Ganze und rationale Zahlen:

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1 Ganze und rationale Zahlen: 1.1 Beantworte die Fragen. Welche Temperatur wird angezeigt? -2 C 2 C -0,2 C - C Um wieviel müsste es wärmer werden, damit es 10 C hat? 2 C 7 C 12 C 18 C Die Temperatur steigt um 9 C. Gib die neue Temperatur an. 8,8 C 7 C 11 C 5 C Die Temperatur fällt um 7 C. Gib die neue Temperatur an. -11 C -9 C -5 C -7,2 C 1.2 In drei Städten wurde zu einer bestimmten Zeit die Temperatur notiert. Beantworte folgende Fragen. Ist es in Wien wärmer als in München? ja nein Wie groß ist der Temperaturunterschied zwischen Wien und Moskau? 14 C 15 C 9 C 12 C In Wien fällt die Temperatur in der Nacht um 7 C. Gib die neue Temperatur an. -10 C -4 C C -7, C In München steigt die Temperatur am nächsten Tag um 12 C. Gib die neue Temperatur an. -8 C 16 C 4 C 8 C 1. Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen dem Gipfel des Mt. Everest (8848m) und dem Marianengraben (11000m unter dem Meeresspiegel)? Rationale Zahlen: Rationale Zahlen am Zahlenstrahl: Rationale Zahlen am Zahlenstrahl: Welche Zahl steht an der entsprechenden Stelle? Wähle die richtige Zahl aus. Stelle A: -,1-2,8 2,8-2,4 Stelle B: -2,2 -,4-2,1 -,8 Stelle C: -0,08 1,2-1,2-0,8 Stelle D: 0,9 0,08 0,4 0,8 1.5 In welchem Quadranten liegen die Punkte im Koordinatensystem? Ordne zu.

2 1.6 Welche ganzen Zahlen sind durch Kreuze markiert? 1.7 Markiere die Zahlen -11, 8, -, 12 und -14 auf der Zahlengeraden! 1.8 Welche rationalen Zahlen sind durch Kreuze markiert? 1.9 Zeichne eine geeignete Zahlengerade und markiere die Zahlen 1 2 ; 1; 1 ; 1 6 ; 0, ; Lies die Koordinaten der Punkte A, B, C und D ab! In welchem Quadranten liegen die Punkte jeweils? 1.11 Zeichne die Punkte R, S und T in das Koordinatensystem ein! Wo muss der Punkt Q liegen, damit ein Deltoid entsteht?

3 1.12 Spiegle das Dreieck ABC [A(-1/2), B(/5), C(/2)] entlang der Geraden g [D(0/-1), E(5/2)]. Welche Koordinaten haben die Eckpunkte des gespiegelten Dreiecks? 1.1 Konstruiere das Dreieck ABC [A(-/1), B(/-2), C(1/5)] samt Umkreis und Innkreis! 1.14 Konstruiere das Dreieck ABC [A(0/0), B(6/-2), C(8/2)] samt Höhenschnittpunkt und Schwerpunkt! 1.15 Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt M(0/2) und dem Radius r =. Ermittle die Schnittpunkte des Kreises mit der x-achse und gib die Koordinaten an. Zeichne an diese Punkte die Tangenten an den Kreis und gib den Tangentenschnittpunkt an! 1.16 Eine geradlinig verlaufende, 700m lange Straße verbindet zwei Orte. Diese Orte werden von einem Geodät (Landvermesser Fachmann) in seinem Plan mit den Koordinaten X(0/-2) und Y(0/5) eingezeichnet. a) In welchem Maßstab hat er den Plan gezeichnet? b) Zeichne seinen Plan nach! c) Ein Bauernhof B wird von ihm im Plan so eingezeichnet, sodass YXA = 1. Welche Koordinaten hat der Bauernhof im Plan? d) Wie lange müsste eine Zufahrt von der Straße bis zum Bauernhof mindestens sein? Vergleich von rationalen Zahlen: Ordne die Zahlen mit dem < Zeichen Setze das richtige Zeichen (<, > oder =) ein! 1.19 Gib die nächstgrößere und die nächstkleinere ganze Zahl an!

4 1.20 Gib drei rationale Zahlen an, die zwischen den gegebenen Zahlen liegen! a) -2 und c) - und b) d) 1,75 und Welche Zahlen sind gemeint? 1.22 Gib drei Zahlen aus der Menge an! {x Z 4 < x 2} {y Q 2 y 1,9} 1.2 Gib die Menge der gegebenen rationalen Zahlen mit Hilfe einer Ungleichungskette an! a) Rationale Zahlen zwischen 2 und 4. b) Ganze Zahlen von -2 bis Gib wenn möglich alle ganzen Zahlen an, für die die Aussage richtig ist! a = 2 c > 7 e -1 b < - d < 9 f = Setze <, >, = so ein, dass die Aussage stimmt! 6 a) 4 4 c) 0, 6 e) 1 2 1, 75 9 b) 2, 2, d) 1, 1, f) Welche Aussage ist richtig, welche falsch? Begründe und gib Beispiele an! a) Für den Betrag einer Zahl x gilt stets x > x b) Die Gegenzahl a ist stehts kleiner als a. c) Für eine rational c gilt c ist nie negativ. d) Es gibt ganze Zahlen x, y für die gilt x + y < 0 e) Zu jeder ganzen Zahl x gibt es eine ganze Zahl y mit x y = Ist die Summe dreier ganzer negativer Zahlen immer negativ? Gib ein Beispiel an! 1.28 Begründe (mit Variablen) warum jede ganze Zahl eine rationale Zahl ist! Gib ein Beispiel an! 1.29 Zeige mit Hilfe eines Beispiels, dass nicht jede rationale Zahl eine ganze Zahl ist! 1.0 Kreuze an, in welcher Menge die Zahlen aus der linken Spalte enthalten sind! 2 2,955 N Z Q Addieren mit rationalen Zahlen:

5 Subtrahieren mit ganzen Zahlen: Multiplikation mit ganzen Zahlen: Division mit ganzen Zahlen: Rechnen mit rationalen Zahlen: Berechne und verbinde das Ergebnis mit dem richtigen Kasten. 1.2 Frau Herrmann hat ein Bankkonto. Das Guthaben beträgt derzeit 4509,90. Monatlich verdient sie 1980,50. Für die Wohnung bezahlt sie pro Monat 560. Wie hoch ist ihr Kontostand nach drei Monaten, wenn sie innerhalb der drei Monate noch weitere Kosten von 780,50 hatte? 1. Stelle zunächst eine Gleichung auf und löse diese dann! a) Welche Zahl muss man zu - 8 addieren, um 12 zu erhalten? b) Welche Zahl muss man von - subtrahieren, um -2 zu erhalten? c) Mit welcher Zahl muss man 2 multiplizieren, um 6 zu erhalten? d) Wie lautet der Quotient von und 4? Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis! 1.5 Berechne und vergleiche die Ergebnisse! Welches Rechengesetz ist gemeint? Schreibe es mit Variablen auf! a) ( 4) ( 25) = b) ( 18) 2 + ( 4) 2 = ( 4) ( 25) = [( 18) + ( 4)] 2 = 1.6 Führe mit jeder Zahl in der ersten Spalte die Rechenoperationen in der ersten Zeile durch!

6 1.7 Berechne die neue Temperatur und kreuze die richtige Antwort an! Um 6:00 Uhr Früh hat es in Wattens -4 C. Die Temperatur steigt an diesem Tag bis 11:00 Uhr um 0,25 C pro Stunde. Wie kalt ist es um 11:00 Uhr? 1.8 Gib zuerst an, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist! Berechne danach! 1.9 Berechne und ordne die Rechnungen nach der Größe ihrer Ergebnisse. Beginne mit dem kleinsten Ist das Ergebnis positiv oder negativ? (a und b sind positiv.) 1.41 Multipliziere und kreuze das richtige Ergebnis an Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis. 1.4 Gib den Quotienten an.

7 1.44 Berechne und verbinde mit dem richtigen Ergebnis Eine Wanderung führt auf den Hohen Dachstein mit etwa 000 m Höhe. In Hallstatt, dem Ausgangspunkt der Wanderung auf etwa 500 m Seehöhe, hat es 14,5 C. Die Temperatur sinkt mit steigender Seehöhe. Je 100 m nimmt sie um etwa 0,75 C ab. Wie kalt ist es am Gipfel? 1.46 Löse die folgenden Gleichungen! a) x = 2 c) 1 5 z = 5 2 b) y = 2 d) 2 = a + 2 e) b ( 2, 6 ) = 2 9 g) d 1 = f) c: ( ) = 12 h) e = Welche Zahlen kann man für die Variable einsetzen, um eine wahre Aussage zu erhalten? Gib jeweils drei Zahlen an! a) ( ) + x < 0 c) 2 + z 2 b) y ( 2) > 12 d) a a Berechne exakt! a) ( 2) + 2 = b) 2 = 5 c) 2, = 9 d) 5 12 ( 16 ) = e) [ 5 + 1, 2 ] ( 2 9 ) =

8 Flächeninhalt Parallelogramm: Umkehraufgabe Parallelogramm: Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms! 2.2 Ein Parallelogramm hat eine Seitenlänge von a = 8cm und eine Höhe von h a = 5, 5cm. Ein flächengleiches Rechteck ist 4cm breit. Welche Länge hat das Rechteck? 2. Markiere jeweils die richtige Lösung. Von einem Parallelogramm kennt man h b = 2,4cm und A = 18cm². Wie groß ist die Seite b? b = 7,5cm, b = 6,2cm, b = 8cm 2.4 Drücke die gesuchten Größen aus der Flächeninhaltsformel des Parallelogramms aus! b = h a = 2.5 Von einem Parallelogramm kennt man zwei Höhen und eine Seite: h a = 12cm, h b = 9cm, b = 12cm. Berechne die Seite a! Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck: Flächeninhalt Dreieck: Umkehraufgabe Dreieck: Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke! 2.7 Berechne den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks! Der rechte Winkel ist bei Punkt C. 2.8 Bestimme jeweils die in der Umkehraufgabe gesuchte Größe! Dreieck: b = 64mm, A = 156mm² h b = Parallelogramm: h a = 6mm, A = 1764mm² a = 2.9 Kreuze die richtigen Aussagen an! Der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks lässt sich mit A = a c 2 berechnen. Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist genau halb so groß wie der des Parallelogramms ABCD. Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ist das halbe Produkt der Katheten. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist doppelt so groß wie der des Parallelogramms.

9 2.10 Drücke aus den Formeln für den Flächeninhalt eines Dreiecks jeweils die gesuchte Größe aus! 2.11 Markiere alle richtigen Flächeninhaltsformeln. Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks: A = a h a 2, A = a c 2, A = c h c 2 Flächeninhalt des Parallelogramms: A = a h a, A = (a + b) 2, A = b h b 2.12 Kreuze die richtigen Aussagen an. Der Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Differenz aller Seiten. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht dem halben Produkt der Katheten. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen stumpfen Winkel. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ABC ist genau halb so groß wie der des Parallelogramms ABCD. 2.1 Johanna und Maia werden gefragt, ob die Dreiecke auf dem Bild denselben Flächeninhalt haben. Kreuze die richtige Aussage an. Johanna: Die Flächeninhalte können nicht gleich sein, weil die Seitenlängen verschieden sind. Maia: Die Flächeninhalte müssen gleich sein, weil die Seite c und die Höhe h c bei beiden Dreiecken gleich sind Berechne den Flächeninhalt der Hauswand! 2.15 Von einem Dreieck kennt man zwei Höhen und eine Seite: h c = 9cm, h b = 4cm, c = 8cm. Berechne die Seite b! 2.16 Wie verändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn sich die Seite c um 100% vergrößert, aber h c gleich bleibt? Beweise deine Vermutung! 2.17 Von einem Parallelogramm kennt man die Seite a = 44 mm und die Höhe h a = 20 mm. Ein Dreieck mit gleich großem Flächeninhalt soll dieselbe Höhe h a haben. Wie lang ist die Seite a des Dreiecks? Begründe dein Ergebnis!

10 Lösungen: C, 12 C, 7 C, -9 C 1.2 Ja, 15 C, -4 C, 8 C m 1.4 A: -2,8, B: -2-2, C: -0,8, D: 0,

11 ,5 < -6,9 < -0,6 < -0,5 < 0,76 < 0,9 < 2,6 < 8, {, 2, 1, 0, 1, 2} 1.22 z.b. -2; -1,95; -1,9 1.2 a) {x Q 2 < x < }, b) {y Z 2 y 2 } a { 2, 2}, b { 2, 1, 0, 1, 2}, c {... 9, 8, 8, 9, }, d Z, e Z, f = =, >, =, =, <, > 1.26 a) falsch, wenn x positiv ist: 4 = 4 b) falsch, wenn a negativ ist: a = 1, dann ist a = 1 und 1 > 1 c) richtig, da der Betrag (Abstand zum Nullpunkt) nie negativ ist d) richtig: x = 1, y = 2: x + y = ( 1) + ( 2) = < 0 e) richtig, nämlich wenn y = Ja; Bsp.: ( 1) + ( 2) + ( ) = Wenn a Z: a = a und sowohl a Z, als auch 1 Z. Also kann a als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. 1 Beispiel: a = 2: 2 = Beispiel: 1 ist keine ganze Zahl aber rational, da 1 Z und 2 Z N Z Q 2 2,955 x 9 x x x x x x x

12 ,90 1. a) 8 + x = x = 20 b) x = 2 +x = 2 + x +2 1 = x c) 2 x = 6 : 2 x = 6 ( 2 ) x = 6 ( ) = 18 = d) 4 = x = x 9 = x a) 00, Vertauschungsgesetz für Multiplikation: a b c = a c b b) 11, Herausheben für Division: a: c + b: c = (a + b): c ,75 C , , -6, ,25 C

13 1.46 a) 2 + x = x = 14 2 = b) y = 2 +y y = : 1 5 c) 1 z = 5 z = 5 : 1 = 5 5 = d) 2 = a + 2 = a 4 9 = a 5 = a e) b ( 2, 6 ) = 2 b = f) c: ( ) = 12 ( ) c = 6 : = 2 + y 8 = y 5 = y b + = b = g) d 1 = 2 d = 2 : 1 = 2 4 = h) e = +e = + e = e 6 = e 9 = e a) 0, 1, 2 b) 11, 12, 1 c) 0, 1, 2 d) 1, 2, 1.48 a) 1 ( 2) + = 1 ( 6 ) + = b) = 2 : 5 = 2 1 = c) 2, = = = = = = d) 5 ( ) = = = = = = e) [ 5 + 1, 2 ] ( 2 ) = 6, 2 ( 2 ) = 6 2 ( 2 ) = a) A = 1495 mm 2, b) A =,6 cm 2, c) A = 7,44 cm cm 2. 7,5cm 2.4 b = A, h h a = A b a 2.5 a = 9cm 2.6 a) A = 21 mm 2, b) A = 8,74 cm 2, c) A = 18,285 cm a) A = 84 mm 2, b) A = 4,86 cm a) h b = 48mm, b) a = 49mm , ( 2 ) = 112 = jeweils 1. und und A = 40,75m b = 18cm 2.16 c vergrößert sich um 100% bedeutet, dass sich c verdoppelt. Der Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks ist A 0 = c h c. Da h 2 c gleich bleibt, ist der Flächeninhalt des neuen Dreiecks A 1 = 2c h c = 2 c h c = 2 A Dreiecksseite: a = 88mm; Der Flächeninhalt des Dreiecks ist genau halb so groß wie der eines Parallelogramms mit derselben Seitenlänge und Höhe. Soll der Flächeninhalt und die Höhe gleich sein, muss die Dreiecksseite doppelt so lang wie die Parallelogrammseite sein.