Unendliche Folge Eine Folge heißt unendlich, wenn die Anzahl der Glieder unbegrenzt ist.

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1 . Folge ud Reihe.... Folge..... Grudlage Arithmetische Folge Geometrische Folge Reihe Grudlage Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Eiige spezielle Reihe Uedliche geometrische Reihe Die ostate e Fiazmathematische Aweduge Zisrechug Eifache Verzisug Expoetielle Verzisug (Ziseszis) Uterjährige ud stetige Verzisug Effektiver Jahreszis Vorschüssige Verzisug Rete Nachschüssige Rete Vorschüssige Rete Sparkasseformel Uterjährige Rete Tilguge Allgemeies Ratetilgug Auitätetilgug Abschreibuge Lieare Abschreibug Geometrisch-degressive Abschreibug Arithmetisch-degressive Abschreibug Ivestitiosrechug Ausgewählte Wirtschaftsfuktioe Agebots- ud Nachfragefuktio ostefuktio Umsatz- ud Gewifuktio... 7 Literaturhiweise Folge ud Reihe. Folge.. Grudlage Uter eier Folge (Zahlefolge) [a ] versteht ma allgemei eie Fuktio, die jeder atürliche Zahl N oder eier Teilmege vo N eie reelle Zahl a R zuordet. f() [a ] a, a 2, a 3,, a Edliche Folge Wird die Zahl aus eier begrezte Zahlemege (z.b. {2;3;4;5} ) gewählt, so gilt die Folge als edlich. Eie Folge heißt edlich, we die Azahl der Glieder begrezt ist. Uedliche Folge Eie Folge heißt uedlich, we die Azahl der Glieder ubegrezt ist. Arbeitsstad: /8

2 Mootoe Folge Eie Folge heißt mooto steiged, we das folgede Glied immer größer (oder gleich) als das vorhergehede ist. Es gilt a + a Eie Folge heißt mooto falled, we das folgede Glied immer kleier (oder gleich) als das vorhergehede ist. Es gilt a + a Beschräkte Folge Eie Folge heißt ach obe beschräkt, falls es eie obere Schrake S o gibt, so dass für alle Glieder der Folge gilt: a S o Eie Folge heißt ach ute beschräkt, falls es eie utere Schrake S u gibt, so dass für alle Glieder der Folge gilt: a S u..2 Arithmetische Folge Jede Folge, bei der die Differez zweier aufeiader folgeder Glieder kostat ist, heißt arithmetische Folge. Eie Folge ist arithmetisch, we regelmäßig eie ostate addiert oder subtrahiert wird. Für diese ostate (Differez) gilt: d a + - a mit d kost. für alle N a a +( - l) d für alle N..3 Geometrische Folge Eie Folge heißt geometrisch, we der Quotiet zweier aufeiader folgeder Glieder a+ kostat ist. Für diese Quotiete q gilt: q kostat für alle N a Es gilt: a + a q ud a a q -.2 Reihe.2. Grudlage Beispiel: Die achstehede Folge gibt die gefahree ilometer eier Periode a Moat a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ilometer De Glieder der Folge köe Summe zugeordet werde: s a 4.5 s 2 a + a 2.28 s 3 a + a 2 + a s 4 a + a 2 + a 3 + a s 5 a + a 2 + a 3 + a 4 + a s 6 a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a Summiert ma die erste Glieder eier Folge, so ergibt sich die sog. -te Partialsumme s. Für diese Teilsumme (Partialsumme) gilt allgemei: s( ) a + a2+ a a a i i Uter eier Reihe vo Zahle versteht ma die Folge der Teilsumme (Partialsumme) [s, s 2, s 3,..., s,...], die der Folge [a, a 2, a 3,..., a,...] zugeordet wird..2.2 Arithmetische Reihe Summiert ma die Glieder eier arithmetische Folge, so ergibt sich: s() a, + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) (a + ( - l)d) Arbeitsstad: /8

3 s ( ) ai a + d oder s( ) i ( ) 2 i ai ( a + a ) Geometrische Reihe Summiert ma die Glieder eier geometrische Folge, so ergibt sich: s() a + a q + a q 2 + a q a q - q allgemeie Formel s( ) a bzw. s q q ) a q ( Beispiel: Aus eier geometrische Reihe ist s(5) zu bestimme, we gegebe sid: a ud a 35 aus: a a q 9 mit a ud a 35 wird q, ud s(5) 28,4787 a s() 2 4, , , , , , , , ,833 2, , , , , , , , Eiige spezielle Reihe.3. Uedliche geometrische Reihe. Für q < l ud 6 4 ähert sich q immer mehr dem Wert a. Beispiel: q < a 4 q,2 q a a q - q s( ) a q,2 4 4, 2,4,8 4,8 3,8,6 4,96 4,6,32 4,992 5,32,64 4,9984 6,64,28 4, ,28,256 4, ,256,52 4, ,52,24 4, ,24,248 4, a im Fall q < l : s q 2. Für q > l ud 6 4 läuft q gege 4 ud s() 6 4. Beispiel: q > a 4 q 5 q a a q - q s( ) a q Beispiel: Arbeitsstad: /8

4 Ei Sparvertrag legt fest, moatliche Eizahluge mit. zu begie. I der weitere Folge werde die Eizahlugsbeträge jeweils halbiert. Die zweite Eizahlug beträgt also 5., die dritte 2.5 ud so weiter. Welche Eizahlugssumme wird (mathematisch-theoretisch) isgesamt erreicht? 2., Beispiel: Giralgeldschöpfug Giralgeld (Buchgeld) Täglich liquidierbare Guthabe bei reditistitute (Sichteilage), über die durch Scheck, Lastschrift oder Überweisug verfügt werde ka. Giralgeldschöpfug Die (aktive) Geldschöpfug etsteht dadurch, dass die Geschäftsbake redite vergebe aus Eilage vo ude. Die reditehmer begleiche Rechuge bei Lieferate durch Eizahluge (Überweisuge) bei eier Bak. Diese Eilage werde wiederum als redite vergebe. Die gesamtwirtschaftliche Geldmege steigt. Begrezt wird dieser Vorgag durch Bargeldabfluss ud bei der Budesbak zu haltede Midestreserve. Mathematischer (theoretischer) Verlauf der Giralgeldschöpfug: (kovergierede uedliche geometrische Reihe) vereifachede Festleguge: bargeldos reditachfrage sid ausreiched Berechugsgröße: Afagsbetrag: 5. ; Midestreserve: 2, % a 5., q,8 Bakkude B erhält redit per Überweisug 5. Mit diesem Betrag begleicht B Lieferaterechuge per Überweisug. Die Bak reicht 8, % dieses Betrages als redit weiter. Bakkude reditbetrag Überweisug /Rückfluss (Wertschöpfug) Reserve (hier 2 %) Summe der Wertschöpfug B 5.,., 5., B2 4., 8., 9., B3 32., 6.4, 22., B4 25.6, 5.2, 47.6, B5 2.48, 4.96, 68.8, B , 3.276, , B7 3.7,2 2.62, ,2 B8.485, , ,96 B ,6.677, ,57 J J J J B2 576,46 5, ,6 B22 46,7 92, ,33 B23 368,93 73, ,26 B24 295,5 59, ,4 B25 236,2 47, ,53 J J J J B3 6,9 2, ,4 B32 49,52 9, ,93 B33 39,6 7, ,54 B34 3,69 6, ,23 B35 25,35 5, ,59 J J J J B5,7, ,5 B52,57, ,72 B53,46, ,7 B54,37, ,54 B55,29, ,83 J J J J B69,, ,95 B7,, ,96 B7,, ,97 B72,, ,97 B73,, ,98 J J J J Arbeitsstad: /8

5 .3.2 Die ostate e e 2, Diese ergibt sich auch aus folgeder Reihe. s ( ) e!! 2! 3! i i! Die Eulersche Zahl als -tes Glied eier uedliche Folge [a ] + 2. Fiazmathematische Aweduge 2. Zisrechug Zis: Etgelt für das Überlasse vo Geld ud apital für eie bestimmte Zeit Habezise: Preis, der für ei Guthabe gezahlt wird Sollzise: Preis, der für ei Darlehe zu zahle ist Eie volkswirtschaftliche Erklärug des Zises ist, dass sich der Zis aus eiem Etgelt für die Liquiditätshergabe, eier Währugsetwertugsquote ud eier Risikoprämie zusammesetzt. Eiige wichtige Begriffe: Bezugszeitpukt Eizahlug Ede des Plaugszeitraumes Gegewartswert Barwert Auszahlug Edwert t Barwert: heutiger (aktueller) Wert eier küftige Zahlug. Der Barwert ist der Gesamtbetrag, de eie Reihe zuküftiger Zahluge zum jetzige Zeitpukt wert ist. Verwedete Abkürzuge ud Symbole: apital, Betrag, der eier Verzisug uterworfe ist; Geldbetrag Afagskapital, Barwert Edkapital ach Zisperiode Laufzeit der apitalalage i Zisperiode (Jahre, Moate, Tage) Z Zise, i Zissatz (Zisrate), Betrag a Zise für ei apital vo i eier Zisperiode p Zisfuß [%], Betrag a Zise für ei apital vo i eier Zisperiode (p i %) q Zisfaktor (q Eifache Verzisug eifache (bürgerliche) Verzisug: Laufede Verzisug des Grudkapitals. Zise Z i Edkapital + i ( + mit + i - Aufzisugsfaktor Aus ( + ergebe sich + i Welches Afagskapital muss bei eiem Zissatz i ud eier Laufzeit agelegt werde, um ei Edkapital vo zu erziele Arbeitsstad: /8

6 i i Wie viele Periode muss ei apital bei eiem Zissatz i agelegt werde, um ei Edkapital vo zu erziele? i Mit welchem Zissatz i muss ei apital über eie Azahl i vo Periode agelegt werde, um ei Edkapital vo zu erziele? 2..2 Expoetielle Verzisug (Ziseszis) expoetielle Verzisug: Nach Ablauf der Zisperiode werde die Zise dem apital zugerechet ud im weitere mit verzist (Ziseszis). ( + q Der Faktor ( + q wird als Aufzisugsfaktor bezeichet. i + ( l(+ q l Arbeitsstad: /8 Abzisugsfaktor, Diskotierugsfaktor (+ Beispiel: Es solle über Jahre. agelegt werde. Zwei Bake lege (achschüssige) jahresverziste Agebote vor: Bak : 5,% jährlicher Zisfuß Bak 2: l l lq q 6.3, Auszahlug ach Jahre a) die Agebote sid zu vergleiche Vergleichswerte: Barwert, Zisatz ud Edkapital /,5 /, ,95 / 6.3, b) Welche Alagezeit ist bei der Bak erforderlich, um 2. zu erziele? 4,26699 Beispiel mit Auf- ud Abzisug Beispiel: Rückstellug für ugewisse Verbidlichkeite (HGB 249 Abs. ) Nach Ablauf des Grudstückpachtvertrages i 5 Jahre ist ei Lagegebäude abzureiße HGB 253 Abs. Rückstelluge [sid] i Höhe des ach verüftiger kaufmäischer Beurteilug otwedige Erfüllugsbetrages azusetze. Abs. 2 Rückstelluge mit eier Restlaufzeit vo mehr als eiem Jahr sid abzuzise. Der azuwedede Abzisugszissatz wird vo der Deutsche Budesbak ermittelt. geschätzte Aufweduge (aktuelles osteagebot):. küftige Teuerugsrate (geschätzt) pro Jahr 2,5% Abzisugszissatz der Deutsche Budesbak 4,5% 2..3 Uterjährige ud stetige Verzisug i Es gilt für de uterjährige Zissatz i u m mit m 4 (Quartal); m 2 (Moate); m 36 (Tage) Daraus ergebe sich die etsprechede apitalberechuge: ( + i u ) m i + m m Beispiel : Eie Summe vo 2.5 soll bei eiem Zisfuß vo,25% pro Moat für geau 7 Moate verzist werde. Wie hoch ist das Edkapital bei expoetieller Verzisug je Moat? 2.68,4

7 Beispiel 2: Ei apital vo 4. wird zu 3% p.a. für 5 Jahre verzist. Die Zisfeststellug ud -gutschrift erfolgt quartalsweise. a) Wie hoch ist das apital uter Berücksichtigug des Zisesziseffektes ach dieser Alagedauer? b) Welcher Jahreszissatz müsste vorliege, um bei Zisfeststellug am Jahresede (jährliche Verzisug) das gleiche Edkaptial zu erreiche?" 4.644,74,33399 Beispiel 3: Eie Summe vo. soll bei eiem Zissatz vo, p.a. für geau 2 Tage verzist werde. Wie hoch ist das Edkapital bei expoetieller Verzisug je Tag?.57,2 Eie stetige Verzisug liegt bei uedlich viele uedlich kleie Zisperiode vor. e i Dabei werde bezeichet: f() Wachstumsfuktio i relatives Wachstum, Wachstumsitesität e i jährliches Wachstumstempo + i e i Wachstumsidex (m, ) Praktische Bedeutug der Gesetzmäßigkeite stetiger Verzisug: - eifache Hadhabug - beliebige Laufzeite (icht ur gazzahlige) lasse sich ermittel Beispiele:. Bestimmug des apitaledwertes bei täglicher Verzisug 2. Bestimmug des Zeitraumes zur Verdoppelug des apitals 2..4 Effektiver Jahreszis Uter dem effektive Jahreszis versteht ma fiazmathematisch de durchschittliche jährliche achschüssige Zissatz. (icht idetisch mit dem effektive Jahreszis ach de Verbraucherschutzbestimmuge) Uterjährige Verzisug i + om i eff uterjährig m m Mehrjährige Verzisug mit variable Zissätze i eff (+ i) (+ i2) (+ mehrjährig Beispiel: Ei Sparvertrag wird mit steigede Zissätze geschlosse. Für die erste drei Jahre gelte,3 (3%). I de folgede füf Jahre steigt der Zisfuß um jährlich,5%. Es ist der Effektivzis zu bestimme., Beispiel Ei Sparbrief mit variable Zissätze zum Nomialwert vo 2. mit eier Restlaufzeit vo 3 Jahre wird für.776 agekauft. Bestimme Sie de Effektivzis., Vorschüssige Verzisug Werde die Zise auf der Grudlage des Edkapitals berechet, so liegt eie vorschüssige Verzisug (atizipative Verzisug) vor. Arbeitsstad: /8

8 Bei der expoetielle Verzisug (mit Zis- ud Ziseszis) gilt: Das Afagskapital zuzüglich Zise vom Edkapital ist gleich dem Edkapital. achschüssig: Zise werde vom Afagskapital berechet vorschüssig: Zise werde vom Edkapital berechet Z Z Jahr,%,% % Jahr 9,%,% %,,,,,, 2,, 2, 2, 2,35 23,46 3 2, 2, 33, 3 23,46 3,72 37,7 4 33, 3,3 46,4 4 37,7 5,24 52,42 ( i v ) Beispiel : ( i ) v Die Zahlug eier Schuld i Höhe vo 2. soll durch eie Wechsel mit eier Laufzeit vo 3 Moate zum Jahreszissatz vo,2 erfolge. I welcher Höhe ist der Wechsel auszustelle? 2.6,86 Beispiel 2: Auf welche Betrag steigt ei Afagskapital i Höhe vo 5 i 4 Jahre bei vorschüssige expoetieller Verzisug mit 2,5%? koformer Zissatz: Bei welchem achschüssige Zissatz i erhält ma de gleiche apitaledwert, we ud i v gegebe sid -? 2.2 Rete Gegestäde der Reterechuge sid periodisch, i gleicher Höhe wiederkehrede Zahluge, apitaletwickluge bei Asammlug der Zahluge ud Ziseszise auf eiem oto, apital, aus dee Zahluge erfolge. Begriffe der Reterechug Rete R, r: i regelmäßige Zeitabstäde ud gleichbleibeder Höhe wiederkehrede Zahlug; Retezahlug zum Zeitpukt t R t, r t; ; Zissatz i; Zisfaktor q+i; Retedauer Laufzeit ; Reteedwert, R, r : Wert des apitals am Ede der Retedauer, we alle Zahluge akkumuliert ud mit dem Zissatz i verzist werde (Eizahluge); Retebarwert, R, r : erforderliches apital, um daraus ud aus seie Zise die eizele küftige Zahluge zu etehme (Auszahluge);Afagskapital, das bei Verzisug mit dem Zissatz i zu eiem Edkapital führt, das dem Reteedwert etspricht; aktueller Wert eier küftige Rete Nachschüssige Rete Bei eier achschüssige Rete erfolgt die Zahlug des Retebetrages r jeweils zum Ede eier Periode. Die erste Zahlug also zum Zeitpukt t ud die letzte zum Zeitpukt t. Zeitpukt t t t 2 t - t Periode 2 3 Rete Verzisug über (-) Periode r (+ - Rete 2 Verzisug über (-2) Periode r (+ -2 Rete 3 (-3) Periode r (+ -3 Arbeitsstad: /8

9 r (+ Die Summe der aufgeziste Retezahluge ergibt de Reteedwert. r(+ - + r( r( r Die Zahlugsreihe ist eie geometrische Reihe. (+ (+ q q r r mit q + i ergibt sich r r (+ i q i Beispiel Ei Sparvertrag sieht über 5 Jahre eie Zahlug zum Jahresede vo 2.5 vor. Der Zissatz beträgt, ,4 Berechug des Retebarwertes Retebarwert: apital, das bei Verzisug ab dem Zeitpukt t mit dem Zissatz i zum Reteedwert (apitaledwert) führt. Heutiger Wert eier küftige Retezahlug. q (+ r r i q (+ i Beispiel 2: Über eie Abfidug eies Mitarbeiters wird vereibart, dass 4 Jahre achschüssig. zu zahle sid. Wie hoch ist der Barwert bei 6% 34.65,6 Berechug der Laufzeit (Reteauszahlug) I welcher Zeit wird ei mit eiem Zissatz i agelegtes Afagskapital durch achschüssige Auszahluge r aufgebraucht? r l r i l(+ Beispiel 3 Ei Sparbetrag i Höhe vo 43. wird zur Fiazierug eies Studiums verwedet. Wie lage ka daraus eie achschüssige Zahlug vo jährlich 2. bezoge werde. Es wird ei Zissatz vo,5 agesetzt. 4, , Berechug r der Laufzeit (Reteeizahlug) I welcher Zeit wird durch achschüssige Eizahluge r uter eiem Zissatz i ei Edkapital agespart? i l + r l(+ Beispiel 4: Ei Betrag i Höhe vo 5. soll durch regelmäßige Eizahluge am Jahresede vo.6 zu eiem Zisfuß vo 5 % agespart werde. Nach wieviel Eizahluge ist das Sparziel erreicht? 4,8534 4, Berechug der Reteauszahlug I welcher Höhe sid regelmäßige achschüssige Zahluge r erforderlich, um ei uter dem Zissatz i agelegtes Afagskapital i eier festgelegte Zeit zu verbrauche? ( i + r (+ Beispiel 5: Ei Lottogewi i Höhe vo 5. soll agelegt ud i Form eier achschüssige Rete über eie Laufzeit vo Jahre ausbezahlt werde. Die Bak bietet eie Zissatz vo,4 (p.a.). Wie hoch ist die jährliche Reteauszahlug? 8.493,64 Berechug der Reteeizahlug Arbeitsstad: /8

10 I welcher Höhe sid regelmäßige achschüssige Zahluge r erforderlich, um mit dem Zissatz i ei Edkapital i eier festgelegte Zeit zu erreiche? i r (+ Beispiel 6: I 7 Jahre ist ei Betrag vo 7. erforderlich. Wie groß müsse achschüssige, gleich große Jahreszahluge bei 4% sei, um das Sparziel zu erreiche? 8.862,67 Berechug der ewige Rete I welcher Höhe sid regelmäßige achschüssige Zahluge r möglich, ohe ei uter dem Zissatz i agelegtes Afagskapital i eier festgelegte Zeit zu verbrauche? Die Azahl der Retezahluge wird damit. Die ewige Rete wird dadurch erreicht, dass ur der Zis ausgezahlt wird. Beispiel 7: Ei apital i Höhe vo. ist mit 4,5 % agelegt ud soll für eie jährliche Preis a üstler ohe apitalvermiderug verwedet werde. Wie hoch ist diese 'ewige Rete'? 4.5, Vorschüssige Rete Bei eier vorschüssige Rete erfolgt die Zahlug des Retebetrages r jeweils zu Begi eier Periode. Die erste Zahlug also zum Zeitpukt t ud die letzte zum Zeitpukt t -. Zeitpukt t t t 2 t - t Periode 2 3 Rete Verzisug über Periode r (+ Berechug des Reteedwertes Rete 2 Verzisug über - Periode r (+ - Rete 3-2 Periode r (+ -2 r (+ (+ q r (+ bzw. r q i q Beispiel Jährlich werde vorschüssig.2 uter 4 % über 6 Jahre agelegt. Wie hoch ist der Reteedwert? 8.277,95 Berechug des Retebarwertes q r q ( q ) q Beispiel 2 Welcher Betrag muss heute für eie vorschüssige Jahresrete vo 2. über Jahre bei eiem Zissatz vo,4 eibezahlt werde?.223,98 Berechug der Laufzeit (Reteeizahlug) i l + r ( + l(+ Beispiel 3 Wie viele Jahre muss ei Betrag i Höhe vo 22. vorschüssig zu 5 % agelegt werde, um ei Edkapital vo. zu erhalte? 3, Arbeitsstad: /8

11 Berechug der Laufzeit (Reteauszahlug) l q ( q ) r lq Berechug der Reteeizahlug I welcher Höhe sid regelmäßige vorschüssige Zahluge r erforderlich, um mit dem Zissatz i ei Edkapital i eier festgelegte Zeit zu erreiche? q r q( q ) Berechug der Reteauszahlug q ( q ) r q Sparkasseformel Wird die Zahlugsreihe mit eier Eimalzahlug E zum Afag t begoe, so wird dieser Betrag über de gesamte Zeitraum verzist. q Gesamtes Edkapital: E q + r. Sparkasseformel (achschüssig) q Werde die Retebeträge ausgezahlt statt eigezahlt ergibt sich: q E q r 2. Sparkasseformel (achschüssig) q q E q + r q (vorschüssig, Eizahluge) q q bzw. E q r q (vorschüssig, Auszahluge) q Beispiele Auf ei Sparkoto werde 5. eigezahlt. Weiterhi werde 6 regelmäßige Jahres- Eizahluge i Höhe vo 2. zu eiem Zissatz vo,5 vorgeomme. Es ist das Edkapital zu bestimme a) bei achschüssiger Rete ,3 b) bei vorschüssiger Rete ,45 Sparkasseformel - Auszahlug Auf ei Sparkoto werde 5. zu eiem Zissatz vo,5 eigezahlt. Daraus werde regelmäßige Jahres-Auszahluge i Höhe vo 2. vorgeomme. Es ist das Restkapital ach 6 Auszahluge zu bestimme. a) bei achschüssiger Rete 9.39,39 b) bei vorschüssiger Rete 5.3, Uterjährige Rete Bei uterjährige Rete ist die Vorgehesweise zur Lösug relativ eifach. Bei moatlicher Retezahlug wird beispielsweise eifach der Moatszis gebildet ud wie gewoht die ormale Reterechug uter Verwedug der Azahl der Moate durchgeführt. 2.3 Tilguge 2.3. Allgemeies Bei der Tilgugsrechug wird eie lagfristige Verbidlichkeit durch regelmäßige oder uregelmäßige Beträge über eie bestimmte Zeitraum begliche. Arbeitsstad: /8

12 Je ach Tilgugsmodell erfolgt die Rückzahlug (Tilgug) i Teilbeträge oder i eier Gesamtsumme. Weiterhi wird i.d.r. ebe de Tilguge auch Zis etrichtet. Auität: Zahlugsbetrag a de Gläubiger aus Tilgug ud Zise bestehed. Auität A Tilgug T + Zise Z Tilgugsmodelle: Fälligkeitstilgug (Fälligkeitskredit): Über die Laufzeit werde ur Zise ud keie Tilgugsbeträge gezahlt. Die Tilgug erfolgt i eiem Gesamtbetrag am Ede der Laufzeit. Ratetilgug (Ratekredit): Über die Laufzeit wird die Schuld i kostate Teilbeträge getilgt. Da die Restschuld immer kleier wird, immt auch der zu zahlede Zisateil ab. Dadurch ehme die Auitäte ab. Auitätetilgug (Auitätedarlehe): Über die Laufzeit bleibt die Auität kostat. Im Verlauf der Rückzahlug steigt der Tilgugs- ud sikt der Zisateil. Es wird durchweg achschüssige Zahlug vorausgesetzt, weil davo auszugehe ist, dass die erste Ratezahlug icht zugleich mit der reditvergabe erfolgt, soder am Ede der erste Laufzeitperiode Ratetilgug Merkmale: kostate Tilguge; fallede Zise; fallede Auitäte Tilgugspla eies Ratekredites Ratetilgug i,5., a Z T A e., 5,.,.5, 9., 2 9., 45,.,.45, 8., 3 8., 4,.,.4, 7., 4 7., 35,.,.35, 6., 5 6., 3,.,.3, 5., 6 5., 25,.,.25, 4., 7 4., 2,.,.2, 3., 8 3., 5,.,.5, 2., 9 2.,,.,.,.,., 5,.,.5,, Die Tilgug erfolgt i kostate Jahresbeträge. Es gilt: T mit Schuldkapital zum Zeitpukt t, Azahl der Jahre Für die Restschuld t ach dem Ablauf vo t Jahre gilt: t t t T t Beispiel Wie hoch ist die Restschuld eies redites vo. über Jahre ach Ablauf vo 7 Jahre? 3 t T Für die Zisberechug gilt, dass die jeweilige Restschuld zum Jahresafag a achschüssig (also am Jahresede) verzist wird. Die jeweilige Restschuld ergibt sich aus dem Afagsdarlehe abzüglich der bis dahi erfolgte Tilguge t Z t ( ( t ) T) i ( t ) i i Beispiel 2 Wie hoch sid die Zise im 3. Jahr? 4 Arbeitsstad: /8

13 Die Auität A t besteht aus Zis- ud Tilgug ud lässt sich bereche mit: t A t + i ( + ( t+ ) Beispiel 3 Wie hoch sid die Auität im 4. Jahr? Auitätetilgug Merkmale: kostate Auitäte; fallede Zise; steigede Tilguge Tilgugspla eies Auitätekredites Auitätetilgug i,5., a Z T A e., 5, 795,5.295,5 9.24, ,95 46,25 834,8.295,5 8.37, ,6 48,5 876,54.295, , ,62 374,68 92,37.295, , ,26 328,66 966,39.295,5 5.66, ,87 28,34.4,7.295, , ,7 229,6.65,44.295, , ,73 76,34.8,7.295,5 2.48, ,2 2,4.74,65.295,5.233,38.233,38 6,67.233,38.295,5, Für die Restschuld t ach dem Ablauf vo t Jahre gilt: t t q t q A q Die Auität wird bei vollstädiger Schuldetilgug ( ) ermittelt: q ( q ) q i A q q Tilgug T t : T T q t t t q i q Zise Z t Z t A T q t t q q i q Laufzeit : i T l + T lq A l A lq i A l T lq Beispiel Für ei Auitätedarlehe i Höhe vo. bei eiem Zissatz vo,5 ud eier Laufzeit vo Jahre sid zu ermittel Auität.295,5 Restschuld ach 5 Jahre 5.66,87 Arbeitsstad: /8

14 2.4 Abschreibuge Der Eisatz laglebiger Wirtschaftsgüter führt zeit- ud/oder utzugsabhägig zu eier Wertmiderug. Für die plamäßige Abschreibug abutzbarer Wirtschaftsgüter stehe verschiedee mathematische Verfahre zur Verfügug: Bezeichuge A Abschreibug; A Aschaffugskoste; R - Restwert (am Ede der Nutzugsdauer); Nutzugsdauer; BW Buchwert; i l,gd,ad - Abschreibugssatz (l - liear, gd - geometrisch-degressiv, ad - arithmetisch-degressiv) 2.4. Lieare Abschreibug Merkmal: kostate jährliche Abschreibugsrate A Abschreibug A % Abschreibugs(prozet)satz i bzw. i Prozet: p i % Wird am Ede der Nutzugsdauer eie Verschrottug bzw. der Verkauf zu eiem bestimmte Preis (Restwert R) vorgesehe, da resultiert daraus eie iedrigere Abschreibugsrate: A R R A ud ei etsprecheder Abschreibugssatz i A. Buchwert BW A t i ) t ( l Geometrisch-degressive Abschreibug Merkmal: fallede Abschreibugsbeträge; kostater Abschreibugssatz t Abschreibug im Nutzugsjahr t A A( i ) i Buchwert am Ede des Jahres t Abschreibugssatz: i gd R A t gd BW ) t BWt ( igd) A( igd Arithmetisch-degressive Abschreibug (digitale Abschreibug) Die jährliche Abschreibugsbeträge bilde eie fallede arithmetische Folge. Beispiel : arithmetisch-degressive Abschreibug Aschaffugskoste 2., Nutzugsdauer 5 gd t Jahre BW vor Abschreibug Abschreibug Buchwert ach Abschreibug 2., 7., 4., 2 4., 5.6, 8.4, 3 8.4, 4.2, 4.2, 4 4.2, 2.8,.4, 5.4,.4,, Die kostate Differez d zwische zwei aufeiader folgede Abschreibugsrate heißt Degressiosbetrag. Dieser ist gleich dem Quotiete aus de Aschaffugskoste ud der Summe der geplate Nutzugsjahre. Die letzte Abschreibug ist gleich dem Degressiosbetrag A A R Degressiosbetrag d d,5 ( + ),5 ( + ) Abschreibug im Nutzugsjahr t A t (+ - t) d Arbeitsstad: /8

15 zu Beispiel a )Berechug des Degressiosbetrags d.4, b) Abschreibug im Jahr 7., b2) Abschreibug im Jahr 3 4.2, 2.5 Ivestitiosrechug Ivestitio: heute Ausgabe vorehme, um später Eiahme zu erziele. Der Prozess der Ivestitio begit mit eier Ausgabe für die Beschaffug des Ivestitiosobjektes. Weiterhi etstehe Ausgabe für die weitere Nutzug (Persoal, Eergie, Material). Dem stehe (vorab geschätzte) Eiahme durch de Verkauf gefertigter Produkte gegeüber. Die Ivestitiosetscheidug hägt vo der Gegeüberstellug der Eiahmereihe ud Ausgabereihe ab. apitalwertmethode Uterschiede werde zwei grudsätzliche Verfahre der Ivestitiosrechug. Die statische Verfahre der Ivestitiosrechug vergleiche die zuküftig erwartete Eiahmeüberschüsse mit dem i.d.r sofort wirksame apitaleisatz. Beispiel : Die Aschaffug eies Wirtschaftsgutes ist für 2. geplat. Damit solle zum Ede eies jede Jahres Eiahme i Höhe vo.7 erzielt werde bei daraus resultierede Ausgabe vo.. Nach Ablauf vo 2 Jahre, ist der Verkauf dieses Wirtschaftsgutes mit 95 beabsichtigt. Ei kalkulatorischer Zissatz vo,5 wird ageomme. Die statische Ivestitiosrechug stellt die Zahlugsströme gegeüber: statische Ivestitiosrechug: Jahr Eiahme Ausgabe E-A-Differez Gesamt: Ivestitio: -2 Ergebis: +35 Uberücksichtigt bleibt, dass die Zahluge zu verschiedee Zeitpukte erfolge Die dyamische Verfahre der Ivestitiosrechug berücksichtige de Zeitfaktor bzw. die Verzisug des eigesetzte apitals. Die Zahluge werde auf eie gemeisame Zeitpukt bezoge. Der Bezugszeitpukt ist i.d.r. der Ivestitioszeitpukt; damit werde alle Zahluge auf diese Afagszeitpukt bezoge, dem Barwert + i q dyamische Ivestitiosrechug: Jahr Eiahme Ausgabe E-A-Differez Barwerte , ,6 Summe der Barwerte: 2.63,27 - Ivestitiosbetrag A : -2., ( ) Ergebis (apitalwert C ): 63,27 Diese Methode der dyamische Ivestitiosrechug heißt apitalwertmethode oder apitalbarwertmethode. Allgemei gilt: C apitalwert bezoge auf E A E2 A2 E3 A3 E A C A 2 3 de Afagszeitpukt t q q q q E t - A t Eiahme - Ausgabe Et A Eiahme- bzw. t C A t Ausgabeüberschuss zum t q Zeitpukt t A Ivestitiosbetrag, oder Ausgabeüberschüsse; allgemeier: Eiahme-Ausgabe-Differeze Aschaffugsausgabe Arbeitsstad: /8

16 Vorteilhaftigkeitsetscheidug: Durchführug, falls C > Wahletscheidug: Wähle Ivestitio mit höherem C Auitätemethode Die äquivalete Auität a eier Zahlugsreihe ist eie Rete, dere apitalwert dem der Zahlugsreihe etspricht. Die Laufzeit eier Auität ist üblicherweise gleich der Laufzeit der ursprügliche Zahlugsreihe. Damit etspricht diese Auität dem durchschittliche Eiahmeüberschuss, der bei eiem alkulatioszissatz i über die gesamte Nutzugsdauer eier Ivestitio aus dieser afällt. ( + i q i Die Auität wird berechet mit a C bzw. a C + i q Dabei heißt ( + i ( + ( ) Wiedergewiugsfaktor Vorteilhaftigkeitsetscheidug: Durchführug, falls a > Wahletscheidug: Wähle Ivestitio mit höherem a Wichtig: Eiheitlicher Plaugszeitraum für alle Alterative! Auitätemethode ud apitalwertmethode führe da zur selbe Etscheidug. Weitere aus der apitalwertmethode etwickelte Verfahre sid die dyamische Ivestitiosrechug ud die Methode des itere Zissatzes, mit der derjeige Zissatz bestimmt wird, bei dem der apitalwert gleich Null ist. Zusammefassedes Beispiel Eie Ivestitio i Höhe vo. ist über 4 Jahre bei eiem kalkulatorische Zissatz vo,5 zu überprüfe. Die Eiahme ud Ausgabe werde für de Zeitraum wie folgt eigeschätzt: Jahr Eiahme Ausgabe Die dyamische Ivestitiosrechug ist auszuführe mit: a) apitalwertmethode apitalwert 3.68,43 b) Auitätemethode Auität 893,54 3. Ausgewählte Wirtschaftsfuktioe 3. Agebots- ud Nachfragefuktio Agebotsfuktio: p f(x A ) mit x A Agebotspreis p a x - a (bei Liearität) Mooto fallede Fuktio; bei steigede Marktpreise erhöhe die Abieter ihre Agebotsmege. Nachfragefuktio: p f(x N ) mit x N Nachfragepreis p b x + b (bei Liearität) Mooto fallede Fuktio; bei steigede Marktpreise immt die Güterachfrage ab. x Agebotsmege p Agebotspreis p* Gleichgewichtspreis x* Gleichgewichtsmege Arbeitsstad: /8

17 Im Schittpukt der beide urve bzw. Gerade besteht das Marktgleichgewicht G(x*;p*). Agebot ud Nachfrage sid gleich. Die Nullstelle der Nachfragefuktio wird als Sättigugsmege bezeichet. Sättigugsmege x: p f(x N ) Der Schittpukt der Nachfragefuktio mit der p-achse (Preis) bildet de Maximalpreis (Prohibitivpreis). Dies ist der Preis, bei dem die Nachfrage x auf Null schrumpft. Prohibitivpreis p: p f(x N ) Der Preis, bei dem die agebotee Mege x bei Null liegt, heißt Midestpreis. Bei ud uter diesem Preis gibt es vo Uterehme keie Agebote. Midestpreis p: p f(x A ) Beispiel : Nachfragefuktio p N -,45 x +3 Agebotsfuktio p A,5 x + Zu bereche sid: Sättigugsmege 289 Midestpreis Maximalpreis 3 Gleichgewichtsmege 2 Gleichgewichtspreis ostefuktio ostefuktioe. Die Gesamtkoste eier bestimmte Produktiosmege ( Beschäftigug) setze sich i der Regel aus variable ud fixe oste zusamme. Gesamtkoste variable oste + fixe oste (x) V (x) + F VA x + F (bei Liearität) V variable oste, x Stückzahl, F Fixkoste, VA variable Stückkoste (VA - variable average) ( x) Durchschitts- bzw. Stückkoste: A x V( x) Variable Stückkoste: VA( x) Fixe Stückkoste: ( x) x Zusammehag zwische variable ud fixe Stückkoste: A VA + FA FA Beispiel Ermittlug eier kritische Mege : variable Stückkoste moatliche Fixkoste maximale apazität (St.) Maschie 4, 4.4, 2 Maschie 2 54, 2.45, 25 Ab welcher Moatsproduktio fällt die Etscheidug für Maschie? (x) v + f VA x + f : 4 x : 54 x x x x Umsatz- ud Gewifuktio Umsatzfuktio bestimmt de Umsatz (Erlös) i Abhägigkeit vo der abgesetzte Gütermege x: U(x) p x Diese Fuktio gilt ur bei vollstädiger okurrez, weil ur so die beteiligte Uterehme keie Eifluss auf de Preis habe. Die Gewifuktio ergibt sich als Differez aus Umsatzfuktio ud ostefuktio: G(x) U(x) (x) Deckugsbeitrag: D(x) U(x) V (x); ist der Deckugsbeitrag größer als die Fixkoste, etsteht Gewi. Stückdeckugsbeitrag d(x) p(x) AV (x) Arbeitsstad: /8 x F

18 Der Pukt, a dem G(x) ist, heißt Break-Eve-Poit bzw. Gewischwelle. Gewizoe: G(x) Beispiel: Es liege folgede Date vor: Umsatz gesamt 5.2, Stück 2., U(x) p x Umsatz je Stück: 52,6 U(x) 52,6 x Variable oste 56., je Stück: 28, Fixe oste 4., 2,5 97., 48,5 (x) V + F VA x + F (x) 28 x + 4 G(x) U(x) (x) G(x) 52,6 x - (28 x + 4) G(x) 24,6 x - 4 D(x) U(x) V (x) D(x) d(x) p(x) AV (x) d(x) 52,6 x - 28 x 24,6 Gewischwelle: 24,6 x - 4 x 666,66667 x 667 Literaturhiweise Auer, Bejami, Seitz, Fraz; Grudkurs Wirtschaftsmathematik Gabler Verlag Wiesbade 26; Hoffmeister, Wolfgag; Wirtschaftsmathematik; ohlhammer 998; Wöhe, Güter; Eiführug i die Allgemeie Betriebswirtschaftslehre; Verlag Fraz Vahle Müche 996; ISBN Dörsam, Peter Grudlage der Ivestitiosrechug PD-Verlag Heideau 997; ISBN Hülsma, Joche; Gamerith, Wolf; Leopold-Wildburger, Ulrike; Steidl, Werer; Eiführug i die Wirtschaftsmathematik; Spriger Berli 999; Arbeitsstad: /8

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