Mathematik des Zufalls Was verbindet ein Münzspiel, Aktienkurse und einen Vogelflug

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1 Mathematik des Zufalls Was verbindet ein Münzspiel, Aktienkurse und einen Vogelflug Sylvie Roelly Lehrstuhl für Wahrscheinlichkeitstheorie, Institut für Mathematik der Universität Potsdam Lehrertag, Postdam, 9. März 0

2 Gliederung des Vortrages Einleitung: wo und wie spielt der Zufall eine Rolle? Der Münzwurf - oder der Aktienkurs? Zufällige Wege einer verwirrten Ameise auf dem Kachelboden Über den Vogelflug

3 Ein Münzspiel mit Spielern Eine Münze wird mehrmals geworfen. Kopf André gibt Elsa Euro, Zahl Elsa gibt André Euro. Zufällige Vermögen von Elsa nach n Würfen: V (n) Münze fair bedeutet Wkeit(Kopf ) = Wkeit(Zahl) = /

4 Wenn die Münze fair ist, bleibt das durchschnittliche Vermögen von Elsa konstant : Sonst gilt E(V (n))(= Mittleres V (n)) = V (0). E(V (n)) = V (0) + n(p ) wobei p : Wkeit(Kopf ). Zum Beispiel:n = 500, p = 0, 5, V (0) = 0, E(V (n)) = 0 Die Oscillationen bleiben kontrolliert: Wkeit( n V (n) n) 95%. (Zentraler Grenzwertsatz) Das Startvermögen wird immer wieder erreicht: Wkeit (Elsa immer wieder 0 Euro in der Tasche hat) = so genannte Rekurrenz dieser zufälligen Kurve

5 Simulation Skalierung der Zeit: Schnelleres Spiel (oder viel mehr Wiederholungen) der Werte: Bei jedem Spiel, kleinerer Gewinn oder Verlust Ähnlichkeit mit...dax! Bachelier (900) (Doktorvater Henri Poincaré): Theorie der Spekulation Berechnung von Tendenz, Voraussichten usw.

6 Zufälliger Weg auf der Ebene Verwirrte Ameise auf dem Kachelboden: bewegt sich in zufälliger Richtung. Simulation

7 Mu nzwurf Auf der Ebene Nach einer perso nlichen Erfahrung...beweist Po lya Irrfahrten in Zürich Georg Pólya ( ) einen wichtigen Satz! Vogelflug

8 Pólya Satz (9) Die eindimensionale und die zweidimensionale symmetrische Irrfahrt sind rekurrent. Das heißt: Wenn eine verwirrte Ameise zufällige Wege entlang den Fugen des Kachelbodens macht, kehrt sie sicher immer wieder zurück zum Startpunkt...(aber wann?) Sie besucht auch unendlich oft jede Fuge des Kachelbodens. Aber auf dem 3-dimensionalen Gitter würde die Ameise wieder an ihren Ausgangspunkt nur mit der Wahrscheinlichkeit 0,34 (34%) zurückkehren. Dies ist die Transienzeigenschaft, gültig ab der Dimension 3...

9 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Satz : Die eindimensionale symmetrische Irrfahrt ist rekurrent. Beweisskizze: Ideen: Um zu 0 zurückzukehren, muss man bei (bzw. ) vorbeikommen. Vor der ersten Rückkehr nach 0 kann man x, x, 3x, bei (bzw. ) gewesen sein. Nach einem Besuch in (bzw. ) geht man mit W = ½ zu 0 und mit W = ½ in die andere Richtung. Bezeichnung: Wir schreiben R für die unbekannte Wahrscheinlichkeit, vom Punkt zu 0 zurückzukehren. Zuerst wollen wir dieses R bestimmen und mit dessen Hilfe dann die Rückkehrwahrscheinlichkeit zu 0 bei Start in 0. Um R zu berechnen, verwenden wir die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit, von Punkt nach zu kommen auch gleich R ist. Schema: 0 0; W= R R 0; W= Rückkehr zu R Rückkehr zu 3 R 0; W=

10 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Zählt man alle diese Fälle zusammen, so erhält man eine Gleichung für R: R= + R + R + R Die rechte Seite ist eine sogenannte geometrische Reihe, welche man berechnen kann. So erhält man: R= = R R Das ergibt umgeformt eine quadratische Gleichung mit einer einzigen Lösung: R= Die Wahrscheinlichkeit, nach 0 zurückzukommen, falls man in ist, ist also, d.h. man kommt sicher zurück. Da die Situation für den Fall, dass man in ist, genau gleich aussieht, und man von 0 aus nur nach oder gehen kann, ist auch die gesuchte Rückkehrwahrscheinlichkeit zu 0 bei Start in 0 gerade ; man kommt also sicher zurück.

11 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Satz : Die zweidimensionale symmetrische Irrfahrt ist rekurrent. Beweisskizze: Ideen: Man braucht immer eine gerade Anzahl Schritte, um zurückzukommen, also, 4, 6,, n Schritte (n eine natürliche Zahl). Man muss gleich viele Schritte nach Norden wie nach Süden und gleich viele nach Osten wie nach Westen gehen, um am Schluss wieder bei 0 zu sein. Es gibt 4n Wege, die aus n Schritten bestehen, da man für jeden Schritt 4 Möglichkeiten hat. Hilfsaussage: Die Irrfahrt ist rekurrent, falls die Wahrscheinlichkeiten, in, in 4, 6, 8, Schritten zurückzukehren, zusammengezählt gegen unendlich streben. Anders gesagt: Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten müssen gross genug sein, damit man sicher einmal zurückkehrt.

12 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Wir betrachten Wege der Länge n (n eine natürliche Zahl), und wollen herausfinden, wie viele dieser 4n möglichen Wege nach 0 zurückkehren, d. h. wie viele günstige Fälle es gibt. Wenn von diesen n Schritten k Schritte nach Osten führen, müssen k auch wieder nach Westen führen. Es bleiben also n-k Schritte, von denen je n-k nach Norden bzw. Süden gehen. Dabei kann k irgendeine natürliche Zahl zwischen 0 und n sein. Mit Hilfe von etwas Kombinatorik kann man nun ausrechnen, dass es genau (n + ) ( n + ) ( n + 3)... n 3... n solcher günstigen Wege gibt.

13 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Somit ist die Wahrscheinlickeit für eine Rückkehr in n Schritten: Anzahl günstige Fälle Anzahl mögliche Fälle = ( n + ) ( n + ) ( n + 3)... n 3... n n 4 Mit Hilfe der sogenannten Stirling-Formel findet man heraus, dass sich diese Wahrscheinlichkeit für grosse Zahlen n verhält wie. π n Die unendliche Summe dieser Wahrscheinlichkeiten verhält sich also wie = π π π 3 π 3 Und das ist das -fache der sogenannten harmonischen Reihe, von der man weiss, dass sie π gegen unendlich strebt. Somit ist wegen der Hilfsbehauptung Satz bewiesen.

14 Mu nzwurf Auf der Ebene Vogelflug Schwarzschnabelsturmtaucher Vogelflug

15 00 Vögelwege im Himmel zum Nest zurück; Simulation Wie findet ein Vogel, ausgesetzt im fremden Terrain, zu seinem fernen Heimatort zurück? Warum fliegt der Vogel nicht direkt zum Ziel? Münzwurf Auf der Ebene Vogelflug Wilkinson, englischer Ornithologe, beobachtet 95 die Struktur dieser nicht vorhersehbaren Wege:

16 Kendall (98-007) liefert 974 die erste mathematische Analyse in Pole-seeking Brownian motion and bird navigation Diese Wege sind zufällig: Jede halbe Stunde (circa 35 km) ändert der Vogel seine Flugrichtung und macht dabei einen zufälligen Winkelfehler α Wkeit(α α α ) = c(κ) α α e κcosθ dθ. Es sind - wenn κ variiert- die Von Mises Verteilungen. Für die Familie der Schwarzschnabelsturmtaucher, schätzt man κ =. Diese Wege haben schätzbare geometrische Charakteristiken: Die mittlere Länge eines Weges ist circa 3 mal länger als der direkte Weg.

17 Wenn der Vogel keinen Orientierungssinn hätte, wäre diese Irrfahrt isotrop (= symmetrisch): κ = 0. Sie ist rekurrent aber der Vogel würde sterben bevor er das Nest erreicht... Weil der Vogel einen Orientierungssinn hat, ist diese Irrfahrt nicht isotrop; daher kommt der Vogel schneller und sicher zurück zum Nest! Weitere Literaturhinweise: unter anderen Garcia, Possani, Ranvaud, Tal Three theorems potentially useful in homing pigeon navigation (Journal of Mathematical Biology, 005) Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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