Exemplar für Prüfer/innen

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1 Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung 9 Angabe für Prüfer/innen

2 Hinweise zur Kompensationsprüfung Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der Aufgabenstellung muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden Leitfrage ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen. Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen und die Lösungsschlüssel. Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten. Beurteilung Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden. Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema: Note zumindest erreichte Punkte Genügend Befriedigend Gut Sehr gut 4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen. Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 2/13

3 Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der Beurteilung. Grundkompetenzpunkt erreicht Leitfragenpunkt erreicht Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 3/13

4 Aufgabe 1 Lagebeziehungen von Geraden Gegeben sind die beiden Geraden g und h: g: y = x 0 h: X = ( 3 ) ( ) + t 5 4 Aufgabenstellung: mit t R Ermitteln Sie die Lagebeziehung der Geraden g und h und erklären Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Ändern Sie jeweils die Gleichung der Geraden g so ab, dass dadurch die weiteren möglichen Lagebeziehungen beschrieben werden! Geben Sie jeweils eine konkrete Gleichung an und begründen Sie Ihre Wahl! Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 4/13

5 Lösung zur Aufgabe 1 Lagebeziehungen von Geraden Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Die Geraden sind ident. Mögliche Vorgehensweise: Der Anstieg der beiden Geraden ist gleich: k g = 4 5 = 0,8. 5 Aus dem Richtungsvektor der Geraden h folgt: ( 4 ) ( ) 1 0,8, somit gilt: k = 0,8 k = k. h g h 0 Durch Einsetzen des Punktes ( 3) in die Gleichung der Geraden g erhält man 3 = Dies ist eine richtige Aussage der Punkt von h liegt auf der Geraden g g = h. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Lagebeziehung korrekt angegeben und die Vorgehensweise (sinngemäß) korrekt erklärt wird. Andere korrekte Vorgehensweisen, die zum selben Ergebnis führen, sind ebenfalls als richtig zu werten. Lösungserwartung zur Leitfrage: Damit g und h parallel sind, darf der Punkt (0 3) nicht auf g liegen, daher ist bei der Gleichung von g der Wert 3 abzuändern. Somit lautet die Gleichung z. B.: y = x. Damit g und h schneidend sind, ist der Wert der Steigung zu ändern. Zum Beispiel: y = 2 x. Jedenfalls muss der Koeffizient von x ungleich 4 5 sein. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lagebeziehungen eine korrekte Gleichung sowie eine (sinngemäß) korrekte Begründung angegeben wird. Äquivalente Gleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten. Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 5/13

6 Aufgabe 2 Rasenmäher Herr Fröhlich besitzt eine quadratische Wiese mit einer Seitenlänge von 40 m. Beim Rasenmähen fährt er in geraden parallelen Bahnen hin und her. Da der Rasenmäher eine Schnittbreite von 50 cm hat, muss er im Idealfall 80 Bahnen mähen, bis die Wiese gemäht ist. Wenn Herr Fröhlich einen breiteren oder schmäleren Rasenmäher verwendet, ändert sich auch die Anzahl der Bahnen. Die Anzahl A(B) der Bahnen, die Herr Fröhlich auf dieser Wiese mindestens mähen muss, in Abhängigkeit von der Schnittbreite B (in Metern) des Rasenmähers, den er verwendet, können modellhaft durch die Funktion A beschrieben werden. Aufgabenstellung: Vervollständigen Sie die nachstehende Tabelle, indem Sie die entsprechenden Argumentwerte zu den drei gegebenen Funktionswerten ermitteln! B A(B) Interpretieren Sie diese drei Wertepaare und erläutern Sie jeweils deren Sinnhaftigkeit! Leitfrage: Geben Sie einen Term an, der die Abhängigkeit A(B) beschreibt, wenn B in Metern angegeben wird! Geben Sie auch die mathematische Bezeichnung für diese Art von Abhängigkeit an! A(B) = Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 6/13

7 Lösung zur Aufgabe 2 Rasenmäher Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: B 0,1 0,4 40 A(B) Als sinnvoll gilt nur das mittlere Datenpaar (0,4 m 100 Bahnen). Die beiden anderen Schnittbreiten sind unrealistisch, da eine Schnittbreite von 40 m sehr groß ist und eine Schnittbreite von 10 cm sehr klein ist. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle drei Breiten richtig berechnet werden und deren Sinnhaftigkeit korrekt erläutert wird. Lösungserwartung zur Leitfrage: A(B) = 40 B A und B sind zueinander indirekt proportional. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine Funktionsgleichung und die Bezeichnung korrekt angegeben werden. Äquivalente Funktionsterme sind ebenfalls als richtig zu werten. Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 7/13

8 Aufgabe 3 Gewinn und Kosten Gegeben ist die Gewinnfunktion G mit der Gleichung G(x) = x x Dabei wird x in Stück und G(x) in Euro angegeben. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Break-even-Points (Gewinnschwellen) und interpretieren Sie das Ergebnis im gegebenen Kontext! Leitfrage: Die Stückkostenfunktion K mit K (x) = x beschreibt die Kosten pro Stück, die bei der x Herstellung von x Stück entstehen. Bestimmen Sie die Erlösfunktion E und berechnen Sie E(20)! Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 8/13

9 Lösung zur Aufgabe 3 Gewinn und Kosten Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: G(x) = 0 x x = 0 x 1 = 30 und x 2 = 60 Bei 30 bzw. 60 produzierten und verkauften Stück erzielt man keinen Gewinn (und auch keinen Verlust). Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Werte korrekt angegeben werden und die Interpretation (sinngemäß) der Lösungserwartung entspricht. Lösungserwartung zur Leitfrage: K(x) = K (x) x E(x) = G(x) + K(x) = 7 x E(20) = 140 Der Erlös bei 20 Stück beträgt 140. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Funktionsgleichung E und der Wert von 140 richtig angegeben werden. Äquivalente Funktionsgleichungen sind ebenfalls als richtig zu werten. Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 9/13

10 Aufgabe 4 Flächenberechnungen Gegeben sind zwei lineare Funktionen f 1 und f 2 mit den Funktionsgleichungen f 1 (x) = k 1 x + d 1 f 2 (x) = k 2 x + d 2 mit d 1 = d 2, wobei d 1, d 2 R + und k 1, k 2 R und k 1 < k 2 < 0 gilt. Der Graph von f 1 schneidet die x-achse im Punkt (r 0) und der Graph von f 2 schneidet die x-achse im Punkt (s 0). Es gilt: r, s R und r < s. Aufgabenstellung: Die beiden Graphen und die x-achse schließen miteinander ein Flächenstück der Größe A ein. Geben Sie einen mathematischen Ausdruck zur Berechnung des Inhalts dieses Flächenstücks an! Leitfrage: Eine Polynomfunktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d besitzt drei Nullstellen x 1, x 2 und x 3. Es gilt: x 1 < x 2 < x 3 und a > 0. Ein Schüler trifft die Aussage: Die Fläche, die der Graph von f mit der x-achse einschließt, ist durch x 3 Ist diese Aussage korrekt? Begründen Sie Ihre Antwort! x 1 f(x)dx gegeben. Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 10/13

11 Lösung zur Aufgabe 4 Flächenberechnungen Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: A = s f (x)dx 0 2 r f (x)dx 0 1 oder: A = s d 2 r d 2 Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein korrekter mathematischer Ausdruck angegeben wird. Äquivalente Ausdrücke sind ebenfalls als richtig zu werten. Lösungserwartung zur Leitfrage: Diese Aussage ist nicht korrekt! rechnerische Begründung durch Angabe des korrekten Terms: x 2 f(x)dx + x3 f(x)dx x 1 x 2 oder: Verbale Begründung: Um die Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-achse zu ermitteln, muss man von einer Nullstelle bis zur nächsten integrieren. Durch die Nullstellen wird die gesuchte Fläche in Teilflächen unterteilt, die getrennt zu berechnen sind. Die Gesamtfläche ist die Summe dieser Teilflächen. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Lösung (sinngemäß) der Lösungserwartung entspricht. Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 11/13

12 Aufgabe 5 Liebe auf den ersten Blick Bei einer Umfrage unter Frauen und Männern in Deutschland im Jahr 2012 gaben 55 % der Befragten an, dass sie an Liebe auf den ersten Blick glauben. Aufgabenstellung: Geben Sie ein 90-%-Konfidenzintervall für den Prozentsatz derjenigen Frauen und Männer in Deutsch land an, die an Liebe auf den ersten Blick glauben! Geben Sie auch die Bedeutung des Konfidenzintervalls an! Leitfrage: Erklären Sie, wie sich einerseits eine Veränderung der Stichprobengröße und andererseits eine Veränderung des Konfidenzniveaus (z. B. auf 95 %) auf die Länge des Konfidenzintervalls auswirkt! Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 12/13

13 Lösung zur Aufgabe 5 Liebe auf den ersten Blick Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: 0,55 ± 1,645 0,55 0, ,55 ± 0,0204 [52 %; 58 %] Bedeutung: Frequentistisch: Bei wiederholter Durchführung so einer Befragung und der jeweiligen Berechnung eines Konfidenzintervalls würden 90 % der Intervalle den tatsächlichen Prozentsatz der Männer und Frauen in Deutschland, die an Liebe auf den ersten Blick glauben, enthalten. Anschaulich: Das berechnete Intervall enthält den tatsächlichen Prozentsatz mit 90%iger Sicherheit (Wahrscheinlichkeit). Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl das Intervall richtig angegeben wird als auch mindestens eine der beiden Interpretationen sinngemäß vorliegt. Toleranzintervall für die untere Grenze: [0,52; 0,53] Toleranzintervall für die obere Grenze: [0,57; 0,58] Lösungserwartung zur Leitfrage: Die Länge L eines auf Basis einer Binomialverteilung berechneten Konfidenzintervalls ist: L = 2 z p q n Will man, dass das Intervall den gesuchten Anteil mit größerer Sicherheit enthält, muss man das Konfidenzniveau erhöhen, und damit wird das Intervall größer. Befragt man mehr Leute (Vergrößerung des Stichprobenumfangs), wird das Ergebnis repräsentativer, das Intervall wird also kleiner. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Aspekte (sinngemäß) richtig angeführt und erklärt werden. Kompensationsprüfung 9 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 13/13