3. Praktikum. 1 Einleitung. 2 Modellbeschreibung. Stabilitätsnachweis mit Nyquistkriterium an einem Magnetlager

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1 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Dipl.-Ing. Anne-Kathrin Hess Dipl.-Ing. Thomas Seel Fachgebiet Regelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Integrierte Lehrveranstaltung Grundlagen der Regelungstechnik 3. Praktikum Stabilitätsnachweis mit Nyquistkriterium an einem Magnetlager Die Abgabe der Vorbereitungsaufgaben erfolgt einzeln, im Praktikum kann dann wieder in 2er-Gruppen abgegeben werden. Name: Praktikumstermin: Matrikelnummer: Di Di Mi Mi Do Die Vorbereitungsaufgaben sind zu Beginn des Praktikums abzugeben, sonst darf an diesem Termin nicht teilgenommen werden! Praktikumsziele: Wiederholung Linearisierung Übertragungsfunktion in Scilab Numerische Berechnung des Frequenzgangs einer Übertragungsfunktion Nyquist Plots in Scilab Bestimmung des Stabilitätsbereichs mithilfe des Nyquist-Kriteriums 1 Einleitung In diesem Versuch soll das nichtlineare Modell für einen Magnetschwebekörper erstellt und an einem gegebenen Arbeitspunkt linearisiert werden. Anschließend soll unter Verwendung des Nyquist-Kriteriums untersucht werden, für welche Verstärkungen der geschlossene Regelkreis (asymptotisch) stabil ist. Der zu verwendende Regler wird vorgegeben. 2 Modellbeschreibung Das Positionieren von metallischen oder magnetischen Körpern im Magnetfeld ist überall dort von praktischer Bedeutung, wo keine mechanische Reibung erwünscht ist z.b. im Transportwesen (Transrapid) oder im Maschinenbau (magnetische Lager). Natürliche Stabilität oder Instabilität des ungeregelten Systems ist dabei von der Anordnung der Elektromagneten und Eisen-/Magnetkörper abhängig. Die in diesem Versuch betrachtete Anordnung führt zu einem instabilen Streckenverhalten. Eine schematische Darstellung der Strecke mit den Ein- und Ausgangsgrößen des Modells ist der Abbildung 1 zu entnehmen. Die zu positionierende Kugel befindet sich unter einem Elektromagneten in der Schwebe. Ohne die Anziehungskraft des geregelten Magneten würde die Eisenkugel, nur der Gravitationskraft ausgesetzt, nach unten fallen. Die Position y der Kugel wird über einen opto-elektrischen Sensor erfasst. 1

2 Abbildung 1: Versuchsaufbau und schematische Darstellung der Strecke mit Ein-und Ausgangssignalen 3 Modellgleichungen Im Folgenden werden die Gleichungen des Systems fu r die Position y ([y] = m) der Kugel, die Geschwindigkeit v ([v] = ms ) der Kugel und den Spulenstrom i ([i] = A) des Elektromagneten eingefu hrt. Die Eingangsgro ße u(t) ist ein pulsweitenmoduliertes Stellsignal fu r den Elektromagneten, das auf den Bereich normiert ist. Die Ausgangsgro ße ist die Position y(t) der Kugel. Die Gleichungen lauten: d y(t) = v(t), dt FM (y(t), i(t)) d v(t) = + g, dt m 1 d i(t) = (ki2 u(t) i(t)), dt ki1 (1) (2) (3) wobei die ersten beiden Gleichungen die Bewegungsgleichungen der Eisenkugel darstellen und die letzte Gleichung das elektrische System, also die Stromdynamik, beschreibt. Die auf den Eisenko rper wirkende Kraft FM des Magneten la sst sich wie folgt berechnen: FM (y(t), i(t)) = km1 i2 (t) exp ( km2 y(t)). 2 (4)

3 4 Vorbereitungsaufgaben Aufgabe 4.1 (Nichtlineares Zustandsmodell) Wählen Sie als Zustände des Systems x 1 = y, x 2 = v und x 3 = i und stellen Sie das nichtlineare Modell der Strecke (Gleichungen 1 bis 3) in der Zustandsraumdarstellung ẋ(t) = f(x(t), u(t)) mit der linearen Ausgangsgleichung y(t) = Cx(t) auf. Hinweis: Im Grunde nur abschreiben, aber in der in der Regelungstechnik üblichen Schreibweise! Aufgabe 4.2 (Linearisierung des Zustandsmodells) Geben Sie die beiden zur Position y s = 0.01 m gehörenden Ruhelagen allgemeingültig an. x s1 = x s2 = [ ] [ ] u s1 = u s2 = 3

4 Linearisieren Sie das System um den Arbeitspunkt mit negativem x 3 und ermitteln Sie die resultierende Zustandsraumdarstellung für das System in der Form: ξ(t) = Aξ(t) + Bµ(t), ν(t) = Cξ(t) + Dµ(t). (5) (6) ξ := ν := µ := A = B = C = [ ] D = [ ] 4

5 Aufgabe 4.3 (Scilab-Skript vorbereiten) Die nächsten Aufgaben sollen in dem für dieses Praktikum zur Verfügung gestellten Scilab Skript bearbeitet werden. Das Scilab Skript können Sie von der Website der Lehrveranstaltung herunterladen. In dem Skript sind die nötigen Systemparameter gegeben. a) Geben Sie die numerisch berechneten Werte für die Ruhelagen und Matrizen des linearisierten Systems an. x s1 = x s2 = u s1 = [ ] u s2 = [ ] A = B = C = [ ] D = [ ] b) Definieren Sie mithilfe der Scilab-Anweisung syslin ein lineares kontinuierliches System mit den Matrizen A,B,C und D. c) Zur weiteren Vorbereitung soll der Schnittpunkt des Polynoms f(x) = π x mit der X-Achse bestimmt werden. Vervollständigen Sie dazu den entsprechenden Abschnitt in ihrem Scilab-Skript. Sie müssen dazu: a) Einen Vektor x_werte definieren, der von 1 bis 6 gehen soll, in Schritten von (d.h Elemente). b) Das Polynom f für alle x_werte auswerten und die Werte einem Vektor y_werte zuweisen. Benutzen Sie dazu den Scilab Befehl horner(...,... ). Zum Verständnis bietet es sich an, die y_werte über den x_werte zu plotten, z.b. mit plot2d(x_werte, y_werte); xgrid();. c) Bilden Sie den Absolutwert von y_werte mit dem Scilab Befehl abs(...). d) Bestimmen Sie die das betragsmäßige Minimum und den Index des Minimums des zuvor gebildeten Absolutwerts von y_werte. Benutzen Sie dazu den Scilab Befehl min(...). e) Geben Sie den x-wert aus, an dem die Gerade die X-Achse schneidet. Benutzen Sie dazu den zuvor bestimmten Index. Index des Schnittpunkts: x-wert des Schnittpunkts: Bringen Sie das in den Vorbereitungsaufgaben erstellte Scilab-Skript zum Praktikumstermin mit! 5

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7 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Dipl.-Ing. Anne-Kathrin Hess Dipl.-Ing. Thomas Seel Fachgebiet Regelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Integrierte Lehrveranstaltung Grundlagen der Regelungstechnik 3. Praktikum Stabilitätsnachweis mit Nyquistkriterium an einem Magnetlager Die Abgabe der Praktikumsaufgaben erfolgt in 2er-Gruppen. Name: Name: Praktikumstermin: Matrikelnummer: Matrikelnummer: Di Di Mi Mi Do Bringen Sie das in den Vorbereitungsaufgaben erstellte Scilab-Skript zum Praktikumstermin mit! 5 Praktikumsaufgaben Alle Aufgaben sind in Ihrem Scilab-Skript zu erledigen! Aufgabe 5.1 (Übertragungsfunktion und Pole) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des modellierten Systems mithilfe des Scilab-Befehls ss2tf. Verwenden Sie anschließend den Scilab-Befehl clean, um die Übertragungsfunktion von numerischen Fehlern zu befreien. G(s) = Berechnen Sie die Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion und geben Sie diese an. Hinweis: Wenn Sie die Übertragungsfunktion durch G=clean(ss2tf(...)) berechnet haben, können Sie mit G.num und G.den auf das Zähler- und Nennerpolynom der Übertragungsfunktion zugreifen. Mit dem Befehl roots können die Wurzeln eines Polynoms bestimmt werden. 7

8 Aufgabe 5.2 (Stabilität des Regelkreises) Um die Eisenkugel in der Schwebe zu halten, ist eine Regelung notwendig. Im Folgenden soll die Stabilität des Regelkreises (Abbildung 2) unter Verwendung eines vorgegebenen Reglers untersucht werden. r K(s) G(s) y Abbildung 2: Der geschlossene Regelkreis Die Übertragungsfunktion des Reglers lautet: K(s) = k p s , 24s , 71 s s , 67. (7) a) Definieren Sie die Übertragungsfunktion des gegebenen Reglers. Erstellen Sie dazu ein Polynom s mit Nullstelle 0. Setzen sie die Reglerverstärkung k p auf 1. (Scilab-Befehle: poly; syslin mit Zähler und Nenner als Parameter) b) Bestimmen Sie die für die Stabilität des offenen Regelkreises G(s)K(s) nötige Phasendrehung anhand des Nyquist-Kriteriums. Γ1 : c) Erstellen Sie die Nyquist-Ortskurve für die Übertragungsfunktion G(s)K(s) mit kp = 1. d) Ist das betrachtete System für kp = 1 stabil? Begründen Sie ihre Antwort! 8

9 e) Warum ist das System nur innerhalb des Intervalls I =]kp min... kp max [ stabil? f) Berechnen Sie den Frequenzgang von G(s)K(s) mit kp = 1. Hinweis: Es wird während des Praktikums eine kurze Erläuterung der Vorgehensweise geben. g) Geben Sie die beiden Realteile des Frequenzgangs an, bei dem der Imaginärteil 0 wird. Bestimmen Sie für diese beiden Realteile die Amplitudenreserve. Realteil Amplitudenreserve 1 2 h) In welchem Intervall I =]kp min... kp max [ muss kp also liegen, um die Stabilitätsbedingung zu erfüllen? I =]... [ Hinweis: Scilab-Befehle: Denken Sie daran bei Unklarheiten die Scilab-Hilfe zu nutzen! syslin: Definition linearer Systeme als Zustandsraummodell ss2tf: Berechnung der Übertragungsfunktion aus dem Zustandsraummodell poly: Definition von Polynomen bode: Bodediagramm nyquist: Nyquistkurve horner(p,a): Ausrechnen des Wertes eines Polynoms p an der Stelle a nach Hornerschema 9