Kernlehrplan. Mathematik. Erweiterte Realschule: H-Bildungsgang

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1 Kernlehrplan Mathematik Erweiterte Realschule: H-Bildungsgang 2008

2 Inhalt Vrwrt Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung Teil 1: Allgemeine mathematische Kmpetenzen und kumulative Entwicklung Teil 2: Themenfelder Klassenstufen 7 und 8 Klassenstufe 9 2

3 Vrwrt Kernlehrpläne und Bildungsstandards Mit der Vereinbarung vn Bildungsstandards durch die Kultusministerknferenz haben sich die Länder der Bundesrepublik Deutschland auf einen gemeinsamen Bezugsrahmen hinsichtlich der schulischen Anfrderungen in einer Reihe vn Fächern verständigt. Zunächst wurden Standards für die Fächer Deutsch, Mathematik und erste Fremdsprache vereinbart und in einem zweiten Schritt für die naturwissenschaftlichen Fächer Bilgie, Chemie und Physik. Im Sekundarbereich beziehen sich die Bildungsstandards auf den Hauptschulabschluss und den mittleren Bildungsabschluss. Sie sind schulfrmübergreifend angelegt, damit für den gleichen Abschluss ein einheitliches Niveau gesichert wird. Die Bildungsstandards umfassen neben inhaltlichen Kmpetenzen auch allgemeine Kmpetenzen. Diese beziehen sich insbesndere auf Methden, Verfahren und Lernstrategien, die die Schülerinnen und Schüler beherrschen sllen, um die inhaltlichen Kmpetenzen erwerben zu können. In vielen Fächern bietet gerade die Festschreibung dieser allgemeinen Kmpetenzen Chancen für eine Weiterentwicklung der Unterrichtsarbeit. Die Kernlehrpläne greifen die schulfrmübergreifenden Vrgaben der Bildungsstandards auf und berücksichtigen gleichzeitig die Besnderheiten und unterschiedlichen Anfrderungsniveaus der einzelnen Schulfrmen und Bildungsabschlüsse. Die Kernlehrpläne - rientieren sich an den KMK-Bildungsstandards - frmulieren die angestrebten zentralen Kmpetenzen inhaltlicher und allgemeiner Art - legen fest, in welchen Zwischenschritten die Kmpetenzen in den einzelnen Jahrgangsstufen erreicht werden - beschränken sich auf wesentliche Inhalte und Themen, die auch Bezugspunkte für schulische und schulübergreifende Leistungsüberprüfungen sind - enthalten Hinweise und Vrschläge zur Unterrichtsgestaltung - werden knkretisiert durch Aufgabenbeispiele, die den Kmplexitätsgrad und das Niveau einzelner Kmpetenzbeschreibungen verdeutlichen. Entwicklung bildungsstandardbezgener Aufgaben Zu den Bildungsstandards werden unter Federführung des Instituts zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB) in länderübergreifenden Arbeitsgruppen Aufgaben entwickelt, die die Kmpetenzerwartungen und Anfrderungsniveaus knkretisieren und die im Unterricht eingesetzt werden können. Im Fach Mathematik liegen slche Aufgaben seit Herbst 2006 vr. In den Fächern Deutsch, Englisch und Französisch ist die Arbeit nch nicht abgeschlssen. Im Saarland rientieren sich die Aufgabenstellungen der landeszentralen Vergleichsarbeiten und Abschlussprüfungen bereits seit mehreren Jahren an den KMK-Bildungsstandards. Beabsichtigt ist der sukzessive Aufbau vn fachbezgenen Aufgabensammlungen und ihre Veröffentlichung auf dem saarländischen Bildungsserver. 3

4 Die Rlle der Fachknferenzen Durch die Beschränkung der inhaltlichen Vrgaben in den Kernlehrplänen auf das Wesentliche wächst den Fachknferenzen der einzelnen Schulen nch stärker als bisher die Aufgabe zu, gemeinsame Knzepte zur Entwicklung der Kmpetenzen zu vereinbaren und ihre Umsetzung im Unterricht abzustimmen. Einerseits schreibt der Kernlehrplan die zu erreichenden Kmpetenzen vr, anderseits lässt er den Schulen den nötigen Freiraum, bei der Umsetzung die Rahmenbedingungen vr Ort zu berücksichtigen und eigene Schwerpunkte zu setzen. Dies bedeutet, dass die Fachknferenzen jeder Schule den Auftrag haben, schuleigene Arbeitspläne zu erstellen, die swhl die angeführten Kmpetenzen als auch die Kerninhalte innerhalb einer Klassenstufe knkretisieren. Darüber hinaus sllen die Fachknferenzen auch bestimmte Frmen der schulinternen Evaluatin wie zum Beispiel schulinterne Vergleichsarbeiten beschließen und ntwendige Maßnahmen zum Erreichen der Kmpetenzen entwickeln. Als Instrumente der äußeren Evaluatin dienen auch die landesweiten Vergleichsarbeiten und Abschlussprüfungen. Um einen im Sinne der Bildungsstandards erflgreichen Unterricht zu gestalten, müssen Unterricht und Aufgaben s (weiter)entwickelt werden, dass sie zu mehr Selbstständigkeit, Handlungsrientierung, Kmmunikatins- und Argumentatinsfähigkeit führen. Dem aktiventdeckenden ist gegenüber dem passiv-rezeptiven Lernen ein höherer Stellenwert einzuräumen. Mit der Einführung der Kernlehrpläne gehen als flgende neue Aufgaben der schulischen Fachknferenz einher: - Sie legt Inhalte und Unterrichtseinheiten swie deren zeitliche Anrdnung innerhalb der Klassenstufen fest. - Sie stellt geeignete Aufgaben zur Entwicklung und Überprüfung der angestrebten Kmpetenzen im Unterricht zusammen. - Sie entwickelt Eckpunkte einer fachspezifischen Förderung im Rahmen des schulischen Förderknzepts. - Sie trifft Absprachen zur Knzeptin und Bewertung vn schriftlichen, mündlichen und snstigen fachspezifischen Lernerflgskntrllen. 4

5 Der Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung Dem Kmpetenzmdell der KMK-Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss liegt ein Knzept des allgemeinbildenden Beitrags der Mathematik zu Grunde, das vn Heinrich Winter in dem Aufsatz Mathematikunterricht und Allgemeinbildung skizziert wurde. Demnach sllte Mathematikunterricht anstreben, die flgenden drei Grunderfahrungen, die vielfältig miteinander verknüpft sind, zu ermöglichen: (1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen der angehen sllten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen, (2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symblen, Bildern und Frmeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv gerdnete Welt eigener Art kennen zu lernen, (3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Prblemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen (heuristische Fähigkeiten), zu erwerben. Die sechs Kmpetenzbereiche Mathematisch argumentieren, Kmmunizieren, Prbleme mathematisch lösen, Mathematisch mdellieren, Mathematische Darstellungen verwenden und Mit symblischen, frmalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen nehmen auf dieses Knzept Bezug und bereiten seine Umsetzung im Unterricht vr. Mathematisch argumentieren Kmmunizieren Prbleme mathematisch lösen Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten Mathematisch mdellieren Mathematische Darstellungen verwenden Mit symblischen, frmalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Der vrliegende Kernlehrplan ist ein Bindeglied zwischen den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss auf der einen und einem auf Kmpetenzerwerb ausgerichteten Unterricht auf der anderen Seite. Er gibt zahlreiche Hinweise, wie die in den Bildungsstandards beschriebenen Kmpetenzen zu erreichen sind. Der Kernlehrplan benennt für die Klassenstufen 5/6, 7/8 und 9 Kerninhalte des Mathematikunterrichts und knkretisiert dabei dieses Kmpetenzmdell. Er trägt smit swhl einem an den allgemeinen mathematischen Kmpetenzen (Teil 1) als auch einem fachsystematisch rientierten Unterricht (Teil 2) in Themenfeldern Rechnung. 5

6 Die allgemeinen mathematischen Kmpetenzen (Teil 1) Erflgreicher Kmpetenzerwerb setzt einen Unterricht vraus, in dem Schülerinnen und Schüler vielfach Gelegenheit erhalten, die ben aufgeführten Grunderfahrungen zu machen. Mathematik darf demnach nicht als ein rezeptiv aufzunehmendes, unveränderliches Prdukt erscheinen, sndern muss auch als ein kreatives Betätigungsfeld erlebt werden. Daher ist den Bereichen Mathematisch argumentieren, Kmmunizieren, Prbleme mathematisch lösen und Mathematisch mdellieren ein besnderes Gewicht zu geben. Im ersten Teil des Kernlehrplans werden die sechs Kmpetenzbereiche beschrieben, wbei zunächst der didaktische Hintergrund erläutert wird und einige methdische Hinweise gegeben werden. Anschließend werden die jeweils zum Ende einer (Dppel-)Klassenstufe zu erwerbenden Kmpetenzen frmuliert, s dass der kumulative Kmpetenzerwerb deutlich wird. Damit dient dieser Teil des Kernlehrplans als didaktischer und methdischer Orientierungsrahmen, in den sich die knkreten unterrichtlichen Umsetzungen einrdnen. Die Themenfelder der Klassenstufen (Teil 2) Im zweiten Teil werden für die Klassenstufen Themenfelder beschrieben. Meist lassen sich an einem Unterrichtsgegenstand Aspekte mehrerer Themenfelder finden. Sie bilden smit eine Strukturierungshilfe für den Unterricht, benennen aber keine abgeschlssenen Unterrichtseinheiten. Klassenstufen 5/6 Klassenstufen 7/8 Klassenstufe 9 Natürliche Zahlen Grundvrstellungen vn Brüchen, Przenten und ganzen Zahlen Sachrechnen mit Größen Ratinale Zahlen Sachrechnen mit prprtinalen und antiprprtinalen Zusammenhängen Przente und Zinsen Wurzeln und Ptenzen Przent- und Zinsrechnung Muster, Terme und Gleichungen Terme und (Un-)Gleichungen Gleichungen und Zurdnungen Gemetrie Gemetrie Gemetrie Zufall und Statistik Zufall und Statistik Wahrscheinlichkeit und Statistik Zu jedem Themenfeld werden zunächst inhaltliche und methdische Hinweise gegeben, geflgt vn einer Benennung der Kerninhalte bzw. der prüfungsrelevanten Inhalte. Anschließend werden die allgemeinen mathematischen Kmpetenzen exemplarisch an knkreten Inhalten erläutert. Enthalten sind implizit Hinweise und Vrgaben zur methdischen Gestaltung eines kmpetenzrientierten Mathematikunterrichts. Verwendung einer Frmelsammlung In den zentralen Abschlussprüfungen ist eine umfangreiche Frmelsammlung, wie sie vn zahlreichen Schulbuchverlagen angebten wird, zugelassen. Der kmpetente Umgang mit einem slchen Nachschlagewerk ist ein Ziel eines allgemeinbildenden Mathematikunterrichts. Die Frmelsammlung ist daher im Unterricht ab der Klassenstufe 7/8 regelmäßig und gezielt einzusetzen. 6

7 Teil 1 Allgemeine mathematische Kmpetenzen und kumulative Entwicklung

8 Allgemeine mathematische Kmpetenz Mathematisch argumentieren Beispiele und Gegenbeispiele, Erläuterungen, Begründungen und frmale Beweise sind typische Frmen mathematischer Argumentatinen. Die Schülerinnen und Schüler lernen die Bedeutung exakter Argumentatinen kennen, indem sie eigene Lösungsideen und Lösungswege beschreiben und begründen, Argumentatinen anderer kritisch prüfen und beurteilen und Fehler entdecken und krrigieren. Sie erwerben dadurch ein Gefühl für zulässige Schlussflgerungen. Durch das spielerische Variieren vn Aufgaben erlernen die Schülerinnen und Schüler in kreativen Przessen für die Mathematik typische Arbeitsweisen. Sie stellen Fragen, die für die Mathematik charakteristisch sind, sie äußern Vermutungen und begründen diese plausibel. Frmale Beweisführungen sind nicht vrgesehen. Kumulative Entwicklung der Kmpetenz 5/6 7/8 9 Ideen und Vermutungen mit eigenen Wrten präsentieren und erklären Beispiele und Gegenbeispiele für bekannte mathematische Objekte angeben Fehler entdecken und krrigieren Lösungswege, Argumentatinen und Darstellungen wiedergeben und bewerten Beispiele und Gegenbeispiele zu neu definierten mathematischen Objekten angeben Aussagen durch Beispiele und Gegenbeispiele exemplarisch belegen der widerlegen Argumentatinen überprüfen, bewerten und selbst entwickeln Fragen stellen, die für die Mathematik typisch sind, und Vermutungen begründet äußern Fehler und Fehlvrstellungen an einfachen vrgegebenen Beispielen erläutern 8

9 Allgemeine mathematische Kmpetenz Kmmunizieren Mathematikunterricht trägt zur Allgemeinbildung der Schülerinnen und Schüler u.a. dadurch bei, dass sie Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen sllten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur in einer spezifischen Art (Heinrich Winter, Mathematikunterricht und Allgemeinbildung) wahrnehmen, verstehen und beschreiben lernen. Dazu gehört in besnderer Weise die Kmpetenz, Infrmatinen aus authentischem Material, z.b. aus Zeitungstexten der Tariftabellen und -angebten vn Internet- der Handyanbietern, zu entnehmen und zu bewerten. Die verbale Beschreibung mathematischer Sachverhalte, Verfahren der Zusammenhänge ist ein wesentlicher Schritt im Lern- und Verstehensprzess. Erst nach erflgter Reflexin kann eine sinnvlle Beschreibung erflgen. In der methdischen Gestaltung des Unterrichts ist darauf zu achten, dass durch zahlreiche Sprech- und Schreibanlässe diese Lernprzesse initiiert werden. Das Führen eines Lerntagebuchs der das Schreiben mathematischer Aufsätze und der mündliche Vrtrag sind nur drei mögliche methdische Varianten. Im Unterricht sind dabei Lern- und Leistungssituatinen streng und für die Schülerinnen und Schüler klar erkennbar zu trennen. Nur s kann eine Unterrichtskultur entstehen, in der Fehler bzw. Irrwege für eine fruchtbare Auseinandersetzung mit den Lerninhalten genutzt werden. Kumulative Entwicklung der Kmpetenz 5/6 7/8 9 Ergebnisse in kurzen Beiträgen präsentieren und schriftlich darstellen Infrmatinen aus einfachen mathematischen Darstellungen (Texte, Bilder, Tabellen) wiedergeben einfache mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und eigene Entdeckungen mit eigenen Wrten wiedergeben Lösungswege dkumentieren und in vrbereiteten Beiträgen präsentieren Infrmatinen aus mathematischen Darstellungen selbst strukturieren und bewerten Arbeitsschritte in einem bekannten Verfahren (z.b. Knstruktin, Algrithmus) mit eigenen Wrten erläutern Infrmatinen aus authentischen Texten (z.b. Zeitung, Werbung) und mathematischen Darstellungen entnehmen, analysieren und bewerten Bearbeitungen kmplexer Arbeitsaufträge präsentieren mathematische Zusammenhänge mit Fachbegriffen erläutern 9

10 Allgemeine mathematische Kmpetenz Prbleme mathematisch lösen Geeignete heuristische Strategien lassen sich den Schülern z.b. durch flgende Leitfragen nahe bringen: Wrum geht es in dem Prblem?, Wie lässt sich das Prblem in meiner Sprache der einfacher frmulieren?, Was ist gegeben?, Was ist gesucht?, Wie lässt sich das Prblem veranschaulichen?, Habe ich ein ähnliches Prblem schn einmal gelöst?, In welche Teilprbleme lässt sich das Prblem zerlegen?, Kenne ich einfache Spezialfälle des Prblems? Im Unterricht sind heuristische Strategien (wie z.b. Versuch und Irrtum, Überschlagen, systematisches Prbieren) und heuristische Hilfsmittel (wie z.b. Tabellen, aussagekräftige Skizzen) bewusst zu machen und an variantenreichen Beispielen ständig zu wiederhlen und zu festigen. Eine Prblemvrstellung mit anschließendem erstem Hineindenken (z.b. in den letzten 10 Minuten einer Unterrichtsstunde) bietet sich methdisch an. Den Schülern die Zeit zum selbstständigen Arbeiten zu lassen ist Vraussetzung für erflgreiches Prblemlösen in der Schule. Kumulative Entwicklung der Kmpetenz 5/6 7/8 9 Plausibilität vn Ergebnissen überprüfen heuristische Hilfsmittel (Tabelle, Skizze) kennen und verwenden vrgegebene heuristische Strategien auswählen und anwenden, insbesndere Zerlegen in Teilprbleme und Systematisches Prbieren heuristische Strategien auswählen und anwenden, insbesndere Systematisches Prbieren und Erstellen vn aussagekräftigen Skizzen heuristische Strategien auswählen und anwenden, insbesndere Versuch und Irrtum und Begründetes Überschlagen vrgegebene und selbst frmulierte Prbleme angehen 10

11 Allgemeine mathematische Kmpetenz Mathematisch mdellieren Es ist ein zentrales Ziel des Mathematikunterrichts, die Fähigkeit zu schulen, reale Situatinen in die Sprache der Mathematik zu übersetzen (Mathematisieren) und umgekehrt mathematische Mdelle zu realisieren, die entwickelten mathematischen Mdelle zu bearbeiten, die Knsequenzen in der Realsituatin zu interpretieren und die Ergebnisse und damit das gesamte Mdell zu bewerten (Validieren). Möglicherweise ist dieser Przess erneut zu durchlaufen, möglicherweise müssen verschiedene Mdelle gegeneinander abgewgen werden. Mdellbildungskreislauf nach Schupp Die Graphik veranschaulicht diesen Mdellbildungskreislauf mit der Unterscheidung der Seiten Prblem und Lösung und der Ebenen Welt und Mathematik. Die Schülerinnen und Schüler reflektieren anhand knkreter Beispiele den Mdellbildungskreislauf. Sie gewinnen dadurch eine kritische Haltung gegenüber der Aussagekraft mathematischer Resultate in Realsituatinen. Im Unterricht lassen sich kaum lebenswahre Mdellierungen durchführen. Dem Mathematikunterricht kmmt vielmehr die Aufgabe zu, Mdellbildungsprzesse zu reflektieren. Kumulative Entwicklung der Kmpetenz 5/6 7/8 9 Mathematisieren durch Erstellen vn Termen, Figuren und Diagrammen Angeben vn möglichen Realsituatinen zu gegebenen Termen, Figuren und Diagrammen Verwenden vn prprtinalen, antiprprtinalen und linearen Zurdnungen swie linearen Gleichungen Durchführen aller Einzelschritte des Mdellierens, insbesndere Interpretieren und Validieren anhand vrgegebener Situatinen, Mdelle und Knsequenzen Verwenden linearer Gleichungen swie prprtinaler und antiprprtinaler Zurdnungen Durchlaufen und Beschreiben kmpletter Mdellbildungskreisläufe in wirklichkeitsnahen Situatinen Angeben möglicher Realsituatinen zu vrgegebenen linearen, prprtinalen der antiprprtinalen Mdellen 11

12 Allgemeine mathematische Kmpetenz Mathematische Darstellungen verwenden Mathematischen Darstellungen lassen sich drei wesentliche Funktinen zurdnen: Sie ermöglichen regelhaftes Operieren. Sie erweitern unsere Denkmöglichkeiten (z.b. Skizzen und Diagramme, die Prblemlösungsprzesse unterstützen). Sie sind als Kmmunikatinsmittel nützlich. Die Schülerinnen und Schüler sllen unterschiedliche Darstellungen mathematischer Objekte kennen, Beziehungen zwischen diesen herstellen und sie zielgerichtet und situatinsangemessen verwenden. Dem Przess des Interpretierens, des Transfrmierens und des Entwickelns vn Darstellungen muss daher im Unterricht besndere Aufmerksamkeit gewidmet werden. Mit Darstellungen kmmunizieren Lehrende wie Lernende ihre Vrstellungen. Als Lehrender muss man sich in Lern- und Leistungssituatinen der Tatsache bewusst sein, dass verschiedene Lernende je nach Denkstil auch verschiedene Darstellungen bevrzugen. Kumulative Entwicklung der Kmpetenz 5/6 7/8 9 verschiedene Frmen der Darstellung vn mathematischen Objekten und Situatinen kennen, unterscheiden, verstehen und anfertigen verschiedene Frmen der Darstellung vn mathematischen Objekten und Situatinen verwenden, interpretieren und unterscheiden unterschiedliche Darstellungsfrmen je nach Situatin und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln Beziehungen zwischen Darstellungsfrmen erkennen 12

13 Allgemeine mathematische Kmpetenz Mit symblischen, frmalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Die Mathematik ist in der Lage, Zusammenhänge in einer Symblsprache auszudrücken und mit diesen Symblen frmal zu perieren, um smit neue Zusammenhänge zu erschließen, Prbleme zu bearbeiten der bekannte Sachverhalte neu zu strukturieren. Das Erlernen dieser Sprache erflgt langsam und basiert - wie in jeder anderen Sprache auch - auf dem Lernenden nahestehenden Sinnzusammenhängen. Durch ständiges Anwenden der symblischen, frmalen und technischen Elemente der Mathematik in variierenden inner- wie außermathematischen Kntexten erlangen die Schülerinnen und Schüler eine immer größere Sicherheit. Eine umfangreiche Frmelsammlung, die Zusammenhänge auf symblischer, iknischer und verbaler Ebene verdeutlicht, entlastet die Schülerinnen und Schüler vm Auswendiglernen abstrakter Frmeln, spricht unterschiedliche Denk- und Lerntypen gleichermaßen an, fördert die Kmpetenz im Umgang mit Nachschlagewerken und eröffnet ein grßes mathematisches Betätigungsfeld. Die frmalen, symblischen und technischen Elemente der Mathematik nehmen s die Rlle vn Werkzeugen an, deren verständiger Umgang im Mittelpunkt eines allgemeinbildenden Mathematikunterrichts steht. Tabellenkalkulatinsprgramme, Funktinenpltter und Dynamische Gemetriesysteme bieten ein hhes didaktisches Ptenzial, um symblische und frmale Elemente der Mathematik auf anderen Darstellungsebenen zu untersuchen und zu verwenden. Kumulative Entwicklung der Kmpetenz 5/6 7/8 9 schriftliche Grundrechenarten beherrschen Stellenwerttafel insbesndere zum Umrechnen vn Einheiten verwenden mit Zirkel und Gedreieck saubere Zeichnungen anfertigen algrithmische Lösungsverfahren (lineare Gleichungen, Dreisatz) und einfache Termumfrmungen beherrschen einfache Terme interpretieren und aufstellen Frmelsammlung, Taschenrechner und Sftware in Situatinen nutzen, in denen ihr Einsatz geübt wurde symblische und frmale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt mit Variablen, Termen, Gleichungen, Zurdnungen, Tabellen und Diagrammen flexibel und situatinsangemessen arbeiten Frmelsammlung, Taschenrechner und Sftware flexibel und situatinsangemessen nutzen 13