Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Skript und Aufgabenkatalog zur gleichnamigen Veranstaltung an der Verwaltungs- und Wirtschaftsakademie Aachen (VWA) im WS 2014/2015 Sarah Eichler M. Sc. RWTH Philipp von Thunen Dipl.-Ing. Dipl.-Wirt.Ing.

2 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1 Organisatorisches Die Veranstaltung findet immer dienstags von 18:00 Uhr bis 20:30 Uhr im Hörsaal V (Hauptgebäude der RWTH Aachen, Templergraben 55) statt. Vorlesung und Übung werden dabei kombiniert, so dass Sie das Gelernte direkt durch eigenständiges Rechnen vertiefen können. Die Einzeltermine sind: Di, Di, Di, Di, Di, Di, Di, Di, Di, Di, Di, [Weihnachtsferien] Di, Sa, Klausur. Die Vorlesungsreihe wird mit einer Klausur abgeschlossen: Am Samstag, den , Beginn 10:00 Uhr im Fo 1 (Kármán-Auditorium RWTH, gegenüber vom Hauptgebäude) Nähere Infos zur Klausur erfahren Sie in den letzten Vorlesungen. Bei Fragen können Sie uns gerne kontaktieren: Sarah Eichler, M. Sc. RWTH Lehr- und Forschungsgebiet Entscheidungsforschung & Finanzdienstleistungen Sammelbau Templergraben 64, 4. Etage, Raum 420a eichler@efi.rwth-aachen.de oder Tel.: 0241 / Dipl.- Ing. Dipl.-Wirt.Ing. Philipp v. Thunen Lehr- und Forschungsgebiet Entscheidungsforschung & Finanzdienstleistungen Sammelbau Templergraben 64, 4. Etage, Raum 420b thunen@efi.rwth-aachen.de oder Tel.: 0241 /

3 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 2 Vorbemerkung Die Teilnahme an der Veranstaltung wird empfohlen. Der alleinige Besuch wird Ihnen allerdings i. d. R. keinen großen Nutzen bringen. Im Rahmen der Veranstaltung werden mathematische Modelle bzw. Rechenoperationen vorgestellt und anhand von Beispielen verdeutlicht. Darauf aufbauend werden ausgewählte Übungsaufgaben bearbeitet, durch deren Lösung die Anwendung der behandelten Stoffinhalte nachvollzogen werden kann. Das vorliegende Skript beinhaltet darüber hinaus weitere Aufgaben (inkl. Musterlösungen) zum eigenständigen Lernen bzw. Üben des Stoffes. Nur diese eigenständige Nachbereitung des Stoffes anhand von Aufgaben wird Ihnen verdeutlichen, ob Sie die vermittelten Inhalte verstanden haben und tatsächlich eigenständig anwenden können. Dieses Skript kann Studentinnen und Studenten mit einem guten mathematischen Verständnis bzw. umfangreichen Vorkenntnissen als alleinige Lern- und Übungsgrundlage dienen, wenn sie die Aufgaben zunächst eigenständig bearbeiten und erst danach die Musterlösung einsehen, um ihre Rechnungen zu überprüfen. Studierenden, die sich mit einzelnen Inhalten dieses Skriptes intensiver beschäftigen möchten, sei es um Grundlagen nachzuarbeiten, Erlerntes zu vertiefen oder weiterführendes Wissen zu erlangen, kann nachfolgende Literatur hilfreich sein: Vorkurs Mathematik Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen von E. Cramer und J. Neslehová, 5. Auflage, Verlag Springer, Heidelberg 2012 (ISBN ). Mathematik für Wirtschaft und Finanzen Band I: Analytik von H. Cremers, 2. Auflage, Frankfurt School Verlag, Frankfurt a. M Mathematik - anschaulich dargestellt - für Studierende der Wirtschaftswissenschaften von P. Dörsam, 15. Auflage, PD-Verlag, Heidenau Sollten Sie noch Fehler in diesem Skript finden, so teilen Sie uns diese bitte mit, damit wir Ihren Kommilitonen entsprechende Hinweise geben und diese in der nächsten Auflage vermeiden können. Viel Spaß beim Lösen der Aufgaben und viel Erfolg bei der abschließenden Prüfung!

4 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 3 Inhaltsverzeichnis Block 1: Grundlagen und elementare Rechenoperationen (S. 5 18) 1.1 Mengen und Zahlenbereiche 1.2 Rechengesetze Addition Subtraktion Multiplikation Rechenregeln für Addition und Multiplikation Vorzeichenregeln Betragsrechnung Bruchrechnung Ungleichungen 1.3 Potenzen 1.4 Wurzeln 1.5 Logarithmen 1.6 Quadratische Gleichungen Binomische Formeln Das Lösen allgemeiner quadratischer Gleichungen Block 2: Summen und Produkte; Finanzmathematik (S ) 2.1 Summen und Produkte Summen Produkte 2.2 Finanzmathematik Zinsrechnung Barwert, Endwert und Annuität Barwert Endwert Annuität Tilgungsrechnung 2.3 Grundlagen der linearen Optimierung Block 3: Funktionen und Ableitungen (S ) 3.1 Wichtige Funktionen 3.2 Differentiation und Kurvendiskussion 3.3 Die Bestimmung von Ableitungen / Rechenregeln 3.4 Elastizitäten

5 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 4 Block 4: Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus (S ) 4.1 Grundlagen Vektoren Matrizen 4.2 Das Lösen Linearer Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß-Algorithmus Musterlösungen zu den Übungsaufgaben (S ) Probeklausur (inkl. Musterlösung) (S ) Klausur aus dem Jahr 2010 zum Üben (S ) Formelsammlung (Anhang) (S )

6 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 5 Block 1: Grundlagen und elementare Rechenoperationen 1.1 Mengen und Zahlenbereiche Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von Objekten, wobei für jedes Objekt a aus dem Bereich aller möglichen Objekte feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht. Diese Objekte werden Elemente der Menge genannt, man schreibt daher: a M für a ist Element der Menge M. a M für a ist nicht Element der Menge M. M bezeichnet die Mächtigkeit von M, d. h. die Anzahl der Elemente von M. Zwei Mengen A und B heißen gleich (A = B), wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist und umgekehrt: a: a A a B. Sonst sind die Mengen ungleich (A B). Mengen können auf verschiedene Weisen beschrieben werden: Eine Möglichkeit sind die diversen Standardbezeichnungen für häufig verwendete Mengen: N: Die Menge der natürlichen Zahlen (0 ist keine natürliche Zahl). N 0 : Die Menge der natürlichen Zahlen mit 0. Z: Die Menge der ganzen Zahlen. Q: Die Menge der rationalen Zahlen. R: Die Menge der reellen Zahlen. Zusätzlich zu den rationalen Zahlen sind auch alle irrationalen Zahlen enthalten (z. B. π, e) C: Die Menge der komplexen Zahlen. Zusätzlich zur Menge der reellen Zahlen sind hier auch alle Wurzeln aus negativen Zahlen enthalten. Eine andere Möglichkeit ist die Auflistung aller Elemente in geschweiften Klammern, durch Komma getrennt: A = {2, 3, 4} (sprich: Menge aus 2, 3 und 4) = {4, 2, 3} = {2, 3, 2, 4, 2}. Die Reihenfolge der Elemente ist unwichtig, auch Wiederholungen werden ignoriert. Bsp.: N = {1, 2, 3, }, N 0 = {0, 1, 2, 3, }, Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, } = {0, ±1, ±2, ±3, } Die Elemente müssen jedoch nicht immer alle aufgeführt werden. Sie können auch eindeutig umschrieben werden. Als weitere Möglichkeit besteht die Festlegung einer Menge durch Aussage. Bsp.: M = {2, 4, 6, 8, } = {n N n ist gerade}. (sprich: Menge aller natürlichen Zahlen n, für die gilt: n ist gerade.) Eine wichtige Variante ist das Symbol für die leere Menge (M = { }). Diese Menge enthält keine Elemente. Als Ergebnis einer Fragestellung sagt die leere Menge z. B. aus, dass es keine zulässige Lösung im Rahmen der zulässigen Alternativen gibt.

7 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 6 Wichtige Mengenoperationen: 1. Teilmenge: A B = { x x A x B} (sprich: A Teilmenge von B). 2. Schnittmenge: A B = { x x A und x B} (sprich: A geschnitten B). 3. Vereinigungsmenge: A B = { x x A oder x B} (sprich: A vereinigt B). 4. Differenzmenge: A\B = { x x A und nicht x B} (sprich: A ohne B, oder: A minus B). 5. Potenzmenge: P(M) := Die Menge aller Teilmengen von M. 6. Produktmenge: A B = { a, b a A und b B} (auch Kartesisches Produkt genannt). Abbildungen von Mengen: A und B seien Mengen. Für a A und b B heißt die Menge (a, b): = {a, b} geordnetes Paar. Seien A, B Mengen. Eine Abbildung f von A nach B (f: A B) ordnet jedem Element x A ein Element f(x) B zu: x f(x). Für B = R wird f auch Funktion genannt (s. Kap. 3). Man bezeichnet A als Definitionsbereich, B als Wertebereich (oder auch Wertevorrat). Der Graph von f: A B ist die Menge { x, f(x) x A } A B. Darstellung von Mengen anhand von Venn-Diagrammen: In einem Venn-Diagramm werden Mengen durch Flächen (i. d. R. Ellipsen) in einer Ebene repräsentiert. Die Elemente einer Menge befinden sich dabei irgendwo auf der zugeordneten (farbig markierten) Fläche. Sie werden nur bei besonderem Interesse beschriftet oder als Punkte dargestellt bzw. gekennzeichnet. Beispiel für ein Venn-Diagramm: A B C Im nebenstehenden Venn-Diagramm sind die Mengen A, B, und C zu sehen. Alle Elemente, die der Menge C, aber nicht den Mengen A oder B angehören, sind farbig markiert. Alle Elemente gehören einem so genannten Grundraum an, der mit dem griechischen Buchstaben Omega bezeichnet wird und die Menge aller zulässigen Elemente (z. B. Lösungen) umschreibt.

8 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 7 Intervalle als Graphen im zweidimensionalen Raum: Intervalle sind spezielle (Teil-)Mengen der reellen Zahlen (R). Grundsätzlich werden offene, halboffene und abgeschlossene Intervalle unterschieden: Seien a, b R und a b. Die endlichen Intervalle: Die unendlichen Intervalle: (a, b) {x R: a < x < b} offenes I. (a, ) {x R: a < x} [a, b) {x R: a x < b} halboffenes I. [a, ) {x R: a x} (a, b] {x R: a < x b} halboffenes I. (, b) {x R: x < b} [a, b] {x R: a x b} abgeschlossenes I. (,b] {x R: x b} Die Zahlen a, b heißen dabei auch Randwerte und begrenzen das Intervall. Eine Runde Klammer (offenes Intervall) deutet an, dass die Grenze nicht zum Intervall gehört, während eine (nach innen gerichtete) eckige Klammer die Zugehörigkeit ausdrückt. (Oft wird eine nach außen gerichtete eckige Klammer als Alternative zu einer runden Klammer verwendet.) Kartesische Produkte als Mengen in der zweidimensionalen Ebene: Das Kartesische Produkt A B (auch Kreuzprodukt) der Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) von Elementen a A und b B: A B = { (a, b) a A, b B }. Die graphische Darstellung erfolgt anhand eines Koordinatensystems. Aufgabe 1.1 A Überlegen Sie, warum für beliebige Mengen A, B, C nachfolgende Aussagen gelten (Aussagenlogik) und zeichnen sie die zugehörigen Venn-Diagramme. a) (A B) C = (A C) (B C) b) A (A B) = A c) C\(A B) = (C\A) (C\B) Aufgabe 1.1 B Schraffieren Sie die in der x, y-ebene durch die Ungleichungen gegebenen Gebiete. i) 2x + y < 20 b) 2x y 15

9 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Rechengesetze Addition Die Addition zweier Zahlen a, b wird mit dem Verknüpfungszeichen + dargestellt: a + b. Die Zahlen a und b werden als Summanden, die Zahl a + b als Summe bezeichnet. Mehr als zwei Zahlen werden addiert, indem zunächst zwei Zahlen addiert werden, zu deren Summe dann die dritte Zahl addiert wird usw. Zur Festlegung der Additionsreihenfolge werden Klammern ( ) oder [ ] verwendet, z. B. [(a + b) + c] + d. Die Auswertung des Ausdrucks erfolgt also von innen nach außen. Wie das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition zeigen, ist die Reihenfolge jedoch unerheblich. Für die Zahlen a, b, c gelten das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition: das Kommutativgesetz a + b = b + a. das Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c) Subtraktion Seien a, b Zahlen. Die Subtraktion von a und b ist definiert als Addition a + ( b). Sie wird durch das Rechenzeichen dargestellt: a b = a + ( b). Die Zahl a b heißt Differenz von a und b. Die Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition, denn für die Summe von a und b (c = a + b) folgt c a = c + ( a) = a + b + ( a) = b Multiplikation Die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen a, b wird definiert als a b = b + b + + b a mal bzw. a b = a + a + + a. b mal a und b heißen Faktoren des Produkts a b. Sofern der Ausdruck eindeutig bleibt, kann das Multiplikationszeichen weggelassen, d. h. statt a b oder 2 c einfach ab oder 2c geschrieben werden. Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen haben stets natürliche Zahlen als Ergebnis, d. h. die Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen gegenüber Addition und Multiplikation ihrer Elemente. Für die Multiplikation der Zahlen a, b, c gelten ebenfalls ein Kommutativ- und Assoziativgesetz: das Kommutativgesetz a b = b a. das Assoziativgesetz (a b) c = a (b c). Wird eine Zahl a mehrfach mit sich selbst multipliziert, wird die Potenzschreibweise verwendet: a a a n mal = a n. (Potenzen werden in Abschnitt 1.3 noch ausführlicher betrachtet).

10 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Rechenregeln für Addition und Multiplikation Werden Addition und Multiplikation in einer Rechenoperation verwendet, so muss die Reihenfolge der einzelnen Operationen evtl. durch Klammern( ), [ ] festgelegt werden. Ein derartiger Ausdruck wird Term genannt. Ein Term ist eine sinnvolle Abfolge mathematischer Verknüpfungen von Zahlen und Variablen. Die folgenden Ausdrücke sind Terme, die nur die Verknüpfungen Addition und Multiplikation verwenden: a + b, (c + 3a) (5 [b + a]), 1 (3x + y)z. Grundlegend für die Auswertung von Termen, die sowohl Addition als auch Multiplikation enthalten, ist das Distributivgesetz der Addition und Multiplikation. Es impliziert die Regel Punkt vor Strich, d. h. multiplikative Verknüpfungen müssen - sofern nicht Klammern eine andere Reihenfolge vorgeben stets vor additiven Verknüpfungen ausgewertet werden. Für die Zahlen a, b, c gilt: das Distributivgesetz: a (b + c) = a b + a c und (a + b) c = a c + b c. Die Anwendung des Distributivgesetzes in der Form a (b + c) = a b + a c wird Ausmultiplizieren, die Anwendung in der Form a b + a c = a (b + c) Ausklammern genannt Vorzeichenregeln Es gilt allgemein für die Zahl a: +(a) = +a = a, +( a) = a, (+a) = a, ( a) = a Für die Zahlen a, b gelten folgende Vorzeichenregeln bei Addition und Multiplikation: (a + b) = a b, (a b) = a + b, a ( b) = ( a) b = ( a b), ( a) ( b) = a b. Ein Minuszeichen vor einem Term kann als Multiplikation mit der Zahl 1 gewertet werden Betragsrechnung Der Betrag einer reellen Zahl a ist definiert durch: a fu r a 0 a = { a fu r a < 0 Bsp.: 3 = 3, 0 = 0, 3 = 3. Für zwei reelle Zahlen a und b gibt a b den Abstand zwischen a und b an; z. B. ist 4 2 = 6, d. h. der Abstand von 4 zu 2 beträgt 6.

11 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 10 a x < d fu r a x 0 Für eine reelle Zahl x gilt: a x < d { a d < x < a + d (a x) < d fu r a x < 0 und folglich: { x R a x < d } = (a d, a + d). Für das Rechnen mit Beträgen gelten die folgenden Regeln: a b = 0 a = b; a = a, also insbesondere auch a b = (a b) = b a ab = a b ; a + b a + b (Dreiecksungleichung) Bruchrechnung Der Bruch a (oder a b b ) besteht aus dem Zähler a und dem Nenner b und bezeichnet eine andere Schreibweise für die Division a: b. Bei der Bruchrechnung muss man beachten, dass a b nur für b 0 sinnvoll ist (wie auch eine Division durch Null unzulässig ist). Zwei Brüche heißen gleichnamig, wenn ihre Nenner gleich sind, also z. B. 1 und 3. Zur Addition und Sub- 5 5 traktion müssen ungleichnamige Brüche durch Erweitern bzw. Kürzen auf den gleichen Nenner gebracht werden. Sollen zwei Brüche dividiert werden, wird von einem der Kehrwert (der Kehrwert für den Bruch a ist b ) gebildet und dann statt der Division die Multiplikation ausgeführt, b a denn: a b a : x =, mit x = c a : c = a b x d b d b c = a d. b c d Erweitern: Kürzen: a = a c b b c a = a:c b b:c Addition/Subtraktion: a c ± b c = a±b c Multiplikation: Division: a c = ac b d bd a : c = a d = ad b d b c bc 3 = 3 3 = = 20:4 = : = = 14 = = 6 28 = : 2 = 3 7 = Ungleichungen Für das Rechnen mit Ungleichungen gelten die folgenden Gesetze: a < b a < b und c > 0 a < b und c < 0 a ± c < b ± c a c < b c a c > b c 0 < a < b a n < b n 1 a < 1 b < 0 a > b Entsprechend gelten diese Gesetze auch für das -Zeichen.

12 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 11 Aufgabe 1.2 A Es sei α eine reele Zahl. Unter α versteht man den Abstand der Zahl auf der Zahlengeraden vom Ursprung, also gilt: α, falls α 0 α = { α, falls α < 0 Stellen Sie die folgenden Mengen auf der Zahlengerade dar: a) A = { x R x 1 } b) B = { x R x 3 < 2 } Aufgabe 1.2 B a) Lösen Sie die Klammern auf. i) (3a 4) ii) [(b c) a] iii) [ (5 + a 2( a)) 4] iv) 2 (7a + 3) v) 2 (5 2a) vi) [2a + 3(b 2)] vii) [4 3a(2 + b)] viii) 2 [ a (5 + a 2b)] b) Multiplizieren Sie aus. i) 3a (4 b) ii) 7y (4 2y) iii) 4y (2x 6y) iv) 2a 2 (3a 7b) + 3b 2 (a 2 2b) + 2ab (7a + 3ab) v) 5 (7a + 3) vi) 2x ( 1 4y + x) vii) 4y [ 5 + 3y (2 + 2y)] viii) 2 (4 + 2x) [5 + 3( x 2 + 2x)] c) Addieren bzw. subtrahieren Sie die folgenden Brüche. Kürzen Sie dann soweit wie möglich und geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, für die der gegebene Term definiert ist. i) iv) vii) 2 + a + 4 a 2 a 2 2a a 2 ii) 3a 7 + 6a 3 12a 21 v) 3a a 9 + 2a x viii) 5 y+3 + 3x y+3 3y+9 iii) 2 a a+3 4 a+1 vi) ix) a+1 b 1 3a 4 b 1 + 8a 4 2(b 1) d) Multiplizieren bzw. dividieren Sie die folgenden Brüche. Kürzen Sie dann soweit wie möglich und geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, für die der gegebene Term definiert ist. i) ii) 1 4 : 5 12 iii) 3 4 : iv) : 1 12 : 1 3 e) Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke. i) ii) 4 3 :

13 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Potenzen Seien a R, n N, dann ist a n = a a n mal die n-te Potenz von a. a beschreibt die Basis, n ist der Exponent. Es existieren folgende Spezialfälle : 1. Für n = 0 setzt man a 0 = 1, für a = 0 und n = 0 gilt 0 0 = Für negative Exponenten wird vereinbart: a n = 1 n (falls a 0). Beispiele: a = 3, n = 4: a n = 3 4 = = 81 a = 1, n = 3: a n = ( 1 3 ) = ( 1) ( 1) ( 1) = 1 a = 3, n = 2: a n = 3 2 = = 1 9 a = 1 2, n = 3: an = ( 1 2 ) 3 = 1 Rechenregeln: Es gilt: a, b R\{0} und m, n Z. ( 1 2 )3 = = 8 1. Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem die Basis mit der Summe der Exponenten potenziert wird: a m a n = a m+n. Hieraus folgt, dass am a n = am a n = a m n. 2. Eine Potenz a m wird potenziert, indem die Basis a beibehalten und mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird: (a m ) n = a m n. 3. Potenzen mit demselben Exponenten werden multipliziert, indem man das Produkt der Basen mit diesem Exponenten potenziert: a m b m = (a b) m. Hieraus folgt, dass am b m = (a b )m. a 1.4. Wurzeln Das Wurzelziehen (auch Radizieren genannt) ist eine Umkehrung des Potenzierens. Anwendung findet es z. B. beim Lösen der Potenzgleichung bzw. zur Berechnung aller x R (falls a R, n N). x n n = a x = a Anmerkungen zur Lösung - falls n gerade ist, so gilt: x n 0 für alle x R, also keine Lösung, falls a < 0. x n = ( x) n für alle x R. Es existieren also zwei Lösungen: x und ( x). Beispiele: x 2 = 3 x = 3: keine Lösung (in den reellen Zahlen) x 2 = 4 x 2 4 = 0 (x 2)(x + 2) = 0 x = 2 x = 2 (Binomische Formeln werden in Abschnitt noch betrachtet.)

14 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 13 n Für a 0 bezeichnet a 2 n = 2 schreibt man kurz a = a 1 n die eindeutig bestimmte Zahl x R mit x 0 und x n = a. Für = a. n a heißt die n-te Wurzel aus a, a ist der Radikand. Für a > 0 wird die eindeutige (reelle) Lösung x R, x 0, der Gleichung x n = a m bezeichnet mit a m n n = a m. Rechenregel: xy = x y Anwendungsbeispiel zu Potenzen und Wurzeln aus der Finanzmathematik (Geldanlage) Ein Kapital K 0 wird zum Ende jedes Jahres mit dem Zinssatz i = p % (p ist der Zinsfuß) verzinst. K n bezeichnet das nach Ablauf von n Jahren vorhandene Kapital. Anfallende Zinsen werden jeweils mitverzinst. (Zinseszinseffekt). Nach 1 Jahr: K 1 = K 0 + i K 0 = K 0 (1 + i). Nach 2 Jahren: K 2 = K 1 + i K 1 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2. Nach 3 Jahren: K 3 = K 2 + i K 2 = K 2 (1 + i) = K 0 (1 + i) 3. Nach n Jahren: K n = K 0 (1 + i) n. Für K 0 = , p% = 4% und n = 7 Jahre ergibt sich: K 7 = K 0 (1 + i) 7 = , ,59. Nun erfolgt eine Umkehrung der Betrachtung. Bekannt sind nun K 0 und K 7, i kann analog durch das Lösen folgender Gleichung ermittelt werden (für i 0): K 7 = K 0 (1 + i) 7 (1 + i) 7 = K 7 K 0 Lösung liefert das Wurzelziehen : i = K 7 K 0 7 i = K 7 1 K 0

15 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 14 7 i = , = 1, = 1,04 1 = 0,04 = 4%. 1.5 Logarithmen Ähnlich wie das Wurzelziehen im vorangehenden Abschnitt kann auch das Logarithmieren als Umkehrung des Potenzierens verstanden werden. Allerdings bildet beim Logarithmieren der Exponent die gesuchte Zielgröße, also Lösungen der Gleichung a x = y. Falls a R, a > 0, a 1, bezeichnet log a y für beliebige y > 0 die eindeutig bestimmte Zahl x R, die die Gleichung a x = y erfüllt. Sie heißt Logarithmus von y zur Basis a. Es gilt also: x = log a y a x = y und a log a y = y. Beispiele: log 2 8 = 3, da 2 3 = 8 log 7 49 = 2, da 7 2 = 49 log = 1, da 10 1 = 10 log = 1, da 10 1 = = 1 10 Rechenregeln: (Für a R, a > 0, a 1 und y, z > 0, r R) a) log a a = 1, log a 1 = 0 b) log a (yz) = log a y + log a z c) log a ( y ) = log z a y log a z d) log a y r (= log a (y r )) = r log a y e) log a y = log a z y = z Ist zusätzlich a > 1, so gilt ferner: > 0, falls y > 1 f) log a y { = 0, falls y = 1 < 0, falls 0 < y < 1 g) log a y < log a z y < z Wichtige Logarithmen: A) Zehnerlogarithmus (oder: dekadischer Logarithmus, also Logarithmus zur Basis 10) log 10 y = lg y (= log y)

16 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 15 B) Natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis e = 2,71828, also Logarithmus zur Basis der Eulerschen Zahl) log e y = ln y Basiswechselsatz: Wenn ein Logarithmus zur Basis a nicht bekannt ist, kann man ihn mit dem Basiswechselsatz in den Quotienten zweier Logarithmen zur Basis b umwandeln: log a c = log b c mit a, b, c R > 0 und a, b 1. log b a Exkurs: Beweis unter Anwendung der bekannten Rechenregeln: 1. Wir schreiben den Logarithmus von c zur Basis a und zur Basis b auf: log a c = x a x = c und log b c = y b y = c 2. Nun gilt der Ansatz: c = c 3. Dann gilt (nach 1. und 2.): a x = b y 4. Nun können wir (nach 1.) x durch log a c und y durch log b c ersetzen: a log a c = b log b c 5. Dann bilden wir auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis b, denn wenn die Zahlengleich sind, sind es auch Ihre Logarithmen: log b (a log a c ) = log b (b log b c ) 6. Die Rechenregel über den Logarithmus einer Potenz liefert: log a c log b a = log b c log b b 7. Da log b b = 1, gilt: log a c log b a = log b c, und die Umformung liefert: log a c = log b c log b a

17 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 16 Aufgabe a) Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke als Potenzen. i) (x y)(x y)(x y)(x y) ii) ( a 2 )( a) 2 ( a) 3 b) Lösen Sie folgende Gleichungen nach x auf! (ln x = log e x und log x = log 10 x) i) a (2 x b) = 2 2x, x R, a > 1, b > 0 ii) ln(x + a) = ln x + ln 2, x > 0, a > 0 iii) y(10 x a) = b, y > 0, a, b > 0 iv) 2 3x = 2 e x ln 2 v) log a (x + 4) + 2 log a ( a2 ) = 4 2alog a 2 + log a (x + 1), x > 1, a > 1 vi) e ln x + xy ln 2 y = 0, x > 0, y 0 vii) log a x log a (b 2 1) + log a ( b 1 x2 ) = 0, x > 0, a > 1, b > 1 viii) log a 6 = 1 2 log a 9 log a (x 1), x > 1, a > Quadratische Gleichungen Binomische Formeln: 1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Berechnung: = (a + b)(a + b) = a (a + b) + b(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Berechnung: = (a b)(a b) = a(a b) b(a b) = a 2 ab ba + b 2 = a 2 2ab + b 2 3. (a + b)(a b) = a 2 b 2 Berechnung: = (a + b)(a b) = a(a b) + b(a b) = a 2 ab + ba b 2 = a 2 b Das Lösen allgemeiner quadratischer Gleichungen (mittels Wurzeln) ax 2 + bx + c = 0 (mit a 0, b, c R)

18 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Schritt: Zunächst wird aus der allgemeinen quadratischen Gleichung durch Division mit a eine standardisierte quadratische Gleichung hergeleitet: x 2 + b a x + c a = 0 2. Schritt: Quadratische Ergänzung, d. h. Addition des Terms ( b 2a )2 auf beiden Seiten der Gleichung und Erweiterung des Terms b b x zu 2 x: a 2a x b b x + ( 2a 2a )2 = ( b 2a )2 c a 3. Schritt: Anwendung der 1. binomischen Formel und Auflösen der Klammer und Erweiterung des Terms c a zu 4ac 4a 2: (x + ( b 2 )) = b2 4ac = b2 4ac 2a 4a 2 4a 2 4a 2 Zur Untersuchung der Lösbarkeit sind drei Fälle zu unterscheiden: 1. Fall: b 2 4ac < 0: Da die linke Seite der Gleichung nichtnegativ ist, existiert keine Lösung. 2. Fall: b 2 4ac = 0: In dieser Situation ist x = b die eindeutige Lösung. 2a 3. Fall: b 2 4ac > 0: Nach den vorangehenden Ausführungen zur Lösung der Gleichung x n = a (mit a > 0), also dem Ziehen einer Wurzel, gibt es genau zwei Lösungen: x + b = 4ac 2a b2 x + b = 4ac 4a 2 2a b2 4a 2 Lösen mithilfe der p-q-formel: Eine allgemeine Lösungsformel kann mittels der quadratischen Ergänzung bestimmt werden. Ausgangspunkt ist dabei die folgende quadratische Gleichung, wobei zu beachten ist, dass vor dem x 2 nur eine 1 steht: x 2 + px + q = 0. Löst man diese Gleichung nun mittels quadratischer Ergänzung, ergibt sich folgender Zusammenhang: (x + p 2 )2 ( p 2 )2 + q = 0 (x + p 2 )2 = ( p 2 )2 q Als Lösung für x ergibt sich die bekannte p-q-formel: x = ( p 2 ) ± ( p 2 )2 q

19 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 18 Aufgabe 1.6 a) Fassen Sie die Terme mit binomischen Formeln zusammen. i) 49x xy + y 2 ii) (2a + b)(2a b) b) Ergänzen Sie die fehlenden Summanden gemäß den binomischen Formeln. i) (2x + ) 2 = + 12xy + 9y 2 ii) ( + 5b 2 ) 2 = 49a c) Lösen Sie folgende Gleichung mithilfe der p-q-formel. 3x 2 6x = 9

20 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 19 Block 2: Summen und Produkte; Finanzmathematik 2.1 Summen und Produkte Summen Einführungsbeispiel: Ein Unternehmen führt in seinen n Filialen eine Umsatzerhebung durch. Die Filiale i meldet ihren Umsatz x i, so dass n Werte x 1,, x n in der Zentrale vorliegen. Der mittlere Umsatz aller Filialen wird dann berechnet als arithmetisches Mittel dieser Werte: x = 1 (x n x n ) Je mehr Filialen allerdings an der Erhebung teilnehmen, desto unübersichtlicher und möglicherweise missverständlicher wird diese Rechnung. Daher gibt es eine Kurzschreibweise für solche langen Summen, das Summenzeichen: Seien a 1, a 2,, a n reelle Zahlen. Für k, n N, k < n, wird das Summenzeichen definiert durch n a k + + a n = a j (auch: n j=k a j ) j=k Dieser Ausdruck wird gelesen als Summe der a j von j gleich k bis n. Die einzelnen Bestandteile werden wie folgt bezeichnet: a j j k n allgemeines Glied der Summe Summationsindex (Laufindex) untere Summationsgrenze obere Summationsgrenze Beispiele: = i i= = (2i + 1) = (2i 1) i=2 8 i= = = 2 i (1 2 ) + ( ) + ( ) + = ( 1 i 2 ) i=1 5 i=1

21 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 20 Rechenregeln Seien k, n N, c R und a i, b i R, i {1,, n}. Dann gilt: n n c = (n k + 1) c, speziell für k = 1 gilt: c = n c i=k i=1 n n (c a i ) = c a i i=k i=k n n n (a i + b i ) = a i + b i i=k i=k i=k n m n Sei k m n. Dann gilt: a i = a i + a i i=k i=k i=m+1 Aufgabe A Stellen Sie die folgenden Summen mit Hilfe des Summenzeichens dar: a) b) c) d) e) f) g) h) c + 15c c 3 + 5c 4, c R i) a + 4a 2 + 2a 3 + a 4, a R Aufgabe B Berechnen Sie für die Zahlen x 1,, x 6 und y 1,, y 6 der Tabelle i x i y i die Ausdrücke a) x i b) (x i + y i ) c) x i y i d) ( x i ) ( y i ) e) x i (y i 1) i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

22 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Produkte Analog zum Summenzeichen wird für ein Produkt von reellen Zahlen eine abkürzende Schreibweise verwendet, das Produktzeichen. Seien a 1, a 2,, a n reelle Zahlen. Für k, n N, k < n wird das Produktzeichen definiert durch n a k a n = a j (auch: j=k n j=k a j ) Dieser Ausdruck wird gelesen als Produkt der a j von j gleich k bis n. Beispiele: = (2i + 1) 4 i=0 Folgendes spezielle Produkt wird auch als Fakultät von n oder kurz n Fakultät bezeichnet und mit dem Ausrufezeichen abkürzend geschrieben: n n = i = n! mit n N i=1 0 Da das Produkt i=1 a i als 1 definiert wird, wird für die Fakultät von 0 vereinbart: 0! = 1. Aufgabe A Schreiben Sie die folgenden Produkte unter Verwendung des Produktzeichens! a) b) c) d) e) Aufgabe B Berechnen Sie: 5 a) (i + 3) i=1 5 b) (i 3) i= c) ( i) ( j) d) (i 2 9) i=1 j=1 i=1

23 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Finanzmathematik Zinsrechnung Zinsen stellen ein Entgelt für die leihweise und zeitweilige Überlassung von Kapital bzw. eine Prämie für einen zeitlich begrenzten Liquiditätsverzicht dar. Gegenüber einer sofortigen Verfügbarkeit des Kapitals wird ein um Zinsen vermehrtes Kapital in der Zukunft akzeptiert. Für die Ermittlung von Zinsen ist die Festlegung einer Zinsberechnungsmethode erforderlich: Einfache Verzinsung: Bei der einfachen Verzinsung von Kapital der Höhe K 0 mit dem (jährlichen) Zinssatz i fallen nach einem Zeitraum von n Jahren Zinsen in der Höhe von n i K 0 an. Das Anfangskapital wächst auf K n. Es gilt: K n = K 0 + n i K 0 = (1 + i n)k 0. Gleichungsumformungen liefern: K 0 = K n 1 + i n, i = 1 n (K n K 0 1), n = 1 i (K n K 0 1) Exponentielle Verzinsung: Bei einer exponentiellen Verzinsung werden dem Kapital jährlich Zinsen zugeschlagen und von diesem Zeitpunkt an mitverzinst. (Zinseszinseffekt) K 1 = (1 + i)k 0 K 2 = (1 + i)k 1 = (1 + i) 2 K 0 K n = (1 + i) n K 0 Bezeichnungen: K 0 Anfangskapital p Zinsfuß (0 p 100) i = p 100 = p% Zinssatz q = 1 + i Zinsfaktor Z k > 0 Einzahlung zu Beginn oder zum Ende Z k < 0 Auszahlung der Periode k, k {1,, n} K n n Kapital nach Ablauf von n Perioden Anzahl der betrachteten Perioden Es wird angenommen, dass die Ein- bzw. Auszahlungen jeweils nur am Anfang oder am Ende einer Periode möglich sind. Werden die Zahlungen immer am Ende einer Periode vorgenommen, so spricht man von nachschüssigen Zahlungen, bei Zahlungen zu Beginn eines Zeitintervalls spricht man von vorschüssigen Zahlungen.

24 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 23 Im Folgenden wollen wir die nachschüssige Verzinsung betrachten. Das bedeutet, dass die auf das jeweilige Grundkapital anfallenden Zinsen dem Konto zum Ende eines Zeitintervalls gutgeschrieben werden. Wenn während der n Zeitintervalle weder Einzahlungen noch Auszahlungen getätigt werden (Z k = 0), so erhält man nach Ablauf von n Zeitintervallen das Kapital K n = K 0 q n. Wenn das Anfangskapital (K 0 ), die Laufzeit (n) und das erwünschte Kapital am Ende der Laufzeit (K n ) vorgegeben sind, so lässt sich der Zinssatz, mit dem dies erreicht werden kann, folgendermaßen berechnen (durch Umformung der obigen Formel mit q = 1 + i): n i = K n 1 K 0 (vgl. die Ausführungen im Kapitel 1.4 zu Wurzeln.) Sind hingegen das zu erreichende Kapital (K n ), die Laufzeit (n) und der Zinssatz (i) vorgegeben, so kann man das Anfangskapital berechnen, das hierfür benötigt wird: K 0 = K n q n = K n (1 + i) n Schließlich kann man sich fragen, wie viele Perioden Laufzeit man benötigt, um bei einem gegebenen Anfangskapital und einen gegebenen Zinssatz ein bestimmtes Endvermögen zu erreichen, d. h. K 0, K n, und i sind vorgegeben: n = log K n log K 0 log(1 + i) Dabei ergibt sich die Anzahl der nötigen Perioden n als die kleinste natürliche Zahl, die größer oder gleich dem Wert ist, der sich aus der o. g. Rechnung ergibt. Beispiel: Sie haben zur Verfügung, die sie über mehrere Jahre erübrigen können. Sie möchten sich gerne ein Auto kaufen, das kostet (zur Vereinfachung wollen wir davon ausgehen, dass der Preis ihres Traumautos konstant bleibt, egal wie lange sie darauf warten müssen). Der jährliche Zinssatz beträgt 4 %. Sie möchten nun wissen, wie lange sie ihr Geld anlegen müssen, damit sie sich ihr Traumauto leisten können. Nach obiger Formel ergibt sich also für die Laufzeit: n = log K n log K 0 log(1 + i) = log log log(1 + 0,04) = 4,6486 Sie müssten ihre Anfangskapital also für 5 Jahre anlegen, um sich ihr neues Auto kaufen zu können. Sie hätten dann sogar noch 333,06 übrig. Probe/Umkehrung: K n = K 0 q n K 5 = ,04 5 = , = ,06.

25 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 24 Wenn nun während der Zeitintervalle Zahlungen vorgenommen werden können (Z k 0, Z k < 0 für Aus- und Z k > 0 für Einzahlungen), dann ergibt sich das Kapital am Ende der Periode zu K 1 = K 0 q + Z 1 2. Periode zu K 2 = K 1 q + Z 2 = K 0 q 2 + Z 1 q + Z 2 3. Periode zu K 3 = K 2 q + Z 3 = K 0 q 3 + Z 1 q 2 + Z 2 q + Z 3 usw. Allgemein errechnet sich das Kapital nach Ablauf von n Zeitintervallen bei nachschüssigen Zahlungen und nachschüssiger Verzinsung durch n 1 K n = K 0 q n + Z n k q k k=0 Insbesondere ergibt sich mit Hilfe der geometrischen Reihe für konstante Zahlungen Z k = Z in jeder Periode (z. B. könnten in jeder Periode eines Sparplans 50 eingezahlt oder auch entnommen werden.) K n = K 0 q n + Z 1 qn 1 q = K 0q n + Z qn 1 q 1 Beispiel: Ihre Erbtante hat ihnen hinterlassen. Dieses Geld können sie zu einem jährlichen Zinssatz von 6,3 % anlegen. Sie möchten gerne 12 Jahre lang von dem Erbe zehren und in jedem Jahr einen konstanten Betrag abheben, so dass nach Ablauf der 12 Jahre (also mit der 12. Auszahlung) das gesamte Erbe verbraucht ist. Nun möchten sie wissen, welchen Betrag sie sich jährlich gönnen können, damit dies realisierbar ist. Der Betrag berechnet sich durch Umformung der obigen Formel. Für das Endvermögen nach Ablauf von 12 Perioden gilt bei konstanten Zahlungen: K 12 = K 0 q 12 + Z q12 1 q 1 Nun wollen sie aber nach Ablauf der 12 Jahre kein Geld übrig behalten, also gilt K 12 = 0. Durch Auflösen nach Z ergibt sich: q 1 12 Z = K 0 q q 12 1 Mit den gegebenen Werten für K 0 = , q = 1 + i = 1 + 0,063 = 1,063 und n = 12 erhält man also für die jährlich mögliche Auszahlung: 1, Z = ,063 1, = ,64 Das negative Vorzeichen deutet hierbei an, dass es sich um eine Auszahlung handelt. Sie können also jedes Jahr ,64 von ihrem Erbe ausgeben (die Rechnung können sie auch analog mithilfe des Rentenbarwertfaktors aus Kapitel durchführen).

26 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 25 Aufgabe A Sie legen ein Kapital von zu einem Zinssatz von 8 % pro Jahr an. a) Sie lassen sich die Zinsen jährlich auszahlen. Wie viele Zinsen erhalten Sie innerhalb von 4 Jahren? b) Die Zinsen werden vom Zeitpunkt der Fälligkeit an mit verzinst. Wie viel Geld können Sie nach Ablauf von 4 Jahren abheben? c) Auf welche Höhe ist Ihr Kapital bei einem monatlichen Zinssatz von 8 % bei Mitverzinsung der monatlich anfallenden Zinsen nach vier Jahren angewachsen? 12 d) Ihr Kapital wird zum Zinssatz 2 % pro Vierteljahr angelegt. Wie lautet der Jahreszinssatz, der diesem vierteljährlichen Zinssatz entspricht? Aufgabe B a) Sie legen ein Kapital zu einem Zinssatz von 7,8 % pro Jahr an. Berechnen Sie den i. vierteljährlichen ii. monatlichen iii. täglichen Zinssatz, der dem obigen jährlichen entspricht. b) Ihr Kapital wird zu einem monatlichen Zinssatz von 0,5 % angelegt. Welcher jährliche Zinssatz entspricht dieser Verzinsung? Aufgabe C a) Bei welchem Zinssatz pro Jahr verdreifacht sich das Startkapital K 0 (> 0) nach 11 Jahren bei einer jährlichen Verzinsung? b) Wie viele volle Jahre muss man mindestens warten, bis bei einer monatlichen Verzinsung von 9 % das Startkapital von auf mindestens angewachsen ist? 12 c) Ein Kapital wurde zu einem monatlichen Zinssatz von 9 % angelegt; wie lautet der Jahreszinssatz, der dieser monatlichen Verzinsung entspricht? 12

27 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Barwert, Endwert und Annuität Barwert Unter dem Barwert B eines Finanzinstrumentes (z. B. einer Geldanlage) versteht man die Summe aller auf den Bewertungstag mit den Diskontfaktoren D i diskontierten (abgezinsten) zukünftigen Zahlungen Z. B z z z... z z n-1 n Beispiel: Aus einem Rentensparplan ergeben sich in den kommenden fünf Jahren jeweils Zahlungen in Höhe von Euro. Die erste Zahlung erfolgt genau heute in einem Jahr. Für eine fünfjährige Geldanlage am Kapitalmarkt erhalten Sie heute eine 5-%-ige Verzinsung. (Diesen Zinssatz verwenden wir aus Gründen der Vereinfachung als konstanten Diskontierungszins.) Der Barwert dieser Zahlungsreihe lautet dann: B = , , , , ,05 5 = ( 1 i 1,05 ) i= ,3295 = Exkurs zum Rentenbarwertfaktor: 5 ( 1 1 i 1,05 ) 1,05 ( 1 1,05 = 5 1) 1 (1,05) 5 = = 1, i=1 1, ,05 0,05 1,05 5 = (1 + i)n 1 i (1 + i) n Der Rentenbarwertfaktor dient der einfachen Abzinsung konstanter Zahlungsreihen bei einheitlichem Zinssatz über die gesamte Laufzeit. Seine Werte für gegebene Laufzeiten und Zinssätze können entsprechenden Tabellen entnommen werden, so dass auf eine stufenweise Abzinsung einzelner Zahlungen einer Reihe zur Berechnung des Barwertes eines gesamten Zahlungsstromes verzichtet werden kann.

28 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Endwert Der Endwert E eines Finanzinstrumentes (z. B. einer Rentenzahlung) ergibt sich durch das Aufzinsen des Barwertes B auf das Ende der letzten Periode. Alternativ können (analog zur Barwertermittlung) alle zukünftigen Zahlungen bis zum Ende der Laufzeit aufgezinst werden. E z z z... z z n-1 n Beispiel: Ein Sparer zahlt über einen Zeitraum von 12 Jahren jährlich einen festen Betrag in Höhe von Euro in eine (nachschüssig verzinsende) Lebensversicherung ein. Nach der letzten Zahlung wird das Kapital ohne weitere Zuflüsse für ein weiteres Jahr verzinst und anschließend an den Sparer ausgezahlt. Es wird bei exponentieller Verzinsung ein konstanter Zinssatz von 6 % p.a. während der gesamten Laufzeit unterstellt. Der Endwert lautet dann: E = , , ,06 12 = 12 = ,06 n = ,87 = n=1 Endwertfaktoren kann man in Abhängigkeit von Zinssatz und Laufzeit (analog den Rentenbarwertfaktoren) entsprechenden Tabellen entnehmen.

29 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Annuität Als Annuität bezeichnet man eine regelmäßig (z. B. jährlich) wiederkehrende Zahlung in gleicher Höhe. Besonders geläufig ist in diesem Zusammenhang das Annuitätendarlehen, das in Deutschland im Rahmen des privaten Immobilienerwerbs eine dominierende Stellung einnimmt. Die gesamte Zahlung bleibt über die Laufzeit hinweg konstant, während Zins- und Tilgungsanteil sinken bzw. steigen. B z z z... z z n-1 n Die Annuität z lässt sich mit Hilfe des Kapitalwiedergewinnungsfaktors aus dem Bar- bzw. Kapitalwert berechnen: z = B i(1+i)n (1+i) n 1 Auch Kapitalwiedergewinnungsfaktoren kann man in Abhängigkeit von Zinssatz und Laufzeit entsprechenden Tabellen entnehmen. Aufgabe A a) Ein Kapital K 0 wird am Beginn eines Jahres zum Zinssatz i angelegt, wobei die Zinsen am Ende eines jeden Jahres gutgeschrieben werden. Geben Sie eine Formel für das nach dem Ende des n-ten Jahres vorhandene Kapital K n an. b) Die Bestimmung von K 0 bei gegebenen K n, i und n bezeichnet man auch als Bestimmung des Barwerts einer zukünftigen Zahlung. i. Geben Sie die Formel für den Barwert an. ii. Eine in zwei Jahren fällige Schuld von soll bereits heute zurückgezahlt werden. Welche Summe ist unter Berücksichtigung von 4 % Zinsen zu zahlen? iii. Herr Müller will sich in drei Jahren ein Auto für kaufen. Wie viel Geld muss er heute zur Bank bringen, um nach Ablauf von drei Jahren das Auto bezahlen zu können, wenn die Bank das Kapital jährlich mit 5 % verzinst?

30 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 29 Aufgabe B a) Sie zahlen auf ein für die Dauer von 5 Jahren gesperrtes Konto ein. Der Zinssatz pro Jahr beträgt 8 % in den ersten beiden Jahren und 8,7 % in den restlichen Jahren. Wie lautet Ihr Kontostand nach Ablauf der Sperrfrist? b) Welchem Zinssatz (pro Jahr) entspricht die Verzinsung unter a), wenn in jedem der fünf Jahre mit demselben Zinssatz verzinst wird? c) Wie viel Geld müssen Sie mindestens anlegen, um nach fünf Jahren bei einem Zinssatz von 8,35 % einen Betrag von zu erzielen? d) Welchen Betrag müssen Sie mindestens anlegen, um bei jährlicher Auszahlung der Zinsen (d. h. die Zinsen werden nicht mitverzinst) und den Zinssätzen aus a) nach fünf Jahren über mindestens dasselbe Endkapital wie in a) zu verfügen? Aufgabe C Frau Müller möchte möglichst gewinnbringend anlegen. Hierzu prüft sie verschiedene Angebote Ihrer Bank. a) Die Bank rät ihr, ihre auf ein Sperrkonto einzuzahlen, das für die Dauer von 5 Jahren gesperrt ist. Die jährliche Verzinsung beträgt in den ersten beiden Jahren jeweils 6 %, in den drei darauf folgenden Jahren jeweils 8,5 %. Wie würde der Kontostand nach Ablauf der Sperrfrist lauten? b) Ein alternatives Angebot der Bank ist eine konstante jährliche Verzinsung von 7 %. Wie viele volle Jahre müsste Frau Müller bei dieser Verzinsung warten, bis ein Kapital von auf mindestens angewachsen ist? c) Wie viel Geld müsste Frau Müller anlegen, um bei einer konstanten jährlichen Verzinsung von 6,5 % nach 5 Jahren abheben zu können?

31 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Tilgungsrechnung Bezeichnungen: S 0 Z 1,, Z n S k T k Schuld (entspricht einem negativen Anfangskapital) nachschüssige Zahlungen in n Perioden (Jahren) Restschuld nach Ablauf von k Zeitintervallen Tilgungsbetrag, der in einer Periode zurückgezahlt wird Bei der Rückzahlung einer Schuld, etwa eines Kredites, werden die regelmäßigen Zahlungen Annuitäten genannt. Eine Annuität setzt sich aus dem zu zahlenden Zinsbetrag auf die Restschuld und dem Tilgungsbetrag zusammen: Z k = i S k 1 + T k Die Restschuld nach n Jahren kann man genauso berechnen, wie bereits oben der Kapitalbestand nach n Jahren berechnet worden ist. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Schuld nach n Jahren komplett zurückgezahlt sein soll, es gilt also S n = 0. Damit ergibt sich n 1 S n = S 0 q n + Z n k q k k=0 Soll jedes Jahr der gleiche Betrag vom Kredit getilgt werden, der Tilgungsbetrag T k = T ist also konstant, so beträgt der Schuldenstand nach k Perioden: S k = S 0 k T = S 0 k S 0 n = (1 k n ) S 0 Dabei wird der Betrag, den man der Bank, bzw. dem Gläubiger zahlen muss, aber insgesamt geringer, denn die Restschuld nimmt mehr und mehr ab und daher vermindern sich die Zinszahlungen, mit denen man in jeder Periode belastet wird. Soll dahingegen der Betrag, den man der Bank zahlen muss, also die Annuität z konstant bleiben, so verschiebt sich im Laufe der Zeit das Verhältnis von Tilgung und Zinszahlung innerhalb der Annuität. Zu Beginn ist die Schuld noch sehr hoch und man muss viel Zinsen zahlen. Im Laufe der Zeit vermindert sich die Schuld und die Zinsbelastung wird geringer. Da man aber nach wie vor den gleichen Betrag zurückzahlt erhöht sich der Anteil, der in die Tilgung des Kredits fließt und die eigentliche Rückzahlung des Kredits beschleunigt sich von Periode zu Periode.

32 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 31 Aufgabe D Herr Schmitz zahlt zu Beginn eines Rentenplans den Betrag K = auf ein Sparkonto ein. Jeweils am 1.1. der folgenden Jahre hebt er einen konstanten Betrag c ab. Die Bank verzinst das Guthaben am Ende eines jeden Jahres mit 5%. Am 1.1. des achten Jahres kann er dann zum siebten und letzten Mal den Betrag c abheben; danach ist das Guthaben verbraucht. Welchen Wert und welche inhaltliche Bedeutung hat c? Erläutern Sie die von Ihnen benutzte Formel.

33 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Grundlagen der linearen Optimierung Bei der Herstellung von Produkten existieren häufig betriebliche Engpässe. So gibt es z. B. bei der Produktion von Schuhen und Hosen nur eine begrenzte Maschinen- und Facharbeiterkapazität. Die beiden Produktionsmengen sind also aufgrund der gegebenen Restriktionen nicht in beliebiger Menge herstellbar. Die Aufgabe im Rahmen der linearen Optimierung (hier zweidimensionaler Fall) besteht nun darin, den betrieblichen Gewinn in Abhängigkeit der beiden Produktionsmengen (Schuhe und Hosen) zu maximieren. Nachfolgend beschränken wir uns auf die grafische Optimierung in einem x/y-diagramm anhand eines einfachen Beispiels. In diesem Diagramm werden sowohl die Zielfunktion (hier Gewinnfunktion) als auch die resultierende Menge zulässiger Lösungen erfasst. Folgende Ungleichungen sind gegeben: i) x 500 (Menge der produzierbaren Hosen ist begrenzt) ii) y 500 (Menge der produzierbaren Schuhe ist begrenzt) iii) x 0 und y 0 (Es existieren natürlich keine negativen Produktionsmengen) iv) x + 3y (Maschinenstunden für die Produktion begrenzt auf 1200 Stunden) v) 2x + y 800 (Kapazität an Facharbeiterstunden begrenzt auf 800 Stunden) Ziel in dieser Aufgabe ist die Gewinnmaximierung. Der Gewinn in Abhängigkeit von x und y ist durch folgende Gleichung gegeben: G(x, y) = 240x + 150y Nachfolgend sind die Restriktionen i) iii) in einem x/y-diagramm dargestellt: y Absatzmaximum für x Absatzmaximum für y x

34 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 33 Die grau unterlegte Fläche gibt hier den zulässigen Bereich an. Die möglichen Produktionsmengen für Schuhe und Hosen sind jeweils auf 500 Einheiten begrenzt. Zudem gilt die Nichtnegativitätsbedingung. Einzuzeichnen sind nun noch die beiden restlichen Ungleichungen, die die Maschinen- und Facharbeiterkapazitäten angeben: y Absatzmaximum für x Facharbeiterkapazität 600 Absatzmaximum für y Maschinenkapazität x Nun sind alle Restriktionen eingezeichnet. Der zulässige Bereich wird wiederum durch die grau unterlegte Fläche dargestellt. Zur einfachen Illustration, um den gewinnoptimalen Punkt zu finden, werden zusätzlich mithilfe der Gewinnfunktion Isogewinngeraden (Geraden gleichen Gewinns) eingezeichnet. Dafür wird für den Gewinn von unterschiedlichen, gewählten Werten (z. B und ) ausgegangen: 1) 240x + 150y = (Beispielwert) 2) 240x + 150y = (Beispielwert) y Absatzmaximum für x Facharbeiterkapazität Verschobene Isogewinngerade Absatzmaximum für y Maschinenkapazität Isogewinngerade x Optimaler Punkt

35 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 34 Man sieht leicht, dass der Gewinn nach rechts oben hin zunimmt. Die Isogewinngerade wird solange verschoben, bis der obere Eckpunkt des sogenannten Polyeders gerade berührt wird. Der Lösungspunkt ist hier also der Schnittpunkt der beiden Geraden Facharbeiterkapazität und Maschinenkapazität. Es muss demnach gelten: x + 3y = und 2x + y = 800. Dieses Gleichungssystem gilt es nun zu lösen (durch Gleichsetzen): y = 400 0,5y y = 320 Dieser Wert wird nun in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt: x = x = = 240 Die optimale Lösung liegt also bei x = 240 und y = 320. Der maximale Gewinn beträgt also: G max = = Die grafisch dargestellte Lösung funktioniert natürlich nur im zweidimensionalen Fall mit zwei Variablen. Der optimale Punkt ist dabei immer ein Eckpunkt des Lösungsraums. Die Isogewinngerade wird solange nach oben rechts verschoben, bis der Eckpunkt erreicht ist. Aufgabe 2.3 Lösen Sie folgendes Optimierungsproblem: Zielfunktion: G(x, y) = 10x + 20y MAX Restriktionen: I) 6x + 2y 480 II) 10x + 10y III) x + 4y 280 iv) x 0 und y 0

36 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 35 Block 3: Funktionen und Ableitungen 3.1 Wichtige Funktionen Eine Funktion bildet die Abhängigkeit einer ökonomischen Größe von einer anderen oder von sonstigen Einflussgrößen ab. Beispiele: Die Höhe der Produktionskosten hängt von der Anzahl der zu produzierenden Erzeugnisse ab, die Höhe des Umsatzes von der Anzahl der verkauften Erzeugnisse. Im Rahmen dieser grundlegenden Veranstaltung werden im Folgenden nur Funktionen mit einer Variablen betrachtet (mehrere Variablen -> weiterführende VWL-Veranstaltungen). Bezeichnung: D und W seien nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f, die jedem Element d D genau ein Element w W zuordnet, heißt Funktion von der Menge D in die Menge W. Das einem Element d ( D) zugeordnete Element w( W) wird geschrieben als w = f(d). D ist der Definitionsbereich (von f), W der Wertebereich (von f). f(d) ist der Funktionswert (an der Stelle d). Die Menge {(x, f(x)) x D} heißt Graph von f. Beispiel: Die Kostenfunktion K mit K(x) = x gibt für x [0; 50] die Höhe der Kosten in Abhängigkeit von der Anzahl x produzierter Erzeugnisse an. Den Graphen von K beschreibt eine Gerade: K(x) x x [0, 50] N Anstatt der Gesamtkostenfunktion können auch die Stückkosten betrachtet werden, sie sind durch die Funktion k gegeben: k(x) = 50 x + 3 Den Graphen dieser Funktion beschreibt eine Hyperbel: k(x) x k(x) x Stückkostenfunktion k

37 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 36 (Ausgewählte) Eigenschaften von Funktionen: i) Beschränktheit f heißt nach oben (unten) beschränkt, falls gilt: f(x) M (f(x) M) (für alle M R, x D) ii) iii) Konvexität und Konkavität f heißt (streng) konvex bzw. konkav, wenn: f (x) (>) 0 (konvex) bzw. f (x) (<) 0 (konkav) (strenge) Monotonie f heißt (streng) monoton wachsend bzw. fallend, falls für x < y gilt: f(x) (<) f(y) bzw. f(x) (>) f(y) iv) Achsen- oder Punktsymmetrie f heißt gerade, falls f(x) = f( x) (Der Graph ist achsensymmetrisch zur f(x)-achse.) f heißt ungerade, falls f(x) = f( x) (Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt (0,0).) v) Nullstelle x D heißt Nullstelle von f, falls f(x) = 0 gilt. vi) Extrem-/Optimalstellen und Extrem-/Optimalwerte x heißt Maximalstelle (Minimalstelle) von f, falls f(x ) ( ) f(x) gilt (für alle x D). f(x ) heißt dann Maximum (Minimum) der Funktion f. vii) Umkehrfunktion f und g seien reelle Funktionen. Sie heißen Umkehrfunktionen zueinander, falls gilt: g(f(x)) = x und f(g(y)) = y Bsp.: x = y x 4 = y 3 3 y = x 4 viii) Stetigkeit f ist stetig, falls keine Sprungstellen / Unstetigkeitsstellen existieren.