Einfeldträger. FH Potsdam - FB Bauingenieurwesen Statik der Baukonstruktionen Tragwerksberechnungen mit RuckZuck

Transkript

1 Beginnen Sie mit dem vorgegebenen System Durchlaufträger, 1 Feld. Erzeugen Sie dann alle folgenden Systeme bis inklusive A5) über Systemmanipulation. Einfeldträger A1) Ermitteln Sie und vergleichen Sie die Ergebnisse mit einem Tabellenwerk (Formeln eintragen). Zeichnen Sie die qualitative Biegelinie (Angabe von κ + oder -, Wendepunkte). Suchen Sie für jedes System die maximale Durchbiegung und tragen Sie diese in die Biegelinien ein (Taste F12 und Stab anklicken). Geben Sie die Formeln für die max. Durchbiegung und die Funktionen der Biegelinien mit Hilfe eines Tabellenwerkes an. A 10 kn 5,0 5,0 B 10 kn C 10 kn Fragen: A1, F1) Ändern sich die Momentenlinien bei den Systemen A - C, wenn Sie das Profil in einen Träger HEA 100 ändern? Begründung! A1, F2) Ändern sich die Biegelinien bei Änderung des Profils? Wenn ja, was ändert sich? Seite 1

2 Einfeldträger A2) Ermitteln Sie und und vergleichen Sie die Ergebnisse mit einem Tabellenwerk (Formeln eintragen). A 1 kn/m 10,0 B 1 kn/m C 1 kn/m Fragen: A2, F1) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Belastung in A1) und A2)? Wie wirkt sich dieser Zusammenhang auf die Momente aus? A2, F2) Welcher gleiche Zusammenhang besteht bei den Systemen A - C für die Querkraft? Seite 2

3 Einfeldträger A3) Ermitteln Sie M(x ) bei beiden Systemen für verschiedene Laststellungen und tragen Sie die Ergebnisse maßstäblich ein: Last in Last in Last in Last in (5). Geben Sie für beide Systeme die Formeln für die Feld- und Stützmomente an. 20 kn (5) (6) 1,0 1,0 2,0 1,0 5,0 20 kn (5) (6) Frage A3, F1) Wie verändern sich Feldmomente in Abhängigkeit von der Laststellung? Seite 3

4 Einfeldträger A4) Ermitteln Sie,, N(x) und die Auflagerkräfte. Geben Sie die Belastung auch in den Komponenten und zur Stabachse an. 8 kn/m N(x) 4,0 8 kn/m 30 N(x) 8 kn/m 45 N(x) Fragen A4, F1) Ändern sich die Momentenverläufe? A4, F2) Ändern sich die Auflagerkräfte? A4, F3) Wie ändern sich die Querkräfte und Normalkräfte? Was geschieht mit den Querkräften und Normalkräften, wenn α 45 wird? A4, F4) Welche Erkenntnisse sind übertragbar, wenn am Lager eine Einspannung vorliegt? Seite 4

5 Gerberträger A5) Ermitteln Sie und die Auflagerkräfte. Kontrollieren Sie ΣV am Gesamtsystem. Zeichnen Sie die qualitative Biegelinie (Angabe von κ + oder -, Wendepunkte) LF 1 8 kn/m 4,0 2,0 2,0 LF 2 8 kn/m LF 3 3 kn LF 4 3 kn/m Fragen A5, F1) Gibt es irgendeine Belastung innerhalb des Bereiches -, die eine Auflagerkraft in Punkt hervorruft? A5, F2) Was ändert sich, wenn Sie an der Stelle ein weiteres Gelenk einbauen? Wie reagiert RuckZuck? A5, F3) Ersetzen Sie das Festlager bei durch eine Einspannung. In welchem Verhältnis stehen M und M zueinander bei LF 3 und LF 4; lässt sich dieser Zusammenhang verallgemeinern? Seite 5

6 Zweifeldträger A6) Ermitteln Sie und die Auflagerkräfte. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit einem Tabellenwerk.(Formel eintragen). Zeichnen Sie die qualitativen Biegelinien. (Angabe von κ + oder -, Wendepunkte) LF 1 8 kn/m 4,0 4,0 bei geänderten Randbed. LF 2 8 kn/m bei geänderten Randbed. Fragen A6, F1) Systemänderung: Einspannung bei. Wie ändern sich die Momente? Welches vertafelte System können Sie verwenden? (->Symmetrie!) A6, F2) gegebenes System: Zweifeldträger, die Länge l - wird auf 1,0 m geändert. Lastfall 1: Wie groß wird das Moment M. Gegen welchen Grenzwert strebt M für l - 0 A6, F3) gegebenes System: Zweifeldträger, die Länge l - wird auf 12,0 m geändert. Lastfall 1: Wie groß wird das Moment M. Gegen welchen Grenzwert strebt M für l - Seite 6

7 Zweifeldträger, schräg Geben Sie das System über freies System mit Koordinaten ein, und ändern Sie das Profil auf EA! A7) Ermitteln Sie,, N(x) und die Auflagerkräfte. 8 kn/m EJ = const EA Gα Q A 2,55 2,55 N(x) 4,0 4,0 8 kn/m EJ = const EA Gα Q A (2 2,55 N(x) 4,0 4,0 Fragen A7,F1) Vergleichen Sie Momente und Auflagerkräfte wie in Aufgabe A6) Lastfall 2! Geben Sie formelmäßig M und die Auflagerkräfte mit Hilfe eines Tabellenwerkes an (Formeln eintragen). A7, F2) Ermitteln Sie zumindest die Vorzeichen von N 12 und N 32 graphisch je durch ein Krafteck. A7, F3) Welcher Momentenverlauf und welche Auflagerkräfte ergeben sich, wenn Sie das Lager bei entfernen, das Lager bei horizontal unverschieblich machen? (Achtung, Ergebnis gilt nur bei EA ) Seite 7

8 Dreigelenkrahmen A8) Ermitteln Sie und die Auflagerkräfte. Zeichnen Sie die qualitativen Biegelinien. (Angabe von κ + oder -, Wendepunkte) (6) LF 1 4,6 kn 1 kn/m (6) LF 2 10 kn 3,8 3,8 (5) (5) 1,2 2,3 2,3 1,2 2,3 2,3 Fragen A8,F1) Wie groß ist im LF 1 das Eckmomentes bei und, wenn nur q, nur F angreift? Verhältnis M ( 2) inf olge q =? M( 2) inf olge F A8, F2) Was ändert sich, wenn im LF 2 statt der Einzellast bei (6) ein Moment entgegen des Uhrzeigersinnes von 12 knm angreift? A8, F3) Warum verändern sich die Schnittgrößen nicht, wenn Sie für einzelne Stäbe verschiedene Profile wählen? A8, F4) Schließen Sie das Gelenk bei und ordnen Sie ein Gelenk bei an. Welche Auflagerkräfte ändern sich? Seite 8

9 A8, F5) Ändern Sie nur die rechte Stiellänge auf die Hälfte (h=1,9m). Tragen Sie und die Auflagerkräfte ein. LF 1 LF 2 4,6 kn 1 kn/m 10 kn 1,9 1,2 2,3 2,3 1,2 2,3 2,3 A8, F6) Ändern Sie beide Stiellängen auf die Hälfte (h=1,9m). Tragen Sie und die Auflagerkräfte ein. Vergleichen Sie mit dem gegebenen System. Was ändert sich? Was bleibt gleich? LF 1 4,6 kn 1 kn/m LF 2 10 kn 1,9 1,2 2,3 2,3 1,2 2,3 2,3 Seite 9

10 Rahmen mit unterschiedlichen Lagerungen A9) a) Ermitteln Sie und die Auflagerkräfte ( ist auf der nächsten Seite darzustellen) 5,0 kn/m Profil: HEA 200 5,0 kn/m 5,0 kn/m 3, (5) 4,0 4,0 2,0 2, Fragen A9, F1) Geben Sie für jedes System den Grad der statischen Unbestimmtheit an. A9, F2) Welche Systeme tragen im statischen Sinne als Rahmen, d.h. wo tragen auch die Stiele über Biegung? A9, F3) Ermitteln Sie für Systeme 4 und 7 A H und das Moment an der Stelle mit Hilfe eines Tabellenwerkes. A9, F4) Wie ändert sich das Eckmoment bei System 4 und 7, wenn Sie die Stiellänge halbieren oder EJ Stiele vergrößern? A9, F5) Gegen welchen Grenzwert (Formel) strebt das Eckmoment bei System 4 und System 7 für unendlich steife Stiele? unendlich steifen Riegel? 1 cm =10 knm Seite 10

11 Rahmen mit unterschiedlichen Lagerungen A9) b) Zeichnen Sie die qualitativen Biegelinien (Wendepunkte). Profil: HEA 200 5,0 kn/m 5,0 kn/m 5,0 kn/m 3, (5) 4,0 4,0 2,0 2, Fragen A9, F6) Welche Systeme haben bei gegebener Belastung keine horizontale Verschiebung der Knoten und A9, F7) Erstellen Sie einen Ausdruck der Ergebnisse des Systems 4 mit Kopfbeschriftung: System mit Knoten und Stäben, Zugfaser,,, N(x), Auflagerkräfte, Biegelinie, Seite 11

12 4 kn/m Zweigelenkrahmen A10) Antimetrische Belastung (3 (4 (5 4 kn/m 3,0 Profil: HEA 200 Welche Bedingungen gelten bei Antimetrie in der Symmetrieachse? Berechnen Sie mit den richtigen Randbedingungen in der Symmetrieachse die Auflagerkräfte und am halben System. 4,0 4 kn/m 1 cm = 10 kn 1 cm = 10 knm N(x) Fragen A10, F1) Ermitteln Sie die größte Verschiebung. A10,F2) Entsteht eine horizontale Verschiebung der Punkte - auch unter anderen antimetrischen Belastungen? A10, F3) Wie sieht der Momentenverlauf und die Biegelinie für eine antimetrische Gleichlast von 5 kn/m im Riegel aus? Seite 12

13 Dreifeldträger A11) Ermitteln Sie, und die Auflagerkräfte.(Versuchen Sie auch sich vorzustellen, bei welchen Lagern abhebende Kräfte auftreten.) Zeichnen Sie die qualitativen Biegelinien. (Angabe von κ + oder -, Wendepunkte) g=10 kn/m LF 1 Eigengewicht 3,0 4,0 3,0 EJ = const Fügen Sie noch einen Knoten in der Symmetrieachse ein über Stab teilen p=5 kn/m LF 2 Verkehr Feld - 3,0 4,0 3,0 Seite 13

14 p=5 kn/m LF 3 Verkehr Feld - 3,0 4,0 3,0 Fragen A11, F1) Welche Weggrößen und welche Kraftgrößen sind bei symmetrischer Belastung symmetrisch? Welche Bedingungen gelten in der Symmetrieachse? A11, F2) Vergleichen Sie den Momentenverlauf LF 2 des Dreifeldträgers mit dem des Zweigelenkrahmens aus A9). Für welche Art von Belastung gilt der festgestellte Zusammenhang? A11, F3) Geben Sie die Laststellungen an für feldweise angeordnete Verkehrslast. Laststellung für min M : min M = Laststellung für max M : max M = Laststellung für min M Feld - : min M Feld - = Laststellung für max M Feld -(3 ) : max M Feld - = Seite 14

15 Dreifeldträger A12) Ermitteln Sie die Extremalmomentenlinie max/min M Lastenbaum in RUCKZUCK: Erzeugen Sie dazu zunächst in der ständigen Lastfallgruppe [G] Eigengewicht den LF: EG lt. Aufgabenstellung mit dem Faktor 1.00 und in der veränderlichen Lastfallgruppe [Q] Nutzlasten den LF: p links den LF: p Mitte den LF: p rechts Zeigen Sie das Ergebnis der Überlagerung in der roten Überlagerungsgruppe [GQ] Ergebnis1 an Drucken Sie aus für alle gegebenen Lastfälle: Skizze der Momentenlinien, Auflager Ducken Sie aus für die Lastfallüberlagerung q+p feldweise : Skizze der Extremalmomentenlinie minm, maxm Text führend M, alle Teilungspunkte p=5 kn/m Verkehrslast feldweise g=10 kn/m Eigengewicht EJ = const 3,0 4,0 3,0 Extremalmomentenlinie Fragen: A12, F1) Überprüfen Sie die Werte aus ihrer Extremalmomentenlinie mit den von Ihnen ermittelten Werten in A11) F3) A12, F2) Was bedeutet der in RuckZuck festgelegte Lastfall Eigengewicht Konstruktion? Seite 15

16 Besondere Lastfälle: Temperaturlastfälle beim Zweigelenkrahmen A13) Ermitteln Sie die Auflagerkräfte, und zeichnen Sie die qualitative Biegelinie. Schwerpunktstemperatur LF 1: T S = 60 K im ganzen System HEB 400 4,0 5,0 Fragen A13, F1) Was ändert sich im LF 1, wenn Sie T S nur im Riegel wirken lassen? A13, F2) Kontrollieren Sie für LF 1 das Vorzeichen der Krümmung über κ= M EJ. Geben Sie κ + oder - an. A13, F3) Machen Sie das System auf zwei verschiedene Arten statisch bestimmt. Zeichnen Sie die qualitativen Biegelinien des Nullzustandes und geben Sie δ 10 an. Was muß die statisch Unbestimmte bewirken? A13, F4) Unter welcher Bezeichnung finden Sie die beiden Temperaturlastfälle beim Zweigelenkrahmen in den Bautabellen? LF 1 Schwerpunktstemperatur: LF 2 Eingeprägte Temperaturkrümmung: Seite 16

17 Besondere Lastfälle: Temperaturlastfälle beim Zweigelenkrahmen Ermitteln Sie die Auflagerkräfte, und zeichnen Sie die qualitative Biegelinie. Achtung zur Eingabe bei RuckZuck: T muß eingeben werden als T h = 30 Trägerhöhe hier 30 04, = 75 Eingeprägte Temperaturkrümmung LF 2: T= t i - t a = - 30 K im ganzen System HEB 400 außen innen 4,0 Weitere Fragen 5,0 A13, F5) Warum gilt bei LF 2 der Zusammenhang κ= M EJ nicht mehr? Geben Sie die Formel der Krümmung an. Wo liegen die Wendepunkte? A13, F6) Wie ändern sich bei beiden Lastfällen die Momente, wenn das gesamte System aus einem IPE 400 (gleiches h) besteht? Geben Sie den Zusammenhang zwischen bzw. und EJ an. Statisch unbestimmtes System mit EJ = const Statisch unbestimmtes System mit EJ = const Normale Lasten: besondere Lastfälle: Momente.. f(ej) Momente.. f(ej) Durchbiegung... f(ej) Durchbiegung... f(ej) A13, F7) Warum entstehen aus beiden Lastfällen am Zweigelenkrahmen keine vertikalen Auflagerkräfte? A13, F8) Machen Sie das System auf zwei verschiedene Arten statisch bestimmt. Zeichnen Sie die qualitativen Biegelinien des Nullzustandes und geben Sie δ 10 an. Was muß die statisch Unbestimmte bewirken? Seite 17

18 Besonderer Lastfälle: eingeprägte Temperaturkrümmung beim Einfeldträger A14) System entspricht dem aus Aufgabe A1) und A2) Ermitteln Sie und und die Auflagerkräfte. Zeichnen Sie die qualitative Biegelinie. Systeme A - D HEB 300 Achtung zur Eingabe bei RuckZuck: T muß eingeben werden als T h = 18 Trägerhöhe hier 18 03, = 60 A D T = t u - t o = + 18 K T = + 18 K 10,0 10,0 B T = + 18 K C T = + 18 K κ(x) = EJ + T α T h κ austemperatur= krümmung eingeprägte Temperatur Frage: A14, F1) Vergleichen Sie Ihre Lösungen für mit Tabellenfällen aus den Bautabellen. Seite 18

19 Besonderer Lastfall: Lagersenkung an verschiedenen Systemen HEB 200 A15) Versuchen Sie die qualitative Biegelinie zu zeichnen und leiten Sie daraus den qualitativen Momentenverlauf ab. Kontrollieren Sie ihre Lösung dann mit RuckZuck. Hinweis: Knicke in der Biegelinie treten nur bei Gelenken auf! LF Lagersenkung bei Lager v z = 0,015 m x, v x A qualitative Biegelinie Momentenlinie z, v z 4,0 2,0 2,0 4,0 2,0 2,0 B C D E Frage: A15, F1) Bei welchen Systemen und welchen Tragwerksteilen treten keine Schnittgrößen aus Lagersenkung auf? A15, F2) Änderen sich die Schnittgrößen, wenn Sie bei einem oder mehreren oder allen Stäben das Profil ändern? Seite 19

20 Vergleich Einfeld-, Zweifeld-, Dreifeld- und Vierfeldträger bei Belastung nur im Randfeld A16) Versuchen Sie die qualitativen Biegelinien und qualitativen Momentenlinien zunächst mit Ihren bisher erworbenen Kenntnissen zu skizzieren (radierfähig bei C und D!). Ermitteln Sie dann und die Auflagerkräfte mit RuckZuck A B (1 (2 q = 8 kn/m q = 8 kn/m (1 (2 (3 Fragen: A16, F1) Warum wird das Stützmoment bei betragsmäßig größer? A16, F2) Wie groß ist bei jedem System der Abklingfaktor von Stützmoment zu Stützmoment? A16, F3) Versuchen Sie anhand der Momentenlinie zu erkennen, welche Auflager Zug bekommen. A16, F4) Wie sehen die qualitativen Momentenlinien aus, wenn nur das Randfeld jeweils mit T = + belastet wird? EJ = const C q = 8 kn/m (1 (2 (3 D q = 8 kn/m (1 (2 (3 (5 4,0 4,0 4,0 4,0 Seite 20

21 Fachwerk A17) Bei dem Fachwerk sollen 2 Lastfälle verglichen werden: LF 1: Gleichlast im Untergurt von 5 kn/m LF 2: Gleichlast umgerechnet in Knotenlasten. Beantworten Sie die folgenden Fragen, bevor Sie die Lösung von RuckZuck anschauen. Geben Sie die Nullstäbe im LF 2 an. Geben Sie und im LF 1 an. Was ist bei beiden Lastfällen gleich? Welche Stäbe bekommen Druck? Welche Stäbe bekommen Zug? Welche Diagonalen bekommen Druck, welche Zug? Überschlagen Sie die Untergurtkraft in Feldmitte durch Vergleich mit einem Balken auf zwei Stützen unter Gleichlast (ql 2 /8) Überprüfen Sie O3, D3, U3 mit einem Ritterschnitt. O 1 O 2 Symmetrieachse LF 1 q = 5 kn/m LF 2 Knotenlasten V 1 D 1 5,0 U 1 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 O1 O2 O3 U1 U2 U3 LF 1 D1 D2 D3 V1 V2 V3 V4 O1 O2 O3 U1 U2 U3 LF 2 D1 D2 D3 V1 V2 V3 V4 LF 1 symmetrisch LF 1 antimetrisch Seite 21

22 weitere Fragen A17, F1) LF 2 (Knotenlasten) Ändern sich die Normalkräfte wesentlich, wenn alle Knoten biegesteif sind? Wie vielfach statisch unbestimmt ist das System bei biegesteifen Knoten? Was halten Sie von einer Handrechnung? Warum war in Zeiten, als es keine FEM Programme gab, die Annahme von Gelenken in allen Knoten genial? O1 O2 O3 U1 U2 U3 LF 2 D1 D2 D3 V1 V2 V3 V4 A17, F2) Sind die Unterschiede zum Gelenksystem größer, wenn es sich nicht um Knotenlasten handelt? A17, F3) LF 1 (Streckenlasten): Geben Sie den Momentenverlauf für den Untergurt an, wenn dieser biegesteif durchläuft. LF 1 Seite 22

23 Symmetrie / Antimetrie, Kehlbalkendach A18) Vergleichen Sie die Wirkung eines symmetrischen und eines antimetrischen Lastfalls beim Kehlbalkendach. Machen Sie sich das verschiedene Tragverhalten anhand der Momentenlinie und der Biegelinie klar. HEB 160 EA Nehmen Sie das vorgegeben Kehlbalkendach und fügen Halbgelenke im Querstab ein (u.u. Zoom). Markieren Sie das ganze System, ändern Sie auf HEB 160 und setzten Sie dann EA LF Symmetrie LF Antimetrie 8 kn/m 8 kn/m 8 kn/m 3,0 3,0 (5) (5) 2,25 2,25 4,5 in der Symmetrieachse gelten folgende Bedingungen: Q = 0 bzw. V = 0 Verdrehung ϕ = 0 in der Symmetrieachse gelten folgende Bedingungen: M = 0 N = 0 bzw. H = 0 vertikale Verschiebung w= 0 Auflagerkräfte und Momente Auflagerkräfte und Momente (5) (5) Seite 23

24 Fragen A18, F1) Wievielfach statisch unbestimmt ist das System? n = A18, F2) LF Symmetrie Wie trägt Träger --?Formel für M A18, F3) LF Antimetrie Wie trägt Träger --? Formel für M A18, F4) Welcher Belastung entspricht die Superposition beider Lastfälle? (5) (5) A18, F5) Bei welchem LF ändert sich etwas, wenn bei eine biegesteife Ecke vorliegt? Wievielfach statisch unbestimmt ist dieses System? n = A19, F6) Für welche Art von Belastungen ist ein Kehlbalkendach am wirkungsvollsten? A19, F7) Zerlegen Sie folgende Belastung in einen symmetrischen und antimetrischen Anteil: 6 kn/m = + Seite 24

25 Zweifeldträger mit elastischer Lagerung, Feder bzw. Abspannung A19) Die abgehängte Fußgängerbrücke ist durch die längsweichen Stäbe im Punkt elastisch gelagert. LF Eigengewicht g = 5 kn/m LF Verkehr feldweise p = 5 kn/m Belasten Sie die Fußgängerbrücke so, daß sich das betragsmäßig größte Stützmoment und die größte Stabkraft N - einstellt. Erstellen Sie einen sinnvollen Ausdruck, der auch die globalen Verschiebungen enthält. (5) (6) Stab - d = 20mm, St 52 1,0 1,0 Stab -(5) und Stab -(6) d = 30 mm, St 52 5,0 5,0 Träger -- HEM 120, St 37 Die elastische Aufhängung des Zweifeldträgers läßt sich genauso mit einer Feder erfassen. Die Federsteifigkeit c N der Hängekonstruktion kann man (mit dem P.d.v.K.) berechnen: c N = 2165 kn/m (kontrollieren Sie diesen Wert!). Berechnen Sie nun den Träger unter gleicher Belastung mit RuckZuck. Vergleichen Sie. Vergleichen Sie die Kraft in der Feder mit N - im obigen System. c N 5,0 5,0 1 cm = 20 knm Fragen: A19, F1) Zeichen Sie die Momentenlinien für c N und c N 0. für c N => für c N => 0 A19, F2) Welche Lastkombination ist für max M feld maßgebend? A19, F3) Kontrollieren Sie die Spannungen im Träger und den Stäben. Seite 25