Mathematik des Zufalls Was verbindet ein Münzspiel, Aktienkurse und einen Vogelflug

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik des Zufalls Was verbindet ein Münzspiel, Aktienkurse und einen Vogelflug"

Transkript

1 Mathematik des Zufalls Was verbindet ein Münzspiel, Aktienkurse und einen Vogelflug Sylvie Roelly Lehrstuhl für Wahrscheinlichkeitstheorie, Institut für Mathematik der Universität Potsdam Lehrertag, Postdam, 9. März 0

2 Gliederung des Vortrages Einleitung: wo und wie spielt der Zufall eine Rolle? Der Münzwurf - oder der Aktienkurs? Zufällige Wege einer verwirrten Ameise auf dem Kachelboden Über den Vogelflug

3 Ein Münzspiel mit Spielern Eine Münze wird mehrmals geworfen. Kopf André gibt Elsa Euro, Zahl Elsa gibt André Euro. Zufällige Vermögen von Elsa nach n Würfen: V (n) Münze fair bedeutet Wkeit(Kopf ) = Wkeit(Zahl) = /

4 Wenn die Münze fair ist, bleibt das durchschnittliche Vermögen von Elsa konstant : Sonst gilt E(V (n))(= Mittleres V (n)) = V (0). E(V (n)) = V (0) + n(p ) wobei p : Wkeit(Kopf ). Zum Beispiel:n = 500, p = 0, 5, V (0) = 0, E(V (n)) = 0 Die Oscillationen bleiben kontrolliert: Wkeit( n V (n) n) 95%. (Zentraler Grenzwertsatz) Das Startvermögen wird immer wieder erreicht: Wkeit (Elsa immer wieder 0 Euro in der Tasche hat) = so genannte Rekurrenz dieser zufälligen Kurve

5 Simulation Skalierung der Zeit: Schnelleres Spiel (oder viel mehr Wiederholungen) der Werte: Bei jedem Spiel, kleinerer Gewinn oder Verlust Ähnlichkeit mit...dax! Bachelier (900) (Doktorvater Henri Poincaré): Theorie der Spekulation Berechnung von Tendenz, Voraussichten usw.

6 Zufälliger Weg auf der Ebene Verwirrte Ameise auf dem Kachelboden: bewegt sich in zufälliger Richtung. Simulation

7 Mu nzwurf Auf der Ebene Nach einer perso nlichen Erfahrung...beweist Po lya Irrfahrten in Zürich Georg Pólya ( ) einen wichtigen Satz! Vogelflug

8 Pólya Satz (9) Die eindimensionale und die zweidimensionale symmetrische Irrfahrt sind rekurrent. Das heißt: Wenn eine verwirrte Ameise zufällige Wege entlang den Fugen des Kachelbodens macht, kehrt sie sicher immer wieder zurück zum Startpunkt...(aber wann?) Sie besucht auch unendlich oft jede Fuge des Kachelbodens. Aber auf dem 3-dimensionalen Gitter würde die Ameise wieder an ihren Ausgangspunkt nur mit der Wahrscheinlichkeit 0,34 (34%) zurückkehren. Dies ist die Transienzeigenschaft, gültig ab der Dimension 3...

9 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Satz : Die eindimensionale symmetrische Irrfahrt ist rekurrent. Beweisskizze: Ideen: Um zu 0 zurückzukehren, muss man bei (bzw. ) vorbeikommen. Vor der ersten Rückkehr nach 0 kann man x, x, 3x, bei (bzw. ) gewesen sein. Nach einem Besuch in (bzw. ) geht man mit W = ½ zu 0 und mit W = ½ in die andere Richtung. Bezeichnung: Wir schreiben R für die unbekannte Wahrscheinlichkeit, vom Punkt zu 0 zurückzukehren. Zuerst wollen wir dieses R bestimmen und mit dessen Hilfe dann die Rückkehrwahrscheinlichkeit zu 0 bei Start in 0. Um R zu berechnen, verwenden wir die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit, von Punkt nach zu kommen auch gleich R ist. Schema: 0 0; W= R R 0; W= Rückkehr zu R Rückkehr zu 3 R 0; W=

10 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Zählt man alle diese Fälle zusammen, so erhält man eine Gleichung für R: R= + R + R + R Die rechte Seite ist eine sogenannte geometrische Reihe, welche man berechnen kann. So erhält man: R= = R R Das ergibt umgeformt eine quadratische Gleichung mit einer einzigen Lösung: R= Die Wahrscheinlichkeit, nach 0 zurückzukommen, falls man in ist, ist also, d.h. man kommt sicher zurück. Da die Situation für den Fall, dass man in ist, genau gleich aussieht, und man von 0 aus nur nach oder gehen kann, ist auch die gesuchte Rückkehrwahrscheinlichkeit zu 0 bei Start in 0 gerade ; man kommt also sicher zurück.

11 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Satz : Die zweidimensionale symmetrische Irrfahrt ist rekurrent. Beweisskizze: Ideen: Man braucht immer eine gerade Anzahl Schritte, um zurückzukommen, also, 4, 6,, n Schritte (n eine natürliche Zahl). Man muss gleich viele Schritte nach Norden wie nach Süden und gleich viele nach Osten wie nach Westen gehen, um am Schluss wieder bei 0 zu sein. Es gibt 4n Wege, die aus n Schritten bestehen, da man für jeden Schritt 4 Möglichkeiten hat. Hilfsaussage: Die Irrfahrt ist rekurrent, falls die Wahrscheinlichkeiten, in, in 4, 6, 8, Schritten zurückzukehren, zusammengezählt gegen unendlich streben. Anders gesagt: Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten müssen gross genug sein, damit man sicher einmal zurückkehrt.

12 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Wir betrachten Wege der Länge n (n eine natürliche Zahl), und wollen herausfinden, wie viele dieser 4n möglichen Wege nach 0 zurückkehren, d. h. wie viele günstige Fälle es gibt. Wenn von diesen n Schritten k Schritte nach Osten führen, müssen k auch wieder nach Westen führen. Es bleiben also n-k Schritte, von denen je n-k nach Norden bzw. Süden gehen. Dabei kann k irgendeine natürliche Zahl zwischen 0 und n sein. Mit Hilfe von etwas Kombinatorik kann man nun ausrechnen, dass es genau (n + ) ( n + ) ( n + 3)... n 3... n solcher günstigen Wege gibt.

13 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Somit ist die Wahrscheinlickeit für eine Rückkehr in n Schritten: Anzahl günstige Fälle Anzahl mögliche Fälle = ( n + ) ( n + ) ( n + 3)... n 3... n n 4 Mit Hilfe der sogenannten Stirling-Formel findet man heraus, dass sich diese Wahrscheinlichkeit für grosse Zahlen n verhält wie. π n Die unendliche Summe dieser Wahrscheinlichkeiten verhält sich also wie = π π π 3 π 3 Und das ist das -fache der sogenannten harmonischen Reihe, von der man weiss, dass sie π gegen unendlich strebt. Somit ist wegen der Hilfsbehauptung Satz bewiesen.

14 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Schwarzschnabelsturmtaucher Vogelflug

15 00 Vögelwege im Himmel zum Nest zurück; Simulation Wie findet ein Vogel, ausgesetzt im fremden Terrain, zu seinem fernen Heimatort zurück? Warum fliegt der Vogel nicht direkt zum Ziel? Münzwurf Auf der Ebene Vogelflug Wilkinson, englischer Ornithologe, beobachtet 95 die Struktur dieser nicht vorhersehbaren Wege:

16 Kendall (98-007) liefert 974 die erste mathematische Analyse in Pole-seeking Brownian motion and bird navigation Diese Wege sind zufällig: Jede halbe Stunde (circa 35 km) ändert der Vogel seine Flugrichtung und macht dabei einen zufälligen Winkelfehler α Wkeit(α α α ) = c(κ) α α e κcosθ dθ. Es sind - wenn κ variiert- die Von Mises Verteilungen. Für die Familie der Schwarzschnabelsturmtaucher, schätzt man κ =. Diese Wege haben schätzbare geometrische Charakteristiken: Die mittlere Länge eines Weges ist circa 3 mal länger als der direkte Weg.

17 Wenn der Vogel keinen Orientierungssinn hätte, wäre diese Irrfahrt isotrop (= symmetrisch): κ = 0. Sie ist rekurrent aber der Vogel würde sterben bevor er das Nest erreicht... Weil der Vogel einen Orientierungssinn hat, ist diese Irrfahrt nicht isotrop; daher kommt der Vogel schneller und sicher zurück zum Nest! Weitere Literaturhinweise: unter anderen Garcia, Possani, Ranvaud, Tal Three theorems potentially useful in homing pigeon navigation (Journal of Mathematical Biology, 005) Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel

Anhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Monte-Carlo-Simulation

Monte-Carlo-Simulation Modellierung und Simulation Monte-Carlo-Simulation Universität Hamburg Johannes Schlundt 7. Januar 2013 Monte-Carlo-Simulation Johannes S. 1/31 Inhalt Motivation Geschichtliche Entwicklung Monte-Carlo-Simulation

Mehr

Das Black-Scholes Marktmodell

Das Black-Scholes Marktmodell Das Black-Scholes Marktmodell Andreas Eichler Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 8. April 2011 1 / 14 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt

Mehr

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion

Mehr

Weiterbildungskurs Stochastik

Weiterbildungskurs Stochastik Hansruedi Künsch Seminar für Statistik Departement Mathematik, ETH Zürich 24. Juni 2009 Inhalt STATISTIK DER BINOMIALVERTEILUNG 1 STATISTIK DER BINOMIALVERTEILUNG 2 Fragestellungen Typische Fragestellungen

Mehr

Stefan Lucks Krypto und Mediensicherheit (2009) 4: Stromchiffren

Stefan Lucks Krypto und Mediensicherheit (2009) 4: Stromchiffren 4: Stromchiffren Zwei Grundbausteine der symmetrischen Kryptographie: Stromchiffren Verschlüsseln beliebig langer Klartexte, interner Zustand Blockchiffren Verschlüsseln von Blocks einer festen Größe,

Mehr

Computerviren, Waldbrände und Seuchen - ein stochastisches Modell für die Reichweite einer Epidemie

Computerviren, Waldbrände und Seuchen - ein stochastisches Modell für die Reichweite einer Epidemie Computerviren, Waldbrände und Seuchen - ein stochastisches für die Reichweite einer Epidemie Universität Hildesheim Schüler-Universität der Universität Hildesheim, 21.06.2012 Warum Mathematik? Fragen zum

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung 5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.

Mehr

Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Sportwetten. zur Langen Nacht der Wissenschaften 2008. zur Langen Nacht der Wissenschaften 2008 Sportwetten 05.02.2009 1

Sportwetten. zur Langen Nacht der Wissenschaften 2008. zur Langen Nacht der Wissenschaften 2008 Sportwetten 05.02.2009 1 Sportwetten zur Langen Nacht der Wissenschaften 2008 zur Langen Nacht der Wissenschaften 2008 Sportwetten 05.02.2009 1 Portugal vs. Schweiz Wettbüro A Wettbüro B Ihr Einsatz: 10 Euro! Spielausgang 1 0

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Mathematikstudium in Frankfurt - und was danach?

Mathematikstudium in Frankfurt - und was danach? info-tage 2005 an den Frankfurter Hochschulen für Schülerinnen und Schüler der Oberstufe Goethe-Universität, 14. März 2005 Mathematikstudium in Frankfurt - und was danach? Ausblicke, Einblicke, Rückblicke

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung Fachseminar zur Stochastik Die Binomialverteilung 23.11.2015 Referenten: Carolin Labrzycki und Caroline Kemper Gliederung Einstieg Definition der Binomialverteilung Herleitung der Formel an einem Beispiel

Mehr

3.8 Wahrscheinlichkeitsrechnung III

3.8 Wahrscheinlichkeitsrechnung III 3.8 Wahrscheinlichkeitsrechnung III Inhaltsverzeichnis ufallsgrössen Der Erwartungswert 3 3 Die Binomialverteilung 6 4 Die kumulierte Binomialverteilung 8 4. Die Tabelle im Fundamentum (oder Formeln und

Mehr

Informatik Aufgaben. 1. Erstelle ein Programm zur Berechnung der Summe der Zahlen von 1 bis n, z.b. n = 100.

Informatik Aufgaben. 1. Erstelle ein Programm zur Berechnung der Summe der Zahlen von 1 bis n, z.b. n = 100. Informatik Aufgaben 1. Erstelle ein Programm zur Berechnung der Summe der Zahlen von 1 bis n, z.b. n = 100. 2. Erstelle ein Programm, das die ersten 20 (z.b.) ungeraden Zahlen 1, 3, 5,... ausgibt und deren

Mehr

Angewandte Stochastik

Angewandte Stochastik Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 17 Crash Course Brownsche Bewegung (stetige Zeit, stetiger Zustandsraum); Pricing & Hedging von Optionen in stetiger Zeit Literatur Kapitel 17 * Uszczapowski:

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2010 im Fach Mathematik. 26. Mai 2010

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2010 im Fach Mathematik. 26. Mai 2010 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 00 im Fach Mathematik 6. Mai 00 LÖSUNGEN UND BEWERTUNGEN Mittlerer Schulabschluss 00, schriftliche

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 1 Wahrscheinlichkeitstheorie die Wissenschaft der Zapper und Zocker Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 2 Münzwürfe, Zufallsbits Elementarereignisse mit Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Ruinwahrscheinlichkeiten im Glücksspiel

Ruinwahrscheinlichkeiten im Glücksspiel Ruinwahrscheinlichkeiten im Glücksspiel Wilhelm Stannat Fachbereich Mathematik TU Darmstadt February 24, 2007 Stochastik = Wahrscheinlichkeitstheorie + Statistik Wahrscheinlichkeitstheorie = Mathematische

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Seminar Finanzmathematik

Seminar Finanzmathematik Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel Seite 1 von 24 Zufallszahlen am Computer 3 Gleichverteilte Zufallszahlen 3 Weitere Verteilungen 3 Quadratische Verteilung 4 Normalverteilung

Mehr

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik

Mehr

Business Value Launch 2006

Business Value Launch 2006 Quantitative Methoden Inferenzstatistik alea iacta est 11.04.2008 Prof. Dr. Walter Hussy und David Tobinski UDE.EDUcation College im Rahmen des dokforums Universität Duisburg-Essen Inferenzstatistik Erläuterung

Mehr

Elementare statistische Methoden

Elementare statistische Methoden Elementare statistische Methoden Vorlesung Computerlinguistische Techniken Alexander Koller 28. November 2014 CL-Techniken: Ziele Ziel 1: Wie kann man die Struktur sprachlicher Ausdrücke berechnen? Ziel

Mehr

1.3 Ein paar Standardaufgaben

1.3 Ein paar Standardaufgaben 1.3 Ein paar Standardaufgaben 15 1.3 Ein paar Standardaufgaben Einerseits betrachten wir eine formale und weitgehend abgeschlossene mathematische Theorie. Sie bildet einen Rahmen, in dem man angewandte

Mehr

Kap. 8: Speziell gewählte Kurven

Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Stefan Lucks 8: Spezielle Kurven 82 Verschl. mit Elliptischen Kurven Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Zur Erinnerung: Für beliebige El. Kurven kann man den Algorithmus von Schoof benutzen, um die Anzahl

Mehr

Seminar Finanzmathematik

Seminar Finanzmathematik Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel von Christian Schmitz Übersicht Zufallszahlen am Computer Optionspreis als Erwartungswert Aktienkurse simulieren Black-Scholes Formel Theorie

Mehr

Irrfahrten. Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik

Irrfahrten. Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik Irrfahrten Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik Alexander Hahn, 04.11.2008 Überblick Ziele der Finanzmathematik Grundsätzliches zu Finanzmarkt, Aktien, Optionen Problemstellung in der Praxis Der

Mehr

FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker

FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker FB IV Mathematik Universität Trier Präsentation von Nadja Wecker 1) Einführung Beispiele 2) Mathematische Darstellung 3) Numerischer Fluss für Diffusionsgleichung 4) Konvergenz 5) CFL-Bedingung 6) Zusammenfassung

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise 6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise Aufgabe 6.: Begründen Sie, warum die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bzw. zufälliger Vorgänge nur ein Modell der Realität darstellen kann.

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2011 im Fach Mathematik. 18. Mai 2011

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2011 im Fach Mathematik. 18. Mai 2011 LAND BRANDENBURG Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2011 im Fach Mathematik 18.

Mehr

3 Berechnungen und Variablen

3 Berechnungen und Variablen 3 Berechnungen und Variablen Du hast Python installiert und weißt, wie man die Python-Shell startet. Jetzt kannst Du etwas damit machen. Wir fangen mit ein paar einfachen Berechnungen an und wenden uns

Mehr

Oberstufe Mathematik - Fraktale Annika Maier, Anja Schmid; Abitur 2004. Fraktale

Oberstufe Mathematik - Fraktale Annika Maier, Anja Schmid; Abitur 2004. Fraktale Fraktale 1 Einleitung : Um solche grafischen Gebilde handelt es sich in unserem mathematischen Referat Wir werden in möglichst nicht-mathematischer Sprache, also für jedermann zugänglich, beschreiben,

Mehr

Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern.

Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern. Wie hoch ist der - und Luftwiderstand eines Autos? Original s. http://www.arstechnica.de/index.html (Diese Seite bietet außer dieser Aufgabe mehr Interessantes zur Kfz-Technik) Kann man den Luftwiderstand

Mehr

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975)

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975) Dass das Problem, die Primzahlen von den zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren zu zerlegen zu den wichtigsten und nützlichsten der ganzen Arithmetik gehört und den Fleiss

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten

Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten Martin Zellner 18. Juli 2011 Einleitende Worte Diese Formelsammlung enthält alle Formeln und Konstanten die im Verlaufe des Semesters in den Übungsblättern

Mehr

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners 1 KAP 15. Spiele unter unvollständiger Information Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels seine Gegenspieler, deren Aktionen, deren Nutzen, seinen eigenen Nutzen etc. Oft kennt man

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Informatik für Schüler, Foliensatz 12 Pseudo-Zufallszahlen

Informatik für Schüler, Foliensatz 12 Pseudo-Zufallszahlen rof. G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal 14. April 2010 1/14 Informatik für Schüler, Foliensatz 12 Pseudo-Zufallszahlen Prof. G. Kemnitz Institut für Informatik, Technische

Mehr

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Wahrscheinlichkeitstheorie Was will die Sozialwissenschaft damit? Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten, besteigen

Mehr

Index der Gewerbeflächenvermarktung

Index der Gewerbeflächenvermarktung WiFö-Index Gewerbe / Marco Gaffrey Bundesweite Befragung zur Gewerbeflächenvermarktung Achim Georg Bundesweite Quartalsbefragung von regionalen Wirtschaftsförderern zur Vermarktung von Gewerbeflächen (hohe

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Grundlagen der Monte Carlo Simulation

Grundlagen der Monte Carlo Simulation Grundlagen der Monte Carlo Simulation 10. Dezember 2003 Peter Hofmann Inhaltsverzeichnis 1 Monte Carlo Simulation.................... 2 1.1 Problemstellung.................... 2 1.2 Lösung durch Monte

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

Simulation mit modernen Tools - runde und spitze Berechnung von π -

Simulation mit modernen Tools - runde und spitze Berechnung von π - Simulation mit modernen Tools - runde und spitze Berechnung von π - Prof. Dr. rer. nat. Stefan Ritter Fakultät EIT 7. April 01 Gliederung 1. Wozu Simulation?. Moderne Tools zur Simulation 1. Maple, Geogebra

Mehr

Erfolg und Vermögensrückgänge angefertigt im Rahmen der Lehrveranstaltung Nachrichtentechnik von: Eric Hansen, eric-hansen@gmx.de am: 07.09.

Erfolg und Vermögensrückgänge angefertigt im Rahmen der Lehrveranstaltung Nachrichtentechnik von: Eric Hansen, eric-hansen@gmx.de am: 07.09. Abstract zum Thema Handelssysteme Erfolg und Vermögensrückgänge angefertigt im Rahmen der Lehrveranstaltung Nachrichtentechnik von: Eric Hansen, eric-hansen@gmx.de am: 07.09.01 Einleitung: Handelssysteme

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE. Markt+Technik

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE. Markt+Technik Statistik mit Excel für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE Markt+Technik Vorwort Schreiben Sie uns! 13 15 Statistische Untersuchungen 17 Wozu Statistik? 18 Wirtschaftliche

Mehr

Betriebswirtschaftliche Blätter Fachzeitschrift

Betriebswirtschaftliche Blätter Fachzeitschrift Erwartungswert Auf richtige Interpretation kommt s an von Dr. Christian R. Sievi Der Erwartungswert spielt im Glücksspiel, etwa an Einarmigen Banditen, eine große Rolle. Für Sparkassen ist er wichtig bei

Mehr

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE Statistik mit Excel für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE INHALTS- VERZEICHNIS Vorwort 13 Schreiben Sie uns! 15 1 Statistische Untersuchungen 17 Wozu Statistik? 18

Mehr

Simulation von Zinsentwicklungen und Bewertung von gängigen Finanzprodukten

Simulation von Zinsentwicklungen und Bewertung von gängigen Finanzprodukten Simulation von Zinsentwicklungen und Bewertung von gängigen Finanzprodukten Andreas Eichler Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 1. Februar 2010 1 / 7 Gliederung 1 Was ist Finanzmathematik

Mehr

IGS Robert-Schuman-Schule Frankenthal

IGS Robert-Schuman-Schule Frankenthal Thema: Gleichungen und Ungleichungen Zeitraum: September - November Terme Rechengesetze Umkehren von Rechenoperationen Systematisches Probieren Terme auswerten und interpretieren Terme aufstellen und für

Mehr

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz 9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Wenn wir die Standardabweichung σ nicht kennen,

Mehr

Ohne Mathematik undenkbar!

Ohne Mathematik undenkbar! Die tägliche - Suche: Ohne Mathematik undenkbar! Dipl.-Wirt.Math. Jan Maruhn FB IV - Mathematik Universität Trier 29. März 2006 29. März 2006 Seite 1 Gliederung Einleitung und Motivation Das Internet als

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN

PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN im Wintersemester 2000/2001 Prof. Dr. Rolf Klein, Dr. Elmar Langetepe, Dipl. Inform. Thomas Kamphans (Betreuer) Vortrag vom 15.11.2000 von Jan Schmitt Thema : Finden eines

Mehr

3.3. Aufgaben zur Binomialverteilung

3.3. Aufgaben zur Binomialverteilung .. Aufgaben zur Binomialverteilung Aufgabe 1: Ziehen mit Zurücklegen und Binomialverteilung Ein sechsseitiger Würfel wird zehnmal geworfen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nur beim ersten Mal die

Mehr

Mathematik. Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2014. Grundkurs mit CAS Aufgabenvorschlag. Aufgabenstellung 1. Aufgabenstellung 2. Aufgabenstellung 3

Mathematik. Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2014. Grundkurs mit CAS Aufgabenvorschlag. Aufgabenstellung 1. Aufgabenstellung 2. Aufgabenstellung 3 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2014 Aufgabenvorschlag Hilfsmittel: Gesamtbearbeitungszeit: Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache

Mehr

Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation

Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation Franz Pauer Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck Tag der Mathematik Graz, 7. Februar 2013 Beispiele für Schlussrechnungen

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit

Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Aufgabe 1 (mdb500405): In einer Urne befinden sich gelbe (g), rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugel (s. Bild). Ohne Hinsehen sollen aus der Urne in einem Zug Kugeln

Mehr

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur JOHANNES BONNEKOH Analysis Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur Vorwort Vorwort Mathematik ist eine Sprache, die uns hilft die Natur und allgemeine naturwissenschaftliche Vorgänge zu beschreiben. Johannes

Mehr

Einführung in die Stochastik

Einführung in die Stochastik Einführung in die Stochastik Josef G. Steinebach Köln, WS 2009/10 I Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Wahrscheinlichkeitsräume, Urnenmodelle Stochastik : Lehre von den Gesetzmäßigkeiten des Zufalls, Analyse

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Präsentationsvorlage Wie präsentiere ich richtig mit Powerpoint

Präsentationsvorlage Wie präsentiere ich richtig mit Powerpoint Präsentationsvorlage Wie präsentiere ich richtig mit Powerpoint Masterseminar Sommersemester 2012 Lehrstuhl für BWL, Controlling und Interne Unternehmensrechnung, Prof. Dr. Szczesny von: Christian Schuhwerk

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Programmieren in JavaScript

Programmieren in JavaScript Lineare Programme 1. Euro a) Schreiben Sie ein Programm, dass Frankenbeträge in Euro umrechnet. Der Benutzer gibt dazu den aktuellen Kurs ein, worauf das Programm einige typische Werte (z.b. für Fr 10,

Mehr

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf Kochen mit Jordan Vorbereitungen Man nehme eine Matrix A R n n und bestimme ihr charakteristisches Polynom p(λ) = (λ c ) r (λ c j ) rj C[X] Dabei gilt: algebraische Vielfachheit r j ˆ= Länge des Jordanblocks

Mehr

Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn

Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Ein 5.55-Approximationsalgorithmus für das VPND-Problem Lars Schäfers Inhalt Einführung:

Mehr

2 3 4 5 6 7 8 9 10 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 1 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 9 10 8 18 20 21 22 23 24 25 26 28

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Das Wythoff-Nim-Spiel Wir wollen uns ein Spiel für zwei Personen ansehen, welches sich W.A.Wythoff 1907 ausgedacht hat: Vor den Spielern liegen zwei

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle

Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle Diplomverteidigung Universität Rostock Institut für Mathematik 20.01.2011 Agenda 1 Das Ornstein-Uhlenbeck Volatilitätsmodell 2 in L 2 (R 2 ) 3 4 Problem

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Lernziele Matbu. ch 8

Lernziele Matbu. ch 8 Lernziele Matbu. ch 8 Beachte auch den Refernzrahmen des Stellwerk8 www. stellwerk- check. ch LU Priorität Grobziel (aus Mathbu.ch 8) Lernziele Begriffe 2 1 Mit gebrochenen Zahlen operieren: Gebrochene

Mehr

Monte Carlo Methoden

Monte Carlo Methoden Monte Carlo Methoden im Verstärkungslernen [Spink] Bryan Spink 2003 Ketill Gunnarsson [ ketill@inf.fu-berlin.de ], Seminar zum Verstärkungslernen, Freie Universität Berlin [ www.inf.fu-berlin.de ] Einleitung

Mehr

Teil I Beschreibende Statistik 29

Teil I Beschreibende Statistik 29 Vorwort zur 2. Auflage 15 Vorwort 15 Kapitel 0 Einführung 19 0.1 Methoden und Aufgaben der Statistik............................. 20 0.2 Ablauf statistischer Untersuchungen..............................

Mehr

Zufällige Wetten: Vom Glücksspiel zum modernen Risikomanagement

Zufällige Wetten: Vom Glücksspiel zum modernen Risikomanagement Zufällige Wetten: Vom Glücksspiel zum modernen Risikomanagement Teilnehmer: Lukas Thum Yu Wang Luciana Plocki Johanna Ridder Felix Tschierschke Thu Hien Nguyen Janin Rekittke Johanna Lindberg Gruppenleiter:

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Francesca Biagini Mathematisches Institut, LMU biagini@math.lmu.de Münchner Wissenschaftstage im Jahr der Mathematik 21. Oktober 28

Mehr

Eine zweidimensionale Stichprobe

Eine zweidimensionale Stichprobe Eine zweidimensionale Stichprobe liegt vor, wenn zwei qualitative Merkmale gleichzeitig betrachtet werden. Eine Urliste besteht dann aus Wertepaaren (x i, y i ) R 2 und hat die Form (x 1, y 1 ), (x 2,

Mehr

Sicherheit von hybrider Verschlüsselung

Sicherheit von hybrider Verschlüsselung Sicherheit von hybrider Verschlüsselung Satz Sicherheit hybrider Verschlüsselung Sei Π ein CPA-sicheres PK-Verschlüsselungsverfahren und Π ein KPA-sicheres SK-Verschlüsselungsverfahren. Dann ist das hybride

Mehr

Linearer Zusammenhang von Datenreihen

Linearer Zusammenhang von Datenreihen Linearer Zusammenhang von Datenreihen Vielen Problemen liegen (möglicherweise) lineare Zusammenhänge zugrunde: Mein Internetanbieter verlangt eine Grundgebühr und rechnet minutenweise ab Ich bestelle ein

Mehr

2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Die Klasse 9 c möchte ihr Klassenzimmer mit Postern ausschmücken. Dafür nimmt sie 30, aus der Klassenkasse. In Klasse 7 wurden lineare Gleichungen mit einer Variablen

Mehr

Derivatebewertung im Binomialmodell

Derivatebewertung im Binomialmodell Derivatebewertung im Binomialmodell Roland Stamm 27. Juni 2013 Roland Stamm 1 / 24 Agenda 1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und

Mehr