Programmierung und Angewandte Mathematik

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1 Programmierung und Angewandte Mathematik C++ /Scilab Programmierung und Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu wissenschaftlichen Rechnens SS 2012

2 Inhalt Steckbrief der Funktion x sin x Steckbrief der Funktion x cos x Gerade/ungerade Funktionen(Symmetrie und Antisymmetrie) Stetigkeit von Funktionen Darstellung einer periodischen Funktion Fourierreihe Berechnung der Koeffizienten ai und bi Beispiele 2

3 Steckbrief der Funktion x sin x Definitionsbereich: R Wertebereich: das Invervall 1 x 1 Monotonie: im Bereich π/2 x π/2 streng monoton wachsend; im Bereich π/2 x 3π/2 streng monoton fallend; Monotonie-Bereiche wiederholen sich periodisch Periodizität: kleinste Periode = 2π Positivität: im Bereich 0 < x < π positiv; im Bereich π < x <2π negativ; Bereiche wiederholen sich periodisch Nullstellen: bei jedem ganzzahligen Vielfachen von π Nullstelle erster Ordnung Asymptoten: keine Unendlichkeitsstellen: keine 3

4 Steckbrief der Funktion x cos x Definitionsbereich: R Wertebereich: das Invervall 1 x 1 Monotonie: im Bereich 0 x πstreng monoton fallend; im Bereich π x 2π streng monoton wachsend; Monotonie- Bereiche wiederholen sich periodisch Periodizität: kleinste Periode = 2π Positivität: im Bereich π/2 < x < π/2 positiv; im Bereich π/2 < x <3π/2 negativ; Bereiche wiederholen sich periodisch Nullstellen: bei jedem (n + 1/2)π mit ganzzahligem n Nullstelle erster Ordnung Asymptoten: keine Unendlichkeitsstellen: keine 4

5 Gerade/ungerade Funktionen 5

6 Gerade/ungerade Funktionen Symmetrie und Antisymmetrie : Wir nennen eine Funktion f : R R gerade(manchmal auch symmetrisch), wenn für alle x R f ( x) = f (x) gilt. Der Graph einer symmetrischen Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-achse (d.h. er geht unter einer Spiegelung an der y-achse in sich selbst über). Weiteres nennen wir eine Funktion f : R R ungerade(manchmal auch antisymmetrisch), wenn für alle x R f ( x) = f (x) gilt. 6

7 Stetigkeit von Funktionen Eine in einem Intervall A definierte Funktion f : A R wird als stetig bezeichnet, wenn kleine Änderungen von x innerhalb von A kleine Änderungen von f (x) zur Folge haben. Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenhängende Kurve (die sozusagen mit dem Bleistift nachgezogen werden kann, ohne ihn abzusetzen). Der Begriff der Stetigkeit macht nur für Intervalle, in denen eine Funktion definiert ist, Sinn. Eine unstetige Funktion ist dadurch charakterisiert, dass die Forderung nach einem zusammenhängenden Graphen im Definitionsbereich nicht erfüllt ist, dass also beispielsweise eine Sprungstelle existiert (an der die Funktion definiert ist, an der der Graph aber "auseinandergerissen" ist). Eine Funktion, die voneinander isolierten Stellen unstetig, dazwischen aber stetig ist, heißt stückweise (oder abschnittsweise) stetig. Es gibt aber auch Funktionen, die auf ganz R definiert und an jeder Stelle unstetig sind 7

8 Stetigkeit von Funktionen Beispiel für (un)stetige Funktionen 8

9 Beispiel: Unstetiger Sägezahn 9

10 Darstellung einer periodischen Funktion 10

11 Darstellung einer periodischen Funktion Dirichlet hat die notwendigen Voraussetzungen für die Existenz einer Fourier-Spektren für jedes Signal. Jede Funktion, die die Dirichlet-Bedingungen erfüllt: 1. Die Anzahl der Unstetigkeiten innerhalb einer Periode ist endlich 2. Die Anzahl der Maxima und Minima innerhalb einer Periode ist endlich 3. Die Funktion ist in jeder Periode integrierbar (d.h., die Fläche unter dem Betrag der Funktion ist in jeder Periode endlich) läßt sich als Summe von Kosinus- und Sinusfunktionen darstellen. 11

12 Darstellung einer periodischen Funktion Beispiele 12

13 periodischen Funktion Fourierreihe Jede 2π-periodische Funktion, die die Dirichlet-Bedingungen erfüllt, läßt sich als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen Fourier-Reihe. Eine Funktion f(x) ist 2π-periodisch wenn sich für alle x-werte des Definitionsbereichs die Funktionswerte nach einer Verschiebung um 2π nicht ändern. Für solche Funktionen gilt dann f(x) = f(x + 2π). 13

14 2π-periodische Funktion cos(0)=1 und sin(0)=0 vereinfacht sich diese Gleichung zu: Fourierreihe a k und b k heißen Fourier-Koeffizienten. Muss nicht immer k sein. Kann auch n oder andere Buchstabeln sein. 14

15 2π-periodische Funktion Ist f(x) eine stetige monotone Funktion und im Intervall π x πintegrierbar, so kann die Funktion als trigonometrische Reihe in Form einer unendlichen Funktionenreihen geschrieben werden, und a k und b k die Fourierkoeffizienten lassen sich so berrechnen. 15

16 Beispiele 16

17 Rechteck-Schwingung. Beispiel 1 17

18 Berechnung der Koeffizienten ai und bi Rechteck-Schwingung Diese Rechteckschwingung ist eine ungerade Funktion. Allgemein: Für gerade Funktionen sind alle b n = 0, für ungerade Funktionen alle a n = 0. OOP und Angewandte Mathematik 18

19 Rechteck-Schwingung 19

20 Rechteck-Schwingung 20

21 Rechteck-Schwingung 21

22 Rechteck-Schwingung 22

23 Rechteck-Schwingung 23

24 Rechteck-Schwingung 24

25 Rechteck-Schwingung 25

26 Rechteck-Schwingung 26

27 Beispiel 2 Reelle Fourierreihe einer abschnittsweise definierten Funktion Gegeben sei die 2π-periodische Funktion f(x) = x² x Є [0..π] und π = 2π - x x Є [π..2π] 1. Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) 27

28 Reelle Fourierreihe: Beispiel 2 28

29 Reelle Fourierreihe: Beispiel 2 29

30 Reelle Fourierreihe: Beispiel 2 30

31 Reelle Fourierreihe Die Funktion wird dadurch als Funktionsreihe oder Fourier-Reihe dargestellt. Die Koeffizienten a n, an und b n werden Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) genannt. Bei der harmonischen Analyse einer periodischen Funktion werden diese Koeffizienten bestimmt. Je mehr Glieder bei der Fourieranalyse errechnet werden, desto genauer kann die Funktion f(x) durch entsprechende Sinus- und Cosinusfunktionen beschrieben werden. Mit Hilfe der Fourierreihen kann jedes ungedämpfte periodische Signal durch eine lineare Überlagerung, d.h. Addition oder Subtraktion, einfacher harmonischer Teilschwingungen (Sinus- und Cosinusfunktionen) beschrieben werden.