordnung der Elemente statt vollständiger nötig, z.b. - Prioritätsschlange: nur das minimale (oder maximale)

Mehr

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 11, Donnerstag, 15.

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 11, Donnerstag, 15. Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 11, Donnerstag, 15. Januar 2015 (Balancierte Suchbäume) Junior-Prof. Dr. Olaf Ronneberger

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Rekurrenzen T(n) = T(n 1) + N beschreibt Laufzeitverhalten eines rekursiven Algorithmus

Rekurrenzen T(n) = T(n 1) + N beschreibt Laufzeitverhalten eines rekursiven Algorithmus Algorithmen und Datenstrukturen Übung Rekurrenzen T(n) = T(n ) + N beschreibt Laufzeitverhalten eines rekursiven Algorithmus Bsp. Fibunacci F(n) = F(n ) + F(n ) N F(0) = F() = F(N) rekursive Aufrufe,8

Mehr

368 4 Algorithmen und Datenstrukturen

368 4 Algorithmen und Datenstrukturen Kap04.fm Seite 368 Dienstag, 7. September 2010 1:51 13 368 4 Algorithmen und Datenstrukturen Java-Klassen Die ist die Klasse Object, ein Pfeil von Klasse A nach Klasse B bedeutet Bextends A, d.h. B ist

Mehr

13. Binäre Suchbäume

13. Binäre Suchbäume 1. Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume realiesieren Wörterbücher. Sie unterstützen die Operationen 1. Einfügen (Insert) 2. Entfernen (Delete). Suchen (Search) 4. Maximum/Minimum-Suche 5. Vorgänger (Predecessor),

Mehr

7. Sortieren Lernziele. 7. Sortieren

7. Sortieren Lernziele. 7. Sortieren 7. Sortieren Lernziele 7. Sortieren Lernziele: Die wichtigsten Sortierverfahren kennen und einsetzen können, Aufwand und weitere Eigenschaften der Sortierverfahren kennen, das Problemlösungsparadigma Teile-und-herrsche

Mehr

Klausur Sommersemester 2012 Datenstrukturen und Algorithmen 24. September 2012

Klausur Sommersemester 2012 Datenstrukturen und Algorithmen 24. September 2012 Hochschule Bonn-Rhein-Sieg University of Applied Sciences Fachbereich Informatik Prof. Dr. Peter Becker Klausur Sommersemester 2012 Datenstrukturen und Algorithmen 24. September 2012 Bevor Sie mit der

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 00

Mehr

Punkte. Teil 1. Teil 2. Summe. 1. Zeigen Sie, dass der untenstehende Suchbaum die AVL-Bedingung verletzt und überführen Sie ihn in einen AVL-Baum.

Punkte. Teil 1. Teil 2. Summe. 1. Zeigen Sie, dass der untenstehende Suchbaum die AVL-Bedingung verletzt und überführen Sie ihn in einen AVL-Baum. Hochschule der Medien Prof Uwe Schulz 1 Februar 2007 Stuttgart Klausur Informatik 2, EDV-Nr 40303/42022 Seite 1 von 2 Name: Matr Nr: Teil 1: Keine Hilfsmittel Bearbeitungszeit: 20 Minuten Teil 1 Teil 2

Mehr

Informatik II Prüfungsvorbereitungskurs

Informatik II Prüfungsvorbereitungskurs Informatik II Prüfungsvorbereitungskurs Tag 4, 23.6.2016 Giuseppe Accaputo g@accaputo.ch 1 Programm für heute Repetition Datenstrukturen Unter anderem Fragen von gestern Point-in-Polygon Algorithmus Shortest

Mehr

Kapitel 9 Suchalgorithmen

Kapitel 9 Suchalgorithmen Kapitel 9 Suchalgorithmen Technische Universität München Suchverfahren: Verfahren, das in einem Suchraum nach Mustern oder Objekten mit bestimmten Eigenschaften sucht. Vielfältige Anwendungsbereiche für

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen SS07

Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datenstrukturen und Algorithmen SS0 Datum:.6.200 Michael Belfrage mbe@student.ethz.ch belfrage.net/eth Programm von Heute Minimaler Spannbaum (MST) Challenge der Woche Fibonacci Heap Minimaler Spannbaum

Mehr

Suchstrukturen. Übersicht. 8 Suchstrukturen. Allgemeines. H. Täubig (TUM) GAD SS

Suchstrukturen. Übersicht. 8 Suchstrukturen. Allgemeines. H. Täubig (TUM) GAD SS Übersicht 8 Suchstrukturen Allgemeines Binäre Suchbäume AVL-Bäume H. Täubig (TUM) GAD SS 14 309 Allgemeines Übersicht 8 Suchstrukturen Allgemeines Binäre Suchbäume AVL-Bäume H. Täubig (TUM) GAD SS 14 310

Mehr

7 Weitere Baumstrukturen und Heapstrukturen

7 Weitere Baumstrukturen und Heapstrukturen 7 Weitere Baumstrukturen und Heapstrukturen Man kann kurze Suchzeiten in Baumstrukturen erreichen durch Rebalancierung bei Einfügungen und Löschungen (AVL Bäume, gewichtsbalancierte Bäume, Bruderbäume,

Mehr

Verkettete Datenstrukturen: Bäume

Verkettete Datenstrukturen: Bäume Verkettete Datenstrukturen: Bäume 1 Graphen Gerichteter Graph: Menge von Knoten (= Elementen) + Menge von Kanten. Kante: Verbindung zwischen zwei Knoten k 1 k 2 = Paar von Knoten (k 1, k 2 ). Menge aller

Mehr