Wirtschafts- und Finanzmathematik

Transkript

1 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management Wintersemester 2016/17

2 Anzahl Zinstage? A: 0, B: 1, C: 2, D: 3, E: 4

3 # Mathe VL # unterjährige Verzinsung m = c1, 2, 4, 12, 52, 365, 365*24, 365*24*3600) q.eff = functionm){1+0.19/m)^m} data.framem, q.effm)) ## ## ## ## ## ## ## ## ## m q.eff.m

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5 Gliederung 1 Grundlegende Bausteine 2 Aussagenlogik 3 Mengen 4 Folgen und Reihen 5 Reelle Funktionen 6 Differentialrechnung 7 Integration 8 Finanzmathematik Zinsen Renten Tilgung Kursrechnung 8 Finanzmathematik 9 Lineare Algebra 10 Lineare

6 Zinsen Zinsen: Gebühr, die ein Schuldner für die befristete Überlassung von Kapital bezahlt Betrag der Zinsen Z): Abhängig von Höhe des überlassenen Kapitals K, dem vereinbartem Zinssatz und der Dauer der Überlassung Verwendete Symbole: Symbol Bezeichnung K 0 Betrag zu Beginn K t Betrag zum Zeitpunkt t K n Endbetrag Zeitpunkt n) n ganzzahlige Laufzeit Z t Zinsen zum Zeitpunkt t i = p konstanter) Zinssatz 100 q = 1 + i Zinsfaktor p Prozentzinssatz) 154

7 Einfache lineare) Verzinsung gemäß K n = K 0 + Z = K 0 + K 0 i n = K i n) Gesetzlich vorgeschrieben für Verzugszinsen und bei Kreditgeschäften zwischen Privatpersonen BGB, 248) K 0 unbekannt: Barwert K 0 über Abzinsung bzw. Diskontierung bzw. Barwertberechnung Amtliche Diskontierung: K 0 = K n 1 + ni Kaufmännische Diskontierung Nur erste Näherung): K 0 = K n 1 ni) 155

8 Unterjährige einfache Verzinsung: Sparbuchmethode Sparbuchmethode: Einteilung des Zinsjahres in 12 Monate zu je 30 Tagen, Maximal: 360 Zinstage pro Jahr Dadurch Berechnung von Monats- bzw. Tageszinsen möglich Dazu: Berechnung des Bruchteils eines Zinsjahres über die Anzahl der Zinstage t {0, 1,..., 360} Regeln: Einzahlungstag wird komplett verzinst, Auszahlungstag gar nicht Daraus ergibt sich K n = K 0 + K 0 i t 360 = K i ) t

9 Die Zinseszinsformel Während Laufzeit Zinszahlungen mit sofortiger Wiederanlage und Verzinsung zum Zinssatz i Entwicklung des Kapitals: K 1 = K 0 + K 0 i = K i) = K 0 q K 2 = K i) = K 0 q) q = K 0 q 2 K 3 = K i) = K 0 q 2) q = K 0 q 3 Damit: Zinseszinsformel, mit n zunächst) ganzzahlig. K n = K 0 q n q n heißt Aufzinsungfaktor 157

10 Die Zinseszinsformel Auflösung der Zinseszinsformel nach K 0, q und n: K 0 = K n q n Abzinsungs- oder Diskontierungsformel q n heißt Abzinsungsfaktor q = n Kn bzw. i = n Kn 1 K 0 K 0 n = ln K n ln K 0 ln q 158

11 Üblich: bei Restlaufzeiten kleiner einem ganzzahliges Vielfachen der Zinsperiode Genauer: Mit t 1 Anzahl Zinstage im ersten Jahr), n die weiteren, ganzen Zinsperioden) und t 2 Zinstage im letzten Jahr), gilt für das Endkapital K x : K x = K i t ) i) n 1 + i t ) Gemischte Zinsrechnung unter Verwendung der Sparbuchmethode zur Bestimmung der Anzahl der Zinstage 159

12 : Beispiel Beispiel Am wurden zu 3,75 % angelegt. Wie hoch ist der Endbetrag bei Kontoauflösung am letzter Zinstag )? Lösung: n = 6): K x = = , ^= 9 1) = 255 t 1 = ) = ^= 9 1) = 260 t 2 = , ) 1, , ) 160

13 : Anmerkungen Würde man von t 0 ausgehend in ganze Jahre und einem Rest aufteilen, so ergäbe sich: K x = , , ) = , Jahre von bis ; dazu 6 Tage) Würde man die Zinseszinsformel mit nicht-ganzzahligem Exponenten verwenden, so ergäbe sich Folgendes: K x = , = ,90 ist also zumindest für Kapitalanleger) verbraucherfreundlich 161

14 : Anmerkungen Nachteil der gemischten Verzinsung Die gemischte Verzinsung ist inkonsistent und vom Zeitpunkt des Zinszuschlages bzw. der Einzahlung) abhängig. Im Beispiel: Wäre der Zeitraum um einen Monat verschoben vom bis zur Auflösung am ), so ergäbe sich... K x = = , , ) 1, , Die Widersprüche verschwinden, wenn eine unterjährige Verzinsung zum konformen Zinssatz vorgenommen wird. ) 162

15 Unterjährige Verzinsung Abrechnung und Zahlung von Zinsen nicht jährlich, sondern in kürzeren Abständen Dazu: m gleich lange Zinsperioden pro Jahr Typische Aufteilungen: m = 2, 4, 12 Zinsperioden Annahme: Laufzeit n in Jahren sei aus Vereinfachungsgründen) ein ganzzahliges Vielfaches von 1 m z.b. m = 2, n = 1,5 oder m = 12, n = 1,25). Bei m Zinsabschnitten pro Jahr heißt gegeben, so heißt: der Zins i oder i nom der nominelle Jahreszins oder Jahreszins, i rel = i m der relative Periodenzins, i kon der zu i konforme Periodenzins, mit dem die periodische Verzinsung über i rel zum selben Ergebnis führt wie die jährliche Verzinsung mit i. 1 + i kon ) m = 1 + i) 163

16 Unterjährige Verzinsung Betrachte den relativen Periodenzinsen i rel = i m, so heißt: i der nominelle Jahreszins i eff der effektive Jahreszins, wenn jährliche Verzinsung mit i eff zum selben Ergebnis führt wie periodische Verzinsung mit i rel. Entsprechendes gilt für q rel, qkon, q eff ). K 1 = K 0 q m rel = K 0 q eff q eff = q m rel mit q rel = 1 + i rel = 1 + i m 164

17 Unterjährige Verzinsung: Formel Damit: Effektivzins q eff ist q eff = 1 + i rel ) m = 1 + i ) m m Endkapital K n ist: K n = K i rel ) m n = K i ) m n m Anmerkung: m n muss nach o.g. Bedingungen ganzzahlig sein. 165

18 Beispiel zur unterjährigen Verzinsung Beispiel Ein Betrag von soll zu 5 % nominal bei monatlicher Verzinsung angelegt werden. Welcher Betrag kann nach 16 Monaten entnommen werden? Wie hoch ist der Effektivzins? Lösung: Mit i = 5 %, m = 12 und m n = 16 gilt: K n = K 0 Effektiver Jahreszins: 1 + i m ) m n = i eff = 1 + 0,05 ) 12 1 = 5,12 % ,05 ) 16 = ,

19 Beispiel zur unterjährigen Verzinsung mit dem konformen Zinssatz Widersprüche der gemischten Verzinsung verschwinden, wenn eine unterjährige Verzinsung mit dem konformen Zinssatz gemäß den Richtlinien für den internationalen Wertpapierhandel ISMA International Securities Market Association) vorgenommen wird. Beispiel Am ) wurden zu effektiv 3,75 % angelegt. Wie hoch ist der Endbetrag bei Kontoauflösung am )? Lösung Verwendung des konformen Zinses auf täglicher Basis, also q kon = 360 1,0375 = 1, K n = , , , = ,90 alternativ: K n = , , , = ,90 167

20 Lässt man m wachsen, so erhält man aus der obigen Formel K n = lim K i ) m n [ = K 0 m m lim m die Formel für die stetige Verzinsung: K n = K 0 e i n Für den effektiven Jahreszinssatz gilt damit: i eff = e i 1 Anwendung stetiger Wachstumsprozesse: Ökonomie Bevölkerungswachstum), Physik radioaktiver Zerfall), BWL Portfolio- und Kapitalmarkttheorie) 1 + i ) m )] n = K ) 0 e i n m 168

21 Beispiel zur stetigen Verzinsung Beispiel überzogenes Girokonto) K 0 = , n = 5, nominaler Jahreszins i = 0,19. Wie hoch ist K n und p eff bei stetiger Verzinsung? Lösung: K n = K 0 e i n = e 0,19 5 = ,10 i eff = e 0,19 1 = 20,925 % Anmerkungen Bei Variation von m ergeben sich: m p eff 5 19,903 20,397 20,745 20,925 Die stetige Verzinsung wird z.b. in der Portfoliotheorie verwendet, da sie mathematisch einfacher zu handhaben ist als die diskrete Verzinsung. 169

22 Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik für Vergleich von Zahlungen, welche zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen. Vereinfachende Annahmen: Zinseszinsliche Verzinsung Zahlungen stets am Anfang oder am Ende einer Zinsperiode Prinzip Vergleich von 2 oder mehreren zu verschiedenen Zeitpunkten anfallende Geldbeträge: Beziehen auf den gleichen Zeitpunkt durch geeignetes Auf- oder Abzinsen. Wahl des Zeitpunktes dabei unerheblich. Meist: Zeitpunkt t = 0 oder t = n Ende der Laufzeit) t = 0 den Anfang des ersten Zinszeitraums heute ). t = 1 Beginn des 2. Zinszeitraums 1.1. des 2. Jahres). t = 2 Beginn des 3. Zinszeitraums 1.1. des 3. Jahres). t = n Ende des letzen Zinszeitraumes des n-ten Jahres) 170

23 Äquivalenzprinzip: Herleitung Zwei Zahlungen, A im Zeitpunkt t A und B im Zeitpunkt t B, sind dann gleichwertig A B), wenn ihre e in jedem Zeitpunkt t übereinstimmen. Beispiel Gegeben: A = , t A = 2, p = 7% Gesucht: B mit t B = 5 so, dass A B. Lösung: B = ,07 5 2) = ,43 Eine Zahlung von ,43 nach 5 Jahren ist also gleichwertig zu einer Zahlung von nach 2 Jahren. Der Barwert Wert heute ) beider Zahlungen ist übrigens ,07 2 = ,43 1,07 5 = 8 734,39 [ ]. 171

24 Zahlungsströme, Barwert, Endwert Ein Zahlungsstrom A 0,..., A n ) ist eine Folge von Zahlungen mit Zahlungszeitpunkten t = 0,..., n. Summe aller auf t = 0 abgezinsten Zahlungen Kapitalwert): K 0 = n t=0 A t q t n = A t q t t=0 Summe aller auf t = n abgezinsten Zahlungen Endwert): K n = n t=0 q n A t q t n = A t q n t t=0 172

25 Gleichheit zweier Zahlungsströme Zwei Zahlungsströme A t ), B t ), t = 0,..., n sind genau dann äquivalent, wenn sie zu einem beliebigen Zeitpunkt T den gleichen besitzen: A t ) B t ) n t=0 A t q T t = n t=0 B t q T t q T n t=0 A t q t = q T n t=0 B t q t n t=0 A t B t ) q t = 0 A t ) B t ) n A t B t ) q t = 0 t=0 173

26 Investitionsrechnung: Beispiel Beispiel Kalkulationszinssatz gleich 5 %. Welches Projekt ist zu bevorzugen? Jahr t A t B t Lösung: Kapitalwert von A t ): 5 A t 1,05 t = 0 1, , , ,05 3 t= , ,05 5 = 2599,74 Kapitalwert von B t ): 5 B t 1,05 t = 400 1, , , ,05 3 t= , ,05 5 = 2625,80 Alternative B ist der Alternative A vorzuziehen. 174

27 Rentenrechnung Definition Rente: Zahlungsstrom mit Zahlungen in gleichen zeitlichen Abständen und meistens) in konstanter Höhe Unterscheidung zwischen Renten mit Zahlung am Ende einer Rentenperiode nachschüssig) mit Zahlung zu Beginn einer Rentenperiode vorschüssig) mit endlicher Laufzeit endliche Renten) mit unendlicher Laufzeit ewige Renten) Unterjährige Renten Ewige Renten 175