Zufallsvariablen rekapituliert

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1 Zufallsvariablen rekapituliert Wolfgang Konen TH Köln, Campus Gummersbach April 2016 Mai 2017 Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

2 1 Einleitung 2 Zufallsvariablen 3 Linearität und Varianz 4 Anhang Beweis Linearität Erwartungswert, diskret Beweis Linearität Erwartungswert, stetig Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

3 Einleitung Einleitung (Diese Folien dienen als Ergänzung zum Skript MA2, nicht als dessen Ersatz.) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

4 Einleitung Einleitung (Diese Folien dienen als Ergänzung zum Skript MA2, nicht als dessen Ersatz.) Kombinatorik: muss Wahrscheinlichkeit P für jedes Ereignis neu rechnen z.b. 6 Richtige, 5 Richtige, 4... im Lotto mühsam Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

5 Einleitung Einleitung (Diese Folien dienen als Ergänzung zum Skript MA2, nicht als dessen Ersatz.) Kombinatorik: muss Wahrscheinlichkeit P für jedes Ereignis neu rechnen z.b. 6 Richtige, 5 Richtige, 4... im Lotto mühsam Zufallsvariablen: Über viele Ereignisse gemeinsam nachdenken Voraussetzung: Es gibt einen Zahlenwert, den man jedem Ereignis zuordnen kann z.b. x m = 6, 5, 4,... beim Lotto einfacher zu rechnen geht auch für unendlich viele x m (Z: abzählbar oder R: überabzählbar viele) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

6 Einleitung Begriffe Zufallsvariable: ist eine Funktion X : Ω R (keine Variable) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

7 Einleitung Begriffe Zufallsvariable: ist eine Funktion X : Ω R (keine Variable) Wahrscheinlichkeitsdichte: ist eine Funktion w : R R 0 zusätzliche Eigenschaft: w(t)dt = 1 Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

8 Einleitung Begriffe Zufallsvariable: ist eine Funktion X : Ω R (keine Variable) Wahrscheinlichkeitsdichte: ist eine Funktion w : R R 0 zusätzliche Eigenschaft: w(t)dt = 1 Erwartungswert, Varianz: E(X) und Var(X) sind bloße reelle Zahlen (genauso wie f (x) für Funktion f eine Zahl ist) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

9 Zufallsvariablen Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion X : Ω R Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

10 Zufallsvariablen Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion X : Ω R diskret stetig (o.b.d.a. x m Z) (x m R) Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsdichte: w m = P(X = x m ) = P(x m 1 < X x m ) w(t) t = P(t t < X t) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

11 Zufallsvariablen Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion X : Ω R diskret stetig (o.b.d.a. x m Z) (x m R) Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsdichte: w m = P(X = x m ) = P(x m 1 < X x m ) w(t) t = P(t t < X t) m= w m = 1 (1) lim t 0 m= w(t m ) t = w(t)dt = 1 (2) (t m = t m 1 + t) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

12 Zufallsvariablen Zufallsvariable (2) Zufallsvariable: Funktion X : Ω R Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

13 Zufallsvariablen Zufallsvariable (2) Zufallsvariable: Funktion X : Ω R diskret stetig Verteilungsfunktion F Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

14 Zufallsvariablen Zufallsvariable (2) Zufallsvariable: Funktion X : Ω R diskret stetig Verteilungsfunktion F F (x m ) = P(X x m ) m = w k (3) k= F (t) = P(X t) = t w(t )dt (4) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

15 Zufallsvariablen Zufallsvariable (2) Zufallsvariable: Funktion X : Ω R diskret stetig Verteilungsfunktion F F (x m ) = P(X x m ) m = w k (3) k= F (t) = P(X t) = t w(t )dt (4) Erwartungswert E(X) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

16 Zufallsvariablen Zufallsvariable (2) Zufallsvariable: Funktion X : Ω R diskret stetig Verteilungsfunktion F F (x m ) = P(X x m ) m = w k (3) k= F (t) = P(X t) = t w(t )dt (4) Erwartungswert E(X) E(X) = x m w m (5) E(X) = m= t w(t)dt (6) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

17 Zufallsvariablen Erwartungswert Der Erwartungswert ist eine bloße Zahl. Man schreibt oft µ = E(X). Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

18 Zufallsvariablen Erwartungswert Der Erwartungswert ist eine bloße Zahl. Man schreibt oft µ = E(X). Der diskrete Erwartungswert E(X) = m x mw m nach Gl. (5) wichtet jeden Wert x m von X mit seiner Wahrscheinlichkeit w m. Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

19 Zufallsvariablen Erwartungswert Der Erwartungswert ist eine bloße Zahl. Man schreibt oft µ = E(X). Der diskrete Erwartungswert E(X) = m x mw m nach Gl. (5) wichtet jeden Wert x m von X mit seiner Wahrscheinlichkeit w m. Beispiel: Hat X die Werte x m = 0 und 10 mit Wahrscheinlichkeit P(X = 0) = 95% und P(X = 10) = 5%, so ist der Erwartungswert E(X) = 0 95% % = 0.5 BEACHTE: Auch wenn alle x m Z, so ist i.allg. E(X) / Z. Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

20 Zufallsvariablen Erwartungswert Der Erwartungswert ist eine bloße Zahl. Man schreibt oft µ = E(X). Der diskrete Erwartungswert E(X) = m x mw m nach Gl. (5) wichtet jeden Wert x m von X mit seiner Wahrscheinlichkeit w m. Beispiel: Hat X die Werte x m = 0 und 10 mit Wahrscheinlichkeit P(X = 0) = 95% und P(X = 10) = 5%, so ist der Erwartungswert E(X) = 0 95% % = 0.5 BEACHTE: Auch wenn alle x m Z, so ist i.allg. E(X) / Z. Der stetige Erwartungswert nach Gl. (6) benutzt das Integral, das der Grenzwert einer Summe mit t 0 ist (siehe Gl. (2)). Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

21 Linearität und Varianz Linearität Erwartungswert Folgende Sätze und Definitionen gelten gleichartig für diskrete und stetige Zufallsvariablen: Satz 10-6 Linearität Erwartungswert Seien X, Y Zufallsvariablen und a, b R. Dann gilt: 1 E(aX + b) = ae(x) + b 2 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Beweis diskret Beweis stetig Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

22 Linearität und Varianz Varianz einer Zufallsvariablen Def Hat X den Erwartungswert E(X) = µ so ist die Varianz von X: σ 2 = Var(X) = E ((X µ) 2) Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz: σ = Var(X). Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

23 Linearität und Varianz Varianz einer Zufallsvariablen Def Hat X den Erwartungswert E(X) = µ so ist die Varianz von X: σ 2 = Var(X) = E ((X µ) 2) Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz: σ = Var(X). Die Varianz gibt an, wie sehr die Ergebnisse für X um den Wert E(X) herum streuen: gar nicht (Varianz Null), wenig (Varianz klein) oder viel (Varianz groß). Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

24 Linearität und Varianz Varianz einer Zufallsvariablen Def Hat X den Erwartungswert E(X) = µ so ist die Varianz von X: σ 2 = Var(X) = E ((X µ) 2) Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz: σ = Var(X). Die Varianz gibt an, wie sehr die Ergebnisse für X um den Wert E(X) herum streuen: gar nicht (Varianz Null), wenig (Varianz klein) oder viel (Varianz groß). diskret stetig Var(X) = (x m µ) 2 w m Var(X) = m= (t µ) 2 w(t)dt Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

25 Anhang Anhang Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

26 Anhang Beweis Linearität Erwartungswert, diskret Beweis Linearität Erwartungswert, diskret Seien X, Y diskrete Zufallsvariablen mit Werten x m, y n und Wahrscheinlichkeiten w m (X), w n (Y ) : 1 E(aX + b) (5) = (ax m + b)w m (X) m ( ) ( ) = a x m w m (X) + b w m (X) m m (5),(1) = ae(x) + b Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

27 Anhang Beweis Linearität Erwartungswert, diskret Beweis Linearität Erwartungswert, diskret Seien X, Y diskrete Zufallsvariablen mit Werten x m, y n und Wahrscheinlichkeiten w m (X), w n (Y ) : 1 E(aX + b) (5) = (ax m + b)w m (X) m ( ) ( ) = a x m w m (X) + b w m (X) m m (5),(1) = ae(x) + b 2 E(X + Y ) = (x m + y n )w m (X) w n (Y ) n m ( ) ( ) ( = x m w m (X) w n (Y ) + Zurück m (1) = E(X) E(Y ) n m w (X) m ) ( n y n w (Y ) n Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12 )

28 Anhang Beweis Linearität Erwartungswert, stetig Beweis Linearität Erwartungswert, stetig Seien X, Y stetige Zufallsvariablen mit Werten t, u und Wahrscheinlichkeitsdichten w X (t), w Y (u): 1... (als Übung) Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12

29 Anhang Beweis Linearität Erwartungswert, stetig Beweis Linearität Erwartungswert, stetig Seien X, Y stetige Zufallsvariablen mit Werten t, u und Wahrscheinlichkeitsdichten w X (t), w Y (u): 1... (als Übung) 2 E(X + Y ) (6) = = (t + u)w X (t)w Y (u)dtdu tw X (t) w Y (u) + w X (t) uw Y (u) (6),(2) = E(X) E(Y ) Zurück Wolfgang Konen (TH Köln) Zufallsvariablen April 2016 Mai / 12