Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v

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1 Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b) die Vierteljahresrate? geg: Lsg: a). DM 1% (moatlich), m 1 N m A A q 1 b) q N q 1 q,1.1,1 1 1,1 1 m N , DM ges: A m, A v Av Am 1,1 3 1 A v 7173,, ,7DM 1

2 .Ei Hyothekedarlehe vo. DM soll i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Der Zis beträgt vierteljährlich %. Bereche Sie geg: a) die Moatsrate. b) die isgesamt zu zahlede Zise. DM % (viertelj.) 4 Quartale m 3 ges: a, Zges Lsg: a) Lösug durch Eisetze der Ersatzretesformel : A a ( m + umgeformt : a a m 1 ) A ( m + m 1 ) q 1 q q 1 ( m + m 1 ) a: uterjährliche Auität (hier:moatsrate ) A: Gesamtauität,. 1, 1, 1 (3 + ) 136,61DM b) Z ges A ges - ma- 3136, DM

3 3. Der Zisfuß eies Darlehes über. DM,welches moatlich mit DM zurückzuzahle ist, beträgt 8% jährlich. Nach wieviel Jahre ist Darlehe getilgt? geg:. DM 8% a m DM ges: m 1 A. 1,8,8 Lsg: a m 1 ( m + ) q 1 q q 1 a m 1 ( m + ) 1, (1 + ) 1493,1 (1,8 1) 8 1,8 1,8,19 l,19 l1,8 Jahre 4. Eie Schuld vo. DM wird mit kostate halbjährliche Auitäte vo 1.877,6 DM i Jahre getilgt. Wie hoch ist der Jahreszisfuß? geg: Lsg:.DM ges: a h 1.877,6DM m q 1 q q 1 a m 1 m + ( q 1) q 1. q q ,6 1 + ( q 1) q 1+ 3

4 Lösug durch Probiere : q a h Ergebis 1,8 8% 14.6,73 zu klei 1,1 1% 17.18,93 zu groß 1, % 1.877,6 Lösug Der Jahreszisfuß ist %. Die Verzisug für ei Darlehe über. DM erfolgt halbjählich. Das Darlehe soll i 6 Jahre mit Hilfe vo moatliche Auitäte vo 1.939,47 DM getilgt werde.bereche Sie de Semsterzissatz. geg:.dm a m 1.939,47DM 6 1 Semester m 6 ges: s Lsg: q 1 q q 1 a m 1 m + ( q 1) 1 q 1. q 1 q , ( q 1) Lösug durch Probiere (Vgl.4 ) s 6% 4

5 6. Wie hoch sid die gesamte Zisaufweduge eier Schuld vo. DM,die durch halbjährliche Auitäte vo 14. DM bei eiem Jahreszisfuß vo 7% getilgt wird? geg: Lsg: ges: Z. DM ges a h 14. DM m 7 % q 1 q q 1 a m 1 ( m + ),7. 1,7 1, ( +,7 ) 8.49 (1,7 l 1,966 l 1,7 1) 14. 1,7 Jahre A ges a h m DM Z ges A ges - 8.DM-.DM 8. DM

6 7. Ei Teilzhalugskredit über. DM soll i 38 Moate getilgt werde. Moatlich müsse 3 DM zurückbezahlt werde. Bei der reditauszahlug fällt eie Bearbeitugsgebühr i 8 DM a.bereche Sie de effektive Jahreszis bei moatlicher Verzisug. geg:. DM ges: eff B 8 DM soll a m 3 DM 38 Moate, m 1 Lsg: zurückzahlede reditsumme: soll - B a m soll q 3 9 q Lösug durch Probiere : q 1,11 m 1,1% eff eff m ((1 + ) 1) (1,11 m 1 1) 14,71 % 6

7 8. Ei Uterehmer beötigt geau. DM für eie Ivestitio.Diese Betrag möchte er durch ei Bakdarlehe decke, welches zu folgede oditie agebote wird : Zis 6,1%.a ; Auszahlug 91,% ; Laufzeit Jhare a) Wie hoch sid die kostate Auitäte? b) Welche Effektivzis bezahlt der Uterehmer? c) Wie hoch sid die Gesamtaufweduge für de redit? geg: Lsg:. DM ges: A, P eff, A ges 6.1% a) A q. A 1,61 91.% A ,39DM,61 1,61 1 b) A q ,39. q Lösug durch Probiere : q 1,8 eff 8 % c) Gesamtaufweduge : A ges A ,39 DM , 9 DM 7

8 Lsg: 9. Ei Auitäteschuld vo. DM ist moatlich mit 49,38 DM zurückzuzahle. Die jährliche Verzisug beträgt %. geg: a) Bereche Sie die Laufzeit. b) Wie groß ist Restschuld ach Jahre ud 3 Moate?. DM a m 49,38 DM % m 1 a) ges:, R,3 Lösug durch Eisetze der Ersatzretesformel : m 1 A a ( m + ) 11 A 49,38 (1 + ) A 6.19,41DM Tilgug im erste Jahr : T 1 A - Z ,41-., 3.19,41 DM Tilgugsdauer : l A lt1 lq l6.19,41 l3.19,41 11Jahre l1, b) Im diese Fall : Der Restschuld am Ede eies Zahlugseriode,die icht mit dem Ede eies Jahres Zusammefällt. Awedug der Formel vo gemischte Verzisug bei der Reterechug! 8

9 Die Rechugsformel läutet : R k 1, l q k 1 l (1 + ) m k 1 m 1 l ( m+ ) (1 + ) q 1 m a l l 1 + ( m+ ) m mit k 6, l 3 (Moate), m 1 Eisetze der gegebee Zahle i der Formel : 3 R,3.1, (1 +,) 49, , (1+, (1 +,) + (1+, ), 1 1 R ,7 3.14, 9.47,6DM,3 9

10 . Ei redit über. DM wird zu % Jahreszise bei halbjährlicher Verzisug gewährt. Nach Jahre solle die Schuld sowie die agefallee Zise zurückbezahlt werde. Jedoch muß am Ede eies jede Jahres eieverwaltugsgebühr vo,% der reditsumme a de reditgeber überwiese werde. Außerdem wird ei Disagio vo 3% erhobe.wie hoch ist die Effektivverzisug des redits? geg:. DM %, m ist 3% ges: eff Lsg: Nach Jahre zurückzahlede Beträge : (Schuld +Zise) m (1 + ) m. (1 + ) 3.77,89DM Mit Berücksichtigug der Verwaltugsgebüre : v,%., DM Gesamte Rückzahlug : g + v 3.77, ,89 DM Effektivverzisug des redits : eff eff eff ( ( ( g ist 1) 1) 33.77,89.,97 1) 11,6%

11 11. Nach 8 Jahre beträgt die Restschuld eies Auitätekredits mit eier Laufzeit vo Jahre, der zu 8% verzist ud jährlich getilgt wird, och 67,6 DM. a) Erstelle Sie de Tilgugsla der letzte beide Jahre. b) Wie hoch sid die isgesamt für de redit zu zahlede Zise? geg: R 8.67,6 DM, 8 % ges: Z ges Lsg: a) Restschuld ach 8 Jahre bzw.am Afag des 9-te Jahr : R 8 Mit der Auitätsformel : A q q q 8 q 1 q 1 (1) () () ach aufgelöst, i (1) eisetze : folgt : R8 q A ( q ( q 1) 8 q ) A.67,6 (1,8 1,8,8 A 1.49,3DM 8 1,8 ) Tilgug im 9-te Jahr : A 8 T9 q q T Zise im 9-te Jahr : ,3 8 1,8 1.77,7DM 1,8 Z 9 A-T ,3-1.77,7 1,6 DM 11

12 Restschuld ach 9 Jahre bzw.am Afag des -te Jahr : R 9 A T ,9 DM Tilgug im -te Jahr : T R ,9 DM Zise im -te Jahr : Z A T 1,34 DM Tilgugsla der letzte beide Jahre : Jahr Restschuld Zise Tilgug Auität 9.67,6 1,6 1.77,7 1.49, ,9 1, ,9 1.49,3 b) Schuld des Auitätekredits : A( ) q ( 1) Gesamte Zisbelastug : 1.49,3(1,8 1,8 9 1).,3DM Z ges A 1.49,3-.,3 4.9,97 DM 1

13 1. Ei Auitätedarlehe über 3. DM (bei jährlicher Tilgug) wurde Ede 199 eiem Zissatz vo 9%.a. bei eier Bak aufgeomme.die Laufzeit (Zisbidugsdauer) betrug 8 Jahre. Weil 3 Jahre säter das Zisiveau auf 7%.a. gesuke ist,möchte der Darlehesehmer die Restchuld jetzt zurückzahle (ablöse).die Bak macht die Ablösug des Darlehes davo abhägig, ob der ude bereit ist,als Ersatz für de etstehede Schade eie Vorfälligkeitsetschädigug zu zahle.sie berechet die Vorfälligkeitsetschädigug ach der sogeate Bakeformel : Der Restschuld am Vorfälligkeitstermi wird mit der Restlaufzeit ud der rozetuale Zisdifferez zwische Vertrags- ud Wiederalagezis multiliziert. a) Wie hoch ist der fiazielle Schade,welcher der Bak ohe Berücksichtigug vo reditsbearbeitugskoste tatsächlich etsteht? b) Ermittel Sie die Höhe der Vorfälligkeitsetschädigug ach der Bakformel a) Aalyse : fiazielle Schade etstehe durch die Differez zwische der ach gelater Laufzeit ( 8) zurückzahlede Gesamtaufwedug ud der Summe vo Gesamtaufweduge,dere Laufzeite( 1 3, )ud Zisfüße( 1 9%, 7% ) uterschiedlich sid. a) Der Tilgugsla mit Laufzeit 8 Jahre, 1 9 % : Jahr 1 Tilgugsrate 7.,31 Zise 7., Auität 4.,31 Restschuld zu Begi des Jahres 3., Restschuld am Ede des Jahres 7.797,69 9.6, 4.1,79 4., , , ,4 4., ,17.88, 4 3.7, ,3 4.,31.88, 17.6, ,9 1.84,3 4., , , , ,18 4., , , , 8.81,31 4., , , , ,4 4., ,89, Summe : 3., , ,1 13

14 Der Tilgugsla mit Laufzeit 1 3 Jahre, 1 9 % : Jahr Tilgugsrate Zise Auität Restschuld zu Begi des Jahres Restschuld am Ede des Jahres 1 7.,31 7., 4.,31 3., 7.797,69 9.6, 4.1,79 4., , , , ,4 4., ,17.88, Summe , , ,94 Der Restschuld ach 3 Jahre sid weiter i ächste Jahre mit 7% zurückzuzahle : Der Tilgugsla mit Laufzeit Jahre, 7 % : Jahr Tilgugsrate Zise Auität Restschuld zu Begi des Jahres Restschuld am Ede des Jahres , , ,1 1.88, ,6 39.7, , , , , ,3 9.44, , , , ,36 6.7, , ,1 48., , , ,1 48.,1, Summe.88, 46.66,96 7.9,6 14

15 S off A ges -(A 1 +A ) ,1-(16.66,94+7.9,6) ,1 DM b) Vollfälligkeitsetschädigug ( VFE ) ach Bakformel : VFE R 3 ( 1 - ).88,% 1.8,81 DM 1

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