Gymnasium Oberwil / Maturitätsprüfung Mathematik

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1 Mathematik Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe eine neue Seite Dauer: Hilfsmittel: Bewertung: Vier Stunden Formeln, Tabellen, Begriffe (DMK), Taschenrechner TI-84 Plus Die maximal möglichen Punktzahlen sind bei den Aufgaben angeschrieben Für die Note 6 ist nicht die volle Punktzahl erforderlich = 12 Punkte a) Die Kurve k: y = 5 x, die Tangente im Kurvenpunkt B(5 /?) und die x-achse begrenzen ein Flächenstück Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks b) Gegeben ist jetzt die vom Parameter a abhängige Kurve k a : y = a x (a > 0) Im Kurvenpunkt B a ( a /?) wird die Tangente an die Kurve gelegt Zeigen Sie: Diese Tangente schneidet die x-achse für jeden Parameterwert a an der Stelle x a = " a c) Das von der Kurve y = a x, ihrer Tangente im Kurvenpunkt B a ( a /?) und der x-achse begrenzte Flächenstück wird um die x-achse gedreht Dabei entsteht ein Rotationskörper Berechnen Sie sein Volumen Zeigen Sie: Die zur x-achse normale Ebene bei x = 0 zerschneidet den Rotationskörper in zwei volumengleiche Teilkörper 1 / 5

2 2 Für jedes a " R ist eine Kugel K a gegeben durch 9+3 = 12 Punkte K a : (x " a) 2 + (y " 2 a) 2 + z 2 " 81 = 0 a) Im Folgenden geht es um die Lage der vom Parameter a abhängigen Kugeln: a1) Geben Sie die Gleichung der Geraden an, auf der die Mittelpunkte aller Kugeln K a liegen a2) Begründen Sie, dass alle Kugeln K a mit der x- y-ebene gleich grosse Schnittkreise aufweisen a3) Für welche Werte von a hat die Kugel K a mit der x- z-ebene mehr als einen Punkt gemeinsam? a4) Welche der Kugeln K a liegt dem Punkt P ( " 3 /14 / 8) am nächsten? a5) Wie gross ist der Mindestabstand des Punktes P von einem Punkt dieser Kugel? a6) Für welche Werte von a schneidet sich die Kugel K a mit der Kugel K 0 in einem Kreis mit dem Radius r = 6? b) Auf der Kugel K 0 : x 2 + y 2 + z 2 " 81 = 0 liegen die Punkte B(8 / 4 / "1) und C(4 / " 4 / 7) Der Kugelmittelpunkt sei M 0 Ein kleines Modellflugzeug fliegt auf K 0 auf dem kürzesten Weg von B nach C, also auf einem Bogen eines Kreises mit dem Mittelpunkt M 0 Aufgrund seiner ständig wachsenden Geschwindigkeit hebt das Flugzeug in C von der Kugel ab und fliegt längs einer Kugeltangente genau in der Richtung weiter, in der es in C angekommen ist Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente Die Teilaufgabe b) kann unabhängig von der Teilaufgabe a) gelöst werden! 2 / 5

3 3 Gegeben: Funktion = 10 Punkte y = f s (x) = x s " ln x (s # R, s $ 0) a) Für welche x ist die Funktion f s definiert? Bestimmen Sie die Nullstelle des Graphen von f s b) In welchem Punkt besitzt der Graph von f s eine horizontale Tangente (in Abhängigkeit von s)? Für die Fortsetzung betrachten wir y = f 1 (x) = x" ln x c) Bestimmen Sie den Schnittwinkel des Graphen von f 1 mit der x-achse d) Zeigen Sie mit partieller Integration: F 1 (x) = x 2 " ( 1 2 ln x # 1 4 ) ist eine Stammfunktion von f 1 e) Bestimmen Sie den Inhalt der endlichen Fläche im ersten Quadranten, welche vom Graphen von f 1, der x-achse und der Vertikalen x = e begrenzt wird (exaktes Resultat) 3 / 5

4 4 Gegeben sind die Punkte A(2 / " 9 / 3) und B( 7 / 5 /1) = 10 Punkte und die Gerade g:! r = " x % y = # z & " 1 % "(1% ( 2 + t 3 # 3 & # 2& a) ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten AB _ BC Die Ecke C liegt auf der Geraden g Bestimmen Sie C Falls Sie a) nicht lösen können, rechnen Sie mit dem Punkt C *(17 / 0 / " 9) weiter b) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC auch gleichschenklig ist Es kann zu einem Quadrat ABCD ergänzt werden Bestimmen Sie die Ecke D G c) ABCDEFGH ist ein Körper mit folgenden H Eigenschaften: ist der Mittelpunkt des Quadrates ABCD E EFGH ist ein Quadrat mit Mittelpunkt Es entsteht aus ABCD durch Verschiebung D um und Rotation um 45 um ist senkrecht zum Quadrat ABCD (Siehe Zeichnung rechts) A B F C Die Höhe dieses Körpers beträgt = 75 Bestimmen Sie (eine Lösung) und E (gerundete Koordinaten) 5 Betrachtet wird die komplexe Abbildung w = f (z) = (z) = 6 Punkte a) Bestimmen Sie alle z " C, für die gilt: f (z) = 1 b) Bestimmen Sie alle z " C, für die gilt: f ( f (z)) = 1 c) Bestimmen Sie alle z " C, für die gilt: f (z) = z 4 / 5

5 6 Ein Pokerkartendeck enthält 52 Karten bestehend aus = 11 Punkte vier Farben (Pik, Karo, Kreuz, Herz) zu je 13 Werten: neun Zahlenkarten 2 bis 10 und vier Bildkarten (Bube, Dame, König, Ass) a) Es werden 5 Karten gezogen ohne Zurücklegen Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle a1) Wie viele verschiedene Kombinationen sind möglich? a2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Ass gezogen wird? a3) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für einen Vierling (vier Karten vom gleichen Wert und eine andere Karte)? a4) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Full House gezogen wird? Full House: Drilling (drei Karten vom gleichen Wert) und Paar (zwei Karten vom gleichen Wert) b) Die Firma, welche das Pokerkartendeck hergestellt hat, unterhält zwei Produktionsanlagen Anlage A produziert 60% der Kartendecks, der Rest wird von Anlage B übernommen Maschinell bedingte Fehler führen bei der Anlage A dazu, dass bei 01% der Kartendecks eine Karte fehlt, während dies bei der Anlage B nur bei 005% der Kartendecks der Fall ist b1) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kartendeck fehlerhaft ist? b2) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kartendeck, das vollständig ist, aus der Anlage A stammt? c) Ein sehr preiswerter Hersteller für Produktionsanlagen von Kartendecks behauptet, dass bei seinen Maschinen höchstens 1% der Kartendecks fehlerhaft sind Wie müssen Sie den Verwerfungsbereich dieser Hypothese anlegen, wenn Sie 2000 Kartendecks dieses Herstellers prüfen und mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von " = 5% kalkulieren? = 8 Punkte a) Berechnen Sie für r = 5 cm und " = 80 das Volumen und die Oberfläche des rechts gezeichneten Kugelschnitzes r b) Der Kugelschnitz hat ein Volumen von 100 cm 3 Seine gesamte Oberfläche ist so klein wie möglich, wobei " < 360 gilt Bestimmen Sie den Radius r, den Winkel " und die minimale Oberfläche! 5 / 5

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