Kapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38. a : N R, n a n

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1 Kapitel 4 Folge ud Reihe Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 1 / 38 Folge Eie Folge ist eie Aordug vo reelle Zahle. Die eizele Zahle heiße Glieder der Folge. Formal: Eie Folge ist eie Abbildug a : N R, a Folge werde mit a i i=1 oder kurz a i bezeichet. Auch: a i ) i=1 bzw. a i). Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 2 / 38 Folge Folge köe defiiert werde durch Aufzähle der Glieder, durch Agabe eies Bildugsgesetzes oder durch Rekursio. Jedes Folgeglied wird durch seie) Vorgäger bestimmt. Aufzählug: Bildugsgesetz: Rekursio: ai = 1, 3, 5, 7, 9,... ai = 2 i 1 ai, a1 = 1, a i+1 = a i + 2 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 3 / 38

2 Graphische Darstellug Eie Folge a i ka graphisch dargestellt werde, idem ma 1) die eizele Folgeglieder i der Zahlegerade aufträgt, oder 1 a ) die Zahlepaare, a ) i der Zahleebee eizeichet. 0 1 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 4 / 38 Eigeschafte Charakteristische Eigeschafte vo Folge a i : Bezeichug Defiitio mooto steiged a i+1 a i für alle i N mooto falled a i+1 a i alteriered a i+1 a i < 0, d.h. das Vorzeiche wechselt. beschräkt a i M, für ei M R. Die Folge 1 ist mooto falled, ud beschräkt, da für alle N gilt, dass a = 1/ 1 gilt. Wir hätte auch M = 1000 wähle köe.) Sie ist aber icht alteriered. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 5 / 38 Reihe Die Summe der erste k Elemete der a i s k = k a i i=1 heißt die k-te Teilsumme oder Partialsumme) der Folge Die Folge s k aller Teilsumme eier Folge ai heißt die Reihe der Folge a i. Die Reihe der Folge a i = 2 i 1 lautet k sk = 2 i 1) = 1, 4, 9, 16, 25,... = k 2. i=1 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 6 / 38

3 Aufgabe 4.1 Bereche die erste füf Partialsumme der Folge ud stelle Sie diese graphisch dar: a) 2 b) 1 2+ c) 2 /10 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 7 / 38 Lösug 4.1 a) 2, 6, 12, 20, 30; b) 0,333; 0,583; 0,783; 0,95; 1,093; c) 1,072; 2,220; 3,452; 4,771; 6,185. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 8 / 38 Grezwert eier Folge Betrachte wir die Folge vo Zahle a ) =1 = 1) 1 ) =1 = 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6,...) a 1 a 3 a 5 0 a 4 a 2 Die Folgeglieder strebe mit wachsedem gege 0. Wir sage, die Folge a ) kovergiert gege 0. Wir schreibe dafür a ) 0 oder a = 0 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 9 / 38

4 Grezwert eier Folge / Defiitio Defiitio: Eie Zahl a R heißt Grezwert Limes) eier Folge a ), we es für jedes och so kleie Itervall a ε, a + ε) ei N gibt, sodass a a ε, a + ε) für alle N. M.a.W.: alle Folgeglieder ab a N liege im Itervall. Äquivalete Formulierug: Eie Folge a ) kovergiert gege de Grezwert a R, we für jedes ε > 0 ei N existiert, sodass a a < ε für alle N. [Mathematiker verwede gere ε für eie gaz kleie positive Zahl.] Eie Folge, die eie Grezwert besitzt, heißt koverget. Sie kovergiert gege ihre Grezwert. Nicht jede Folge besitzt eie Grezwert. So eie Folge heißt diverget. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 10 / 38 Grezwert / Beispiel Im Beispiel ist a = 0. a ) =1 = 1) 1 ) =1 = 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6,...) Falls ε = 0,3 da liege alle Folgeglieder ab a 4 im Itervall a ε, a + ε). Falls ε = da liege alle Folgeglieder ab dem te Glied i diesem Itervall. Daher 1) = 0. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 11 / 38 Grezwert / Beispiele Die Folge a ) =1 = 1 2 ) =1 = 1 2, 1 4, 1 8, 1 16,...) kovergiert gege 0: a = 0 Die Folge b ) =1 = 1 +1 ) =1 = 0, 1 3, 2 4, 3 5, 4 6, 5 7,...) ist koverget: b = 1 Die Folge c ) =1 = 1) ) =1 = 1, 1, 1, 1, 1, 1,...) ist diverget. Die Folge d ) =1 = 2 ) =1 = 2, 4, 8, 16, 32,...) ist diverget, strebt aber gege. Ma schreibt daher icht gaz korrekt): d = Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 12 / 38

5 Grezwerte wichtiger Folge a = q = 0 für a < 0 1 für a = 0 für a > 0 0 für q < 1 1 für q = 1 für q > 1 für q 1 a q = 0 für q > 1 für 0 < q < 1 für 1 < q < 0 q {0, 1}) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 13 / 38 Recheregel Seie a ) =1 ud b ) =1 kovergete Folge mit a = a ud b = b; ud c ) =1 eie beschräkte Folge. 1) k a + d) = k a + d 2) a + b ) = a + b 3) a b ) = a b 4) a = a b b für b = 0 5) a c ) = 0 falls a = 0 6) a k = a k Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 14 / 38 Recheregel / Beispiele ) 2 = = = 2 }{{} =0 2 1 ) = 1 2 = = ) ) = 1 2 si) }{{} beschräkt 1 }{{} 2 0 = 0 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 15 / 38

6 Recheregel Achtug Wir müsse beim Awede dieser Recheregel darauf achte, dass wir keie Ausdrücke der Form 0 0, oder 0 erhalte. Diese Ausdrücke sid icht defiiert! = 2 1 = icht defiiert) Trick: Kürze durch die höchste vorkommede Potez im Neer = = 1 = = 1 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 16 / 38 Die Eulersche Zahl ) = e = 2, Dieser Grezwert ist i der Fiazmathematik wichtig stetige Verzisug). 1 + x ) = = = m m m ) /x ) mx m = ) x ) m ) x = e x m Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 17 / 38 Aufgabe 4.2 Bereche die folgede Grezwerte: ) 1 ) a) 7 + = ) b) c) 2 1) 3) = d) 2 ) + 1 = + 1 e) ) mod 10 2) = = Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 18 / 38

7 Lösug 4.2 a) 7; b) 2 7 ; c) ubestimmt diverget; d) bestimmt diverget gege ; e) 0. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 19 / 38 Aufgabe 4.3 Bestimme die folgede Grezwerte: a) ) x = b) c) 1 + x ) = ) = x Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 20 / 38 Lösug 4.3 a) e x ; b) e x ; c) e 1/x. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 21 / 38

8 Arithmetische Folge Bildugsgesetz: a = a 1 + 1) d Differez aufeiader folgeder Glieder ist kostat: a +1 a = d Jedes Glied ist das arithmetische Mittel seier Nachbarglieder: a = 1 2 a +1 + a 1 ) Arithmetische Reihe: s = 2 a 1 + a ) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 22 / 38 Geometrische Folge Bildugsgesetz: a = a 1 q 1 Quotiet aufeiader folgeder Glieder ist kostat: a +1 a = q Jedes Glied ist das geometrische Mittel seier Nachbarglieder: Geometrische Reihe: a = a +1 a 1 s = a 1 q 1 q 1 für q = 1 Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 23 / 38 Fehlerquelle Es ist machmal üblich, bei Folge ud Reihe bei 0 astatt bei 1 zu zähle zu begie. Bildugsgesetze ud Summeformel für die arithmetische Folge laute da a = a 0 + d bzw. s = +1 2 a 0 + a ) ud für die geometrische Folge a = a 0 q bzw. s = a 0 q+1 1 q 1 für q = 1) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 24 / 38

9 Aufgabe 4.4 a sei eie geometrische Folge mit a 1 = 2 ud relativer Zuwachsrate 0,1. Wie lautet das Bildugsgesetz vo a ud wie lautet a 7? Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 25 / 38 Lösug 4.4 a = 2 1,1 1 ; a 7 = 3,543. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 26 / 38 Aufgabe 4.5 Bereche Sie die erste 10 Partialsumme der arithmetische Reihe für a) a 1 = 0 ud d = 1, b) a 1 = 1 ud d = 2. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 27 / 38

10 Lösug 4.5 a) s = 1) 2 = 0, 1, 3,..., 45; b) s = 2 = 1, 4, 9,..., 100. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 28 / 38 Aufgabe 4.6 Bereche N =1 a für a) N = 7 ud a = 3 2 b) N = 7 ud a = 2 1/4) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 29 / 38 Lösug 4.6 a) s 7 = = 364,33; b) s 7 = 1 2 1/4)7 1 1/4 1 = 0,400. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 30 / 38

11 Edwert achschüssig) Eie Zahlug, die i gleicher Höhe i regelmäßige Abstäde erfolgt, heißt eie Rete. Wird die Rete jeweils zum Ede eier Periode bezahlt, so heißt sie achschüssig Der Edwert ist die Summe aller Zahluge auf de Edzeitpukt der Rete aufgezist: E = R q 1 }{{} + R q 2 }{{} + + R q 0 }{{} erste Zahlug zweite Zahlug letzte Zahlug = Rq k 1 = R q 1 q 1 k=1 wobei R die Rete, q der Aufzisugsfaktor ud die Azahl der Zahluge ist. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 31 / 38 Barwert achschüssig) Der Barwert die Summe aller Retezahluge auf de Begi der Rete abgezist. B = E q = R q 1 q q 1) wobei R die Rete, q der Aufzisugsfaktor ud die Azahl der Zahluge ist. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 32 / 38 Aufgabe 4.7 Die ewige Rete wird uedlich oft ud lag) gezahlt. Ihr Edwert ist immer uedlich. Bereche ihre Barwert. Wir ehme hier wie vor der Fiazkrise üblich a, dass der Zissatz positiv ist.) Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 33 / 38

12 Lösug 4.7 Grezwert: B = B = R q 1 q q 1) = R q 1. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 34 / 38 Aufgabe 4.8 Bei der Tilgug vo Darlehe muss der Barwert der Tilgugszahluge der ursprügliche Darlehessumme etspreche. Bereche die Tilgugsrate X eies Kredits bei kostate Rückzahlugsrate. Dabei sei K die Kredithöhe, p der Zissatz, ud die Laufzeit des Kredits Azahl der Zahluge). Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 35 / 38 Lösug 4.8 K = B = X q 1 q q 1) impliziert X = K q q 1 q 1. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 36 / 38

13 Aufgabe 4.9 Bereche bei gegebeer Kredithöhe K, Zissatz p ud maximaler Tilgugszahlug X die Midestlaufzeit des Kredits. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 37 / 38 Lösug 4.9 = l X lx Kq 1)) l q. Achtug: es muss immer aufgerudet werde. Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 38 / 38