Quadratische Funktionen
|
|
- Mathilde Bruhn
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Quadratische Funktionen ANALYSIS Kapitel 3 SprachProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname: 7. Januar 2017
2 Überblick über die bisherigen Analysis - Themen: 1 Funktionen (Grundlagen) 1.1 Einführung 1.2 Definitionen 1.3 Darstellungsmethoden 1.4 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt 1.5 Funktionen & EXCEL 1.6* Das Auffinden von Nullstellen 1.7 Funktionen & GeoGebra 1.8 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen 2 Affine Funktionen 2.1 Einführung - ein Leitprogramm 2.2 Die gegenseitige Lage affiner Funktionen 2.3 Abstandsbestimmungen 2.4 Wer kann s erklären? I
3 Inhaltsverzeichnis 3 Quadratische Funktionen Repetition Der Graph einer quadratischen Funktion Kurzeinführung in GeoGebra Der Einfluss der Parameter Der Mini-Maxi-Satz & Anwendungen Die Symmetrieeigenschaft Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen Eine Aufgabe II
4 3 Quadratische Funktionen In diesem Kapitel wirst du einen weiteren Funktionstyp kennenlernen: Die quadratische Funktion. Im ersten Abschnitt werdet ihr die im Zusammenhang mit Funktionen schon besprochenen Begriffe und Definitionen repetieren und in einigen Aufgaben zur Anwendung bringen. Im zweiten Abschnitt werden wir uns mit dem Graphen der quadratischen Funktion beschäftigen, insbesondere mit dem Einfluss der Parameter auf die Form des Graphen. Im dritten Abschnitt werden wir den Mini-Maxi-Satz und die Symmetrieeigenschaft einer quadratischen Funktion kennenlernen und die ersten Extremalaufgaben lösen. Im vierten Abschnitt dieses Kapitels werden wir dann die quadratische Gleichung & die quadratische Funktion in Zusammhang bringen und die Nullstellen diskutieren. Anschliessend folgt eine etwas grössere Aufgabe, in welche wir unser bisheriges Wissen und einge geometrische Überlegungen einbrigen werden. 3.1 Repetition Wir beginnen mit der Wiederholung der wichtigsten Begriffe & Definitionen und werden in einem zweiten Teil an einigen Beispielen und Anwendungen die Begriffe vertiefen. Erkläre/ definiere die folgenden Begriffe: f : A B heisst eine Funktion :... A heisst... und wird abgekürzt durch... B heisst... und wird abgekürzt durch... 1
5 Sei f : A B eine Funktion. Was ist ein Argument? Was ist eine Nullstelle? Was ist der Achsenabschnitt? Gib ein Beispiel einer Funktionsgleichung :... Bestimme die zugehörige Funktionsvorschrift :... Bestimme den Funktionswert an der Stelle x = 5 :... Berechne f( 5) :... Eine Funktion f : A B heisst affin :... Welche Eigenschaften einer affinen Funktion lassen sich direkt aus der Funktionsgleichung ablesen: Für die graphische Darstellung einer Funktion f : A B benötigen wir und zum Schluss eine sehr wichtige Definition: graphf :=... 2
6 Wir kommen nun zu einigen Aufgaben und Anwendungen: Die UNITED NATIONS POPULATION DIVISION liefert das folgende Zahlenmaterial über die Bevölkerungsentwicklung in Europa: Stelle die Tabelle auf der folgenden Seite graphisch dar und mache eine Prognose für die Entwicklung der Bevölkerungszahlen im Jahr 1982, im Jahr 1940, im Jahr
7 4
8 Wir werden wieder etwas mathematischer: Gegeben sind die folgenden Funktionen: f : R 0 R, x 1 2 x3 42, g : R R <0, x 5x h : R R, x x 2 9x + 20 Bestimme die folgenden Funktionswerte/ -gleichungen: ( Die Funktionsgleichungen sind ohne Berücksichtung von Definitions- und Wertebereich zu erstellen.) 1. f(1) = 2. g(2) = 3. f g( 3) = 4. g f(4) = 5. f g(x) = 6. g f(x) = 7. g f g(x) = und weiter 8. die Nullstellen von h, 9. den Achsenabschnitt von f, 10. den Schnittpunkt von g und h. 5
9 Bestimme mit Hilfe der folgenden graphischen Darstellung der Funktion f(x) den Achsenabschnitt von f, 2. die Nullstellen von f, 3. f(4), 4. {x R f(x) = 2}, 5. {x R f(x) < 2}, 6. {(x/y) y = f(x)}, 7. {(x/y) x = 3}, 8. {(x/y) y = 12}. Verifiziere so weit wie möglich Deine Resultate mit der folgenden Funktionsgleichung für f: f(x) = 0.1x x 3 1.5x x 2.1 6
10 Stelle die folgende Situation graphisch dar: f(x) = 2x 1, g(x) = 0.5x + 2, P = (4/5) 1. Bestimme den Schnittpunkt S von f mit g. 2. Bestimme den Abstand von S zur Geraden f, zur x-achse, zur Geraden g, zur y-achse. 3. Bestimme {x f(x) = g(x)} 7
11 4. Bestimme den Abstand von P zum Ursprung, zur Geraden g 5. Bestimme die Funktionsgleichung einer Geraden/ affinen Funktion, die... (a) parallel zu f verläuft, (b) parallel zu f und durch P verläuft, (c) f schneidet, (d) f schneidet und g nicht schneidet, (e) g schneidet und die x-achse nicht schneidet, (f) beide Koordinatenachse schneidet und durch den Punkt P geht, (g) f und g schneidet und nicht durch P geht, 6. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, mit A = P, B = (NS(f)/0) und C = (6/..) C graph(g) 8
12 7. Stelle die Funktionen f(x) und g(x) und den Punkt P nochmals graphisch dar und skizziere die folgenden Mengen in Deiner graphischen Darstellung : (a) {(x/y) d((x/y), P ) = 4} (b) {(x/y) d((x/y), ( 1/3)) 1, 5} (c) {(x/y) d((x/y), x-achse) > 5} 8. Beweise, dass die Geraden f und g senkrecht zueinander stehen. 9
13 Zusammenfassung: 10
14 3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion Bevor wir uns mit dem Gaphen einer quadratischen Funktion beschäftigen müssen wir diese noch definieren: Def.: Eine Funktion f : A B heisst quadratisch : Die zugehörige Funktionsgleichung ist von der folgenden Form: mit a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c Bem.: Um uns mit dem Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion und dem Einfluss der Parameter a, b und c vertraut zu machen, werden wir die folgende freeware verwenden: geogebra welche unter zu finden ist. 11
15 3.2.1 Kurzeinführung in GeoGebra GeoGebra ist eine kostenlose dynamische Mathematiksoftware, die für SchülerInnen aller Altersklassen geeignet ist und auf allen Betriebssystemen läuft. GeoGebra verbindet Geomterie, Algebra, Tabellen, Zeichnungen, Statistik und Analysis in einem einfach zu bedienenden Softwarepaket, das bereits mehrere Bildungssoftware Preise in Europa und den USA gewonnen hat. Da wir die Grundanwendungen von GeoGebra im Bereich der Funktionen schon kennen, können wir uns kurz halten... : Der Download: Die Startseite: 12
16 Eingabe von Funktionsgleichungen und hilfreiche Befehle: 1. Funktionswerte, 2. Bestimmung von NS, 3. Schnittpunkte, 4. Bestimmung von Stellen, 5. Extremas. 13
17 Bearbeitungsmöglichkeiten: unter Bearbeiten - Eigenschaften... unter Einstellungen - Zeichenblatt/ Schriftgrösse... auf der Menuleiste - Texteingabe... kopieren, speichern & drucken 14
18 Aufgaben : Wir betrachten die folgenden Funktionen: f(x) = x, g(x) = e x, h(x) = x 2 + 2x + 8 Stelle die Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch dar, dabei sollen folgende Einstellungen vorgenommen werden: Alle Graphen sollen die gleiche Linienstärke 5 und aber verschiedene Linienarten haben, Der Graph von f(x) soll blau und in der gleichen Farbe fett und kursiv mit graph(f) beschrieben sein, Das gleiche für den Graphen von g(x) in violett und den Graphen von h(x) in grün, Die Achsen sind anzuschreiben und die Einheiten in einem Abstand von 2 zu setzen, Das Koordinatengitter mit einem Abstand von 2 (in x und y Richtung) soll sichtbar sein, Die Funktionsgleichungen aller Funktionen sollen in der Darstellung vorkommen. Abschliessend soll die graphische Darstellung in ein Exceldokument eingeführt werden, in welchem eine Wertetabelle zu den drei Funktionen schon vorkommt. (Einen sinnvollen Bereich für die Argumente in der Wertetabelle soll nach der graphischen Darstellung selber gewählt werden.) 15
19 Aufgaben : Stelle die folgenden Funktionen graphisch dar: f(x) = x x 3 4.5x 2 2x + 2 g(x) = 0.5x und bestimme weiter (auf 3 Kommastellen genau) 1. die Schnittpunkte von f mit g: 2. die Nullstellen von f: 3. den Achsenabschnitt von g: 4. die folgenden Funktionswerte: f(2) =..., f( 1.5) =..., f(3) =... g(2) =..., g( 4) =..., g(0) = die lokalen Extremas von f(x): 6. die Stellen, an welcher g(x) ein Minimum hat, 7. die Stellen, an welchen f(x) den Wert -1 hat. Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 0 (Zugehörige Lösungen) 16
20 Arbeiten mit Parameter und Schieberegler: Um den Einfuss von Parametern (sog. Formvariablen) auf den Graphen zu untersuchen, gibt es bei GeoGebra den praktischen Schieberegler, welchen wir an einem und schon bekannten Beispiel einführen werden: mit a = b = f(x) = ax + b 17
21 3.2.2 Der Einfluss der Parameter Wir verwenden für unsere ersten Untersuchungen natürlich den Schieberegler von GeoGebra: Aufgaben : Stelle die Funktion f(x) = x 2 graphisch dar und untersuche den Einfluss der Parameter in den folgenden Funktionsvorschriften x ax 2, x x 2 + n, x (x m) 2 x (x m) 2 + n, x a(x m) 2 + n auf den Verlauf der Graphen, im Vergleich zu graph(f) und fasse in eigenen Worten den Einfluss der Parameter a, m und n auf den Graphen der Normalparabel zusammen: Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 1 (Zugehörige Lösungen) 18
22 Wir wollen nun den Graphen einer allgemeinen quadratischen Funktion diskutieren und den folgenden Fragen nachgehen: f(x) = ax 2 + bx + c hat was für eine F orm? was für eine Lage? Auf Grund unserer Vorarbeit kennen wir die Form und Lage von folgendem Funktionstyp: f(x) = a (x m) 2 + n Durch Termumformungen und Koeffizientenvergleich werden wir nun den Einfluss der Parameter a, b und c auf den Graphen der allgemeinen quadratischen Funktion bestimmen: f(x) = = = = ax 2 + bx + c = f(x) Zusammengefasst gilt: 19
23 Aufgaben : 1. Gegeben ist f(x) = 3x 2 5x Bestimme (a) die Form, (b) den Scheitelpunkt, (c) das Maximum, (d) das Minimum. 2. Gegeben ist g(x) = 2x 2 + 3x Bestimme (a) das Maximum, (b) das Minimum, (c) die Nullstellen. 3. Bestimme eine eigene quadratische Funktion: h(x) =... und (a) die Form, (b) den Scheitelpunkt, (c) das Maximum, (d) das Minimum, (e) den Definitionsbereich, (f) den Wertebereich, (g) die Nullstellen, (h) den Achsenabschnitt. 20
24 Aufgaben : Bestimme die charakteristischen Grössen der folgenden Funktionen f(x) = 2x 2 + x + 5 g(x) = 0.25x + 3 h(x) = 0.5x und skizziere die zugehörigen Graphen: und kontrolliere deine Lösungen mit GeoGebra. Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 2 (Zugehörige Lösungen) 21
25 3.3 Der Mini-Maxi-Satz & Anwendungen Wir wollen uns in diesem Kapitel theoretisch mit zwei Eigenschaften der quadratischen Funktion beschäftigen, die wir praktisch schon verwendet haben: Die y-koordinate des Scheitelpunktes ist gleich dem Maximum/ Minimum der zugehörigen quadratischen Funktion: Der Graph einer quadratische Funktion ist achsensymmetrisch: 22
26 Satz.: (Der Mini-Maxi - Satz) Eine quadratische Funktion f(x) = ax 2 + bx + c hat 1. mit a > 0 das Minimum c b2 4a (an der Stelle x = b 2a ) 2. mit a < 0 das Maximum c b2 4a (an der Stelle x = b 2a ) Beweis : Wir werden die Beweise für 1. und 2. indirekt führen, dass heisst, wir gehen davon aus, dass die Aussage des Satzes falsch ist und werden dann zeigen, dass dies nicht sein kann. 1. Wir nehmen also an, dass c b2 4a Minimum von f(x) ist. nicht das y W(f) : y = f(x) < c b2 4a x D(f) : ax 2 + bx + c < c b2 4a a(x + b 2a )2 + c b2 4a < c b2 4a a(x + b 2a )2 < 0 2. Analog wird auch die zweite Aussage des Mini- Maxi - Satzes bewiesen: 23
27 Anwendungen : 1. Wir betrachten die folgende Funktion: f(x) = x 2 + x 6 Bestimme das Maximum und das Minimum und die zugehörigen Argumente von für x D(f), mit (a) D(f) = R (b) D(f) = [0, 4] (c) D(f) = [0, 4[ (d) D(f) =] 5, 1 2 [ (e) D(f) = [ 5, 5[ Bestimme weiter einen Definitionsbereich für f, so dass f (a) kein Maximum und kein Minimum, (b) ein Maximum und kein Minimum, (c) kein Maximum und ein Minimum hat. Bestimme in der mathematisch beschreibenden Form: (a) {x D(f) f(x) > 0} (b) {x D(f) f(x) < 0} (c) {x D(f) f(x) = 0} 24
28 2. Von zwei Zahlen ist bekannt, dass die eine um 8 grösser ist ald die andere. (a) Gib das Produkt dieser Zahlen als eine Funktion an: (b) Skizziere den zugehörigen Graphen: 25
29 3. Wir gehen von folgender Situtation aus und betrachten die Rechtecke OQP R, wobei die Ecke O im Ursprung, die Ecke P auf dem graph(g) und das ganze Rechteck im 1. Quadranten liegen soll. i. Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks OQP R, wenn der Punkt P die Koordinaten A. (3 /?) B. (2.5 /? ) C. (x /?) hat. ii. Für welche Lage von P auf dem Graphen von g wird der Flächeninhalt am grössten? 26
30 Wir wollen diese Anwendung noch etwas ausbauen und verwenden dazu die folgende graphische Darstellung einer quadratischen Funktion f: (a) Bestimme die Nullstellen von f. (b) Zeichne ein Rechteck im 1. Quadranten mit dem Ursprung als ein Eckpunkt, unterhalb des Graphen von f liegend und einem weiteren Eckpunkt auf dem Graphen von f ein. (c) Bestimme den maximalen Flächeninhalt für ein solches Rechteck. (d) Bestimme die Längen, für welche der Flächeninhalt des Rechtecks gleich 50 ist. (e) Bestimme die Längen, für welche der Flächeninhalt des Rechtecks gleich 20 ist. 27
31 3. Aus einer dreieckigen Marmorplatte soll eine rechteckige Platte herausgesagt werden. (a) Zeige mit Hilfe des Strahlensatzes, dass fur die Lange l und die Breite b des Rechtecks folgendes gilt: 5l + 7b = 350cm (b) Wie müssen Lange und Breite gewahlt, damit man die rechteckige Platte den grosstmöglichen Flacheninhalt erhält? Wie gross ist dieser? 28
32 Aufgaben : Ein rechtekiges Grundstück mit einer Fläche von A = 1 026m 2 hat den Umfang U = 130m. 1. Berechne die Länge & Breite des Grundstückes. 2. Optimiere Länge & Breite so, dass bei gleichem Umfang der Flächeninhalt maximal/minimal wird. 3. Vermutung einer Verallgemeinerung? Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 3 (Zugehörige Lösungen) 29
33 3.4 Die Symmetrieeigenschaft Wir wollen nun noch die schon im letzten Abschnitt erwähnte Eigenschaft der Symmetrie beweisen: Satz: (Symmetrieeigenschaft) Eine quadratische Funktion f(x) = ax 2 + bx + c ist symmetrisch bzgl. der Achse x = b 2a. 30
34 3.5 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen Wir wollen in diesem Abschnitt unsere Kenntnisse aus den Kapiteln Lösen von Gleichungen Grundlagen der Funktionen mit den Erkenntnissen, welche wir in diesem Kapitel Die quadratische Funktion schon gewonnen haben, zusammentragen, um uns ein Bild von einer quadratischen Funktion und der Lage und Anzahl ihrer Nullstellen zu machen. Wir gehen aus, von der quadratischen Funktion f(x) = : x D(f) heisst eine Nullstelle von f : wir suchen somit die Lösungen von welcher Gleichung? also einer Gleichung von welchem Typ: die wir lösen können mit und die zugehörige Lösungsmenge welche Mächtigkeit haben kann? unter welchen Bedingungen: und verteilt sind diese Lösungen 31
35 Graphischer & algebraischer Zusammenhang: 32
36 Aufgabe : Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den entsprechenden Graphen zu: f(x) = 2x 2 + 2x + 12 g(x) = (x + 2)(x 3) h(x) = (x 2)(x + 3) i(x) = (x 1) 2 j(x) = ( x + 1) 2 33
37 Zusammenfassung: Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 4 (Zugehörige Lösungen) 34
38 3.6 Eine Aufgabe Hausaufgabe : Bereite die folgenden Fragen und Aufgabenstellungen vor, d.h.:... überlege, ob Du die Frage/ Aufgabe verstanden hast,... schreibe auf, was Du nicht verstanden hast,... notiere was zu tun ist, um Deine Unklarheiten zu beseitigen,... formuliere einen Lösungsansatz, einen Lösungsweg. Gegeben sind die Parabel f(x) = 2x 2 + 6x + 20 & die Gerade g(x) = 2x Skizziere die Situation. 35
39 2. Spiegle den Graphen von f an der x-achse und bestimme die neue Funktionsgleichung in der Form f 2 (x) = a 2 x 2 + b 2 x + c Der Graph von f wird verschoben, so dass der Scheitelpunkt S die Koordinaten (4/4) hat. Bestimme die neue Funktionsgleichung f 3 (x) = a 3 x 2 + b 3 x + c 3. 36
40 4. Spiegle den Graphen von f an der y-achse und bestimme die neue Funktionsgleichung in der Form f 4 (x) = a 4 x 2 + b 4 x + c Bestimme die Schnittpunkte von f mit g. 37
41 6. Bestimme die Funktionsgleichung der zu g parallelen Geraden h(x), welche den Graphen von f nur berührt. Analysis-Aufgaben: Quadratische Funktionen 5 (Zugehörige Lösungen) 38
Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen 3. Kapitel aus meinem Lehrgang ANALYSIS Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 1. März 2011 Überblick über die bisherigen Analysis - Themen: 1 Funktionen (Grundlagen)
MehrQuadratische Funktionen
Quadratische Funktionen ANALYSIS Kapitel 3 MNProfil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 27. Februar 2016 Überblick über die bisherigen Analysis - Themen: 1 Funktionen
MehrEinführung in GeoGebra
Fachtage Herbst 10 KSOe Einführung in GeoGebra Klasse 3v (R. Balestra) 10. Dezember 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Zielsetzung 2 1.1 Arbeitsablauf............................. 3 2 Repetitionen
MehrPotenz- & Exponentialfunktionen
Potenz- & Exponentialfunktionen 4. Kapitel aus meinem ANALYSIS - Lehrgang MNprofil - MIttelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 24. Oktober 2011 Überblick über
MehrRationale Funktionen
Rationale Funktionen ANALYSIS Kapitel 6 WRProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 15. August 2016 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen:
MehrRationale Funktionen
Rationale Funktionen ANALYSIS Kapitel 6 Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 26. Juni 2012 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen: 1 Funktionen
MehrFunktionen (Grundlagen)
Funktionen (Grundlagen) 1. Kapitel aus meinem ANALYSIS - Lehrgang Sprachprofil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 23. November 2011 Inhaltsverzeichnis
MehrEinführung in GeoGebra
ICT an der KZN Einführung in GeoGebra Funktionen Grundlagen & erste Anwendungen Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 9. März 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Zielsetzung
MehrAffine Funktionen. ANALYSIS Kapitel 2 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich
Affine Funktionen ANALYSIS Kapitel 2 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 6. Juni 2017 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen: (* nur
MehrEinführung in GeoGebra
ICT an der KZN Einführung in GeoGebra Funktionen (Grundlagen) Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 21. Februar 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Zielsetzung 2 2
MehrAffine Funktionen. ANALYSIS Kapitel 2 SprachProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich
Affine Funktionen ANALYSIS Kapitel 2 SprachProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 11. August 2016 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen:
Mehr1. Teil Repetitionen zum Thema (bisherige) Funktionen
Analysis-Aufgaben: Rationale Funktionen 2 1. Teil Repetitionen zum Thema (bisherige) Funktionen 1. Die folgenden Funktionen sind gegeben: f(x) = x 3 x 2, g(x) = x 4 + 4 (a) Bestimme die folgenden Funktionswerte/-
MehrQuadratische Funktionen Arbeitsblatt 1
Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1 Spezielle quadratische Funktion Die Funktionsgleichung einer speziellen quadratischen Funktion hat die Form y = 3 x 2. Der dazugehörige Graph heißt Parabel. Bei einer
MehrBeschränktheit, Monotonie & Symmetrie
Beschränktheit, Monotonie & Symmetrie ein Referat Dies ist eine Beilage zum Gruppen-SOL - Projekt Potenz- & Exponentialfunktionen Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch November 2015 Inhaltsverzeichnis
MehrEinführung in GeoGebra Geometrie
ICT an der KZN Einführung in GeoGebra Geometrie Ähnlichkeit Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 28. Februar 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Zielsetzung 2 2 freeware
MehrAffine Funktionen. 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ANALYSIS (FMS-Version)
Affine Funktionen 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ANALYSIS (FMS-Version) Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch e-mail: theorie@ronaldbalestra.ch 22. Oktober 2009 Überblick über die bisherigen
MehrPotenz- & Exponentialfunktionen
Potenz- & Exponentialfunktionen ANALYSIS Kapitel 4 Sprachprofil - Oberstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 17. Januar 2012 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen:
MehrDifferentialrechnung. ANALYSIS Kapitel 7 SprachProfil - Oberstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich
Differentialrechnung ANALYSIS Kapitel 7 SprachProfil - Oberstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 3. September 2012 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen: 1 Funktionen
MehrFolgen & Reihen. ANALYSIS Kapitel 5 MNProfil - Mittelstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich
Folgen & Reihen ANALYSIS Kapitel 5 MNProfil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 30. April 2012 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen: 1 Funktionen
MehrPotenz- & Exponentialfunktionen
Potenz- & Exponentialfunktionen 4. Kapitel aus meinem Lehrgang ANALYSIS Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch e-mail: theorie@ronaldbalestra.ch 8. Februar 2009 Überblick über die bisherigen
MehrSelbständiges Arbeiten. Oberstufe - KSOe (SprachProfil) GeoGebra. Klasse 6bw. Okt. 2011 / R. Balestra
Selbständiges Arbeiten Oberstufe - KSOe (SprachProfil) GeoGebra Klasse 6bw Okt. 2011 / R. Balestra Inhaltsverzeichnis 1 Ziel 2 2 freeware GeoGebra - Der Download 3 3 Die Eingabe von Funktionen 4 3.1 Bearbeitungsmöglichkeiten......................
MehrWiederholung Quadratische Funktionen (Parabeln)
SEITE 1 VON 7 Wiederholung Quadratische Funktionen (Parabeln) VON HEINZ BÖER 1. Regeln a) Funktionsvorschriften Normalform f(x) = a x² + b x + c Normalparabel: f(x) = x 2 Graf der Normalparabel Die einfachste
MehrArbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.
Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der
MehrTrigonometrie. Geometrie - Kapitel 3 Sprachprofil - Mittelstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie - Kapitel 3 Sprachprofil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 31. Januar 2013 Überblick über die bisherigen ALGEBRA - Themen:
MehrLineare Funktionen Arbeitsblatt 1
Lineare Funktionen Arbeitsblatt 1 Eine Funktion mit der Gleichung y = m x + b heißt lineare Funktion. Ihr Graph ist eine Gerade mit der Steigung m. Die Gerade schneidet die y-achse im Punkt P(0 b). Man
MehrEinführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten
Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,
MehrÜ b u n g s a r b e i t
Ü b u n g s a r b e i t Aufgabe. a) Die Querschnittsfläche eines Abwasserkanals ist im unteren Teil von einer Parabel k begrenzt, an die sich nach oben die beiden Geraden g und h anschließen. Bestimmen
MehrSysteme von linearen Ungleichungen
Systeme von linearen Ungleichungen ALGEBRA Kapitel 6 WRProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 28. Februar 2016 Überblick über die bisherigen ALGEBRA
MehrArbeitsblätter Förderplan EF
Arbeitsblätter Förderplan EF I.1 Nullstellen bestimmen Lösungen I.2 Parabeln: Nullstellen, Scheitelpunkte,Transformationen Lösungen I.3 Graphen und Funktionsterme zuordnen Lösungen II.1 Transformationen
Mehrd) Die Parabel verläuft symmetrisch zur Achse durch die Punkte ( 1 0,5) und (2 5,5).
Dokument mit 26 Aufgaben Aufgabe A Der Wasserstrahl eines Springbrunnens hat eine Höhe von 6 und eine Weite von 6. Martin hat Lust unter dem Wasserstrahl durchzulaufen. a) Wähle ein geeigneters Koordinatensystem
Mehry x oder y 3x. Nenne eine Gleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt im Ursprung hat und nach oben geöffnet ist.
Parabeln Magische Wand Parabeln Magische Wand 10.1 10. 10.3 10.4 10.5 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 30.1 30. 30.3 30.4 30.5 50.1 50. 50.3 50.4 50.5 70.1 70. 70.3 70.4 70.5 100.1 100. 100.3 100.4 100.5 10.1 10.1 10.1
MehrLineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag,
Lineare Funktionen Aufgabe 1: Welche der folgenden Abbildungen stellen eine Funktion dar? Welche Abbildungen stellen eine lineare Funktion dar? Ermittle für die linearen Funktionen eine Funktionsgleichung.
MehrMengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname:
Mengenlehre ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 21. August 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre 1 1.1 Die Menge im mathematischen
MehrTrigonometrie. Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 29. Januar 2012 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie 1 3.1 Warum Trigonometrie........................
MehrVorbereitung auf die erste Klassenarbeit
01 QUADRATISCHE FUNKTIONEN Wiederholungen Alles um Quadratische Funktionen Vorbereitung auf die erste Klassenarbeit Aufgabe 1: Schuljahr 2017/18 Seite 1/12 Aufgabe 2: Schuljahr 2017/18 Seite 2/12 Aufgabe
MehrErgänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)
Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 005 Prüfungsfach: Mathematik (technische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 16. Juni 005 Prüfungsdauer: 09:00-1:00 Uhr Hilfsmittel: elektronischer,
Mehrf. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5
11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y =
MehrMengenlehre - KurzVersion
Mengenlehre - KurzVersion 1. Kapitel aus meinem ALGEBRA - Lehrgang Sprachprofil / WRProfil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 18. August 2014 Inhaltsverzeichnis
MehrLeitprogramm Funktionen
3. Quadratische Funktionen (Zeit 10 Lektionen) Lernziel: Grundform y = ax + bx + c und Scheitelform y = a(x + m) + n der Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen kennen. Bedeutung der Parameter a,
MehrVektorgeometrie - Teil 1
Vektorgeometrie - Teil 1 MNprofil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 14. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung & die analytische Darstellung der
MehrBestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle.
Klasse Art Schwierigkeit Mathematisches Schema Nr. 9 Üben xx Quadratische Funktion 1 Skizziere den Graphen der durch y = 0,5 x 2 + x - 4 gegebenen quadratischen Funktion. Bestimme dazu die Nullstellen,
MehrQuadratische Funktionen Die Normalparabel
Quadratische Funktionen Die Normalparabel Kreuze die Punkte an, die auf der Normalparabel liegen. A ( 9) B ( ) C ( 9) D ( ) E (9 ) F (0 0) Die Punkte A bis J sollen auf der Normalparabel liegen. Gib, falls
MehrLineare Funktion Eigenschaften von linearen Funktionen Übungen Bearbeite zu jeder der gegebenen Funktionen die Fragen:
Lineare Funktion Eigenschaften von linearen Funktionen Übungen - 3 2.0 Bearbeite zu jeder der gegebenen Funktionen die Fragen: steigt oder fällt der Graph der Funktion? schneidet der Graph die y-achse
Mehr5.3. Abstrakte Anwendungsaufgaben
Aufgabe.. Abstrakte Anwendungsaufgaben In den Raum zwischen der x-achse und dem Graphen von f(x) = x x + soll ein Rechteck möglichst großer Fläche gelegt werden, dessen Ecken auf dem Graphen liegen. Wie
MehrMathematik 1. Klassenarbeit Klasse 10e- Gr. A 28. Sept Quadratische Funktionen - ups -
Mathematik. Klassenarbeit Klasse 0e- Gr. A 8. Sept. 006 Quadratische Funktionen - ups - Name:.... Aufgabe:. Die Tabellen gehören zu quadratischen Funktionen der Form y=x²+bx+c. ergänze die fehlenden Zahlen
Mehrm und schneidet die y-achse im Punkt P(0/3).
Aufgabe (Pflichtbereich 999) Eine Parabel hat die Gleichung y x 6x, 75. Bestimme rechnerisch die Koordinaten ihres Scheitelpunktes. Berechne die Entfernung des Scheitelpunktes vom Ursprung des Koordinatensystems.
MehrAufgabenpool zur Quereinstiegsvorbereitung Q1
Aufgabenpool zur Quereinstiegsvorbereitung Q Vereinfachen Sie nachfolgende Terme soweit wie möglich.. 6 a + 8b + 0c 4a + b c x y + z 7x + y z,8u +,4v 0,8w + 0,6u, v + w r + s t r + 6s + t. ( a + 7 + (9a
MehrÜbungen zu Kurvenscharen
Übungen zu Kurvenscharen. Gegeben ist die Geradenschar g t : = (t ) ( t) + 9 (t 9) mit D(g t ) = R, t R. a) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen g und g in ein Koordinatensstem. b) Geben Sie die Schnittpunkte
MehrAufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.
I. Nullstellen Arbeitsblatt I.1 Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird, sonst nicht. Beispiele:
MehrWas ist eine Funktion?
Lerndomino zum Thema Funktionsbegriff Kopiereen Sie die Seite (damit Sie einen Kontrollbogen haben), schneiden Sie aus der Kopie die "Dominosteine" zeilenweise aus, mischen Sie die "Dominosteine" und verteilen
MehrAbschlussprüfung Fachoberschule 2016 Mathematik
Abschlussprüfung Fachoberschule 06 Aufgabenvorschlag A Funktionsuntersuchung /6 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x) = x + x; x IR. Berechnen Sie die Funktionswerte f( x ) für folgende
MehrIch kenne den Nullproduktsatz und kann ihn anwenden, um Gleichungen in faktorisierter Form (wie (2x+5) (7 5x)=0 ) zu lösen.
Klasse 9c Mathematik Vorbereitung zur Klassenarbeit Nr. am 1..018 Themen: Quadratische Funktionen und Gleichungen Checkliste Was ich alles können soll Ich kenne die allgemeine Form f(x) = ax²+bx+c und
MehrFunktionsgraphen (Aufgaben)
Gymnasium Pegnitz JS 9 August 2007 Funktionsgraphen (Aufgaben) 1. Betrachte die beiden linearen Funktionen f(x) = x + 2 und g(x) = x 3 und die quadratische Funktion p(x) = f(x) g(x) (a) Zeichne die Graphen
Mehrmathphys-online QUADRATISCHE FUNKTIONEN
QUADRATICHE FUNKTIONEN Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt eite Zuordnungsvorschriften, Funktionsgraph ymmetrie. ymmetrie zur. ymmetrie zu einer Parallelen zur Nullstellen Anzahl der Nullstellen 7 cheitel
MehrLineare Funktionen und Funktionenscharen
. Erkläre folgende Begriffe: a) Ursprungsgerade b) Steigung bzw. Steigungsdreieck c) Steigende u. fallende Gerade d) Geradenbüschel, Parallelenschar e) y- Achsenabschnitt f) Lineare Funktion g) Normalform
Mehr1. Lineare Funktionen und lineare Gleichungen
Liebe Schülerin! Lieber Schüler! In den folgenden Unterrichtseinheiten wirst du die Unterrichtssoftware GeoGebra kennen lernen. Mit ihrer Hilfe kannst du verschiedenste mathematische Objekte zeichnen und
Mehr2.5 Funktionen 2.Grades (Thema aus dem Bereich Analysis)
.5 Funktionen.Grades (Thema aus dem Bereich Analysis) Inhaltsverzeichnis 1 Definition einer Funktion.Grades. Die Verschiebung des Graphen 5.1 Die Verschiebung des Graphen in y-richtung.........................
Mehr- G1 - Grundlagen der Mathematik - Bruchrechnen - MSS Böblingen. Einstiegsaufgaben: Merke: a) Addieren von Brüchen. b) Subtrahieren von Brüchen.
MSS Böblingen - Bruchrechnen - - G - Einstiegsaufgaben: a a a) + = 6x 4x a + a b) = 6x x a a c) = 6x 4x a a d) : = 6x 4x e) 7 = Merke: a) Addieren von Brüchen b) Subtrahieren von Brüchen c) Multiplizieren
Mehr1. Bestimmen Sie jeweils das allgemeine Folgeglied der Folge (a n )! 2. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch folgende Punkte!
1 Folgen und Reihen 1. Bestimmen Sie jeweils das allgemeine Folgeglied der Folge (a n )! (a) (a n ) = (1; 3; 5; 7;...) (b) (a n ) = ( 3 2 ; 6 5 ; 9 10 ; 12 17 ; 15 26 ;...) 2. Bestimmen Sie die ersten
MehrLogarithmusfunktion zur Basis 2, Aufgaben. 7-E Vorkurs, Mathematik
Logarithmusfunktion zur Basis 2, Aufgaben 7-E Vorkurs, Mathematik Logarithmusfunktion zur Basis 2: Aufgaben 7-9 Aufgabe 7: Bestimmen Sie eine vertikale Asymptote für die folgenden Funktionen: f ( x) =
Mehr1. Gegeben sind die Scheitelpunkte von Parabeln. Gib die Funktionsgleichungen an. a) S(-3/5) b) S(-1/-8) c) S(1/-0,5) d) S(0,5/0,2)
Vermischte Übungen (1) Verschiebung der Normalparabel 1. Gegeben sind die Scheitelpunkte von Parabeln. Gib die Funktionsgleichungen an. a) S(-3/5) b) S(-1/-8) c) S(1/-0,5) d) S(0,5/0,). In der Abbildung
MehrQuadratische Funktionen
Lernlandkarte Quadratische Funktionen Achsenschnittpunkte y-achsenabschnitt: = Allgemeine Parabelgleichung = + + Nullstellen: = p-q-formel + + = 0 / = ± Öffnung, Dehnung, Stauchung Aufstellen der Funktionsgleichung
MehrTrigonometrie. Geometrie. Kapitel 3, 4 & 5. MNProfil - Mittelstufe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie Kapitel 3, 4 & 5 MNProfil - Mittelstufe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 25. März 2019 Überblick über die bisherigen Geometrie - Themen: 1 Ähnlichhkeit 1.1
MehrSysteme von linearen Ungleichungen
Systeme von linearen Ungleichungen ALGEBRA Kapitel 6 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 28. Februar 2016 Überblick über die bisherigen ALGEBRA
Mehr1.7. Die indirekte (umgekehrte) Proportionalität. a x heisst umgekehrte (indirekte) Proportionalität.
34 1.7. Die indirekte (umgekehrte) Proportionalität a Die Funktion f : y = a 0, 0 heisst umgekehrte (indirekte) Proportionalität. Spezialfall a = 1: f: Bilde den Kehrwert der gegebenen Zahl. An der Stelle
MehrLösungen zum Arbeitsblatt: y = mx + b Alles klar???
I. Zeichnen von Funktionen a) Wertetabelle x -4-3 - -1 0 1 3 4 y =,5x -10-7,5-5 -,5 0,5 5 7,5 10 y = - x,7 1,3 0,7 0-0,7-1,3 - -,7 3 y = x 1,5-9,5-7,5-5,5-3,5-1,5 0,5,5 4,5 6,5 y = - 1 x + 4 3,5 3,5 1,5
MehrQuadratische Funktionen
Quadratische Funktionen Aufgabe 1 Verschieben Sie die gegebenen Parabeln so, dass ihr Scheitelpunkt in S liegt. Gesucht sind die Scheitelpunktsform und die allgemeine Form der Parabelgleichung a) y = x²,
MehrÜbungsaufgaben zur Kurvendiskussion
SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen
MehrÜbungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln
Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln Gegeben sind die Parabeln: h(x) = 8 x + 3 x - 1 9 und k(x) = - 8 x - 1 1 8 x + 11 a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte A und C der Graphen
MehrBerechnung der Schnittpunkte durch Gleichsetzung. Bestimmung der Scheitelpunkte von und. Verdeutlichung der Situation durch ein Schaubild.
Lösung W3a/2010 Aufstellung der Geradengleichungen und. Schnittpunktberechnung von durch Gleichsetzung. Aufstellung der Parabelgleichung durch die Punkte und. Umstellung der allgemeinen Parabelgleichung
MehrTrigonometrie. 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie. Ronald Balestra CH St. Peter
Trigonometrie 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch 17. August 2008 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie 46 3.1 Warum Trigonometrie........................
MehrPotenzen, Wurzeln & Logarithmen
Potenzen, Wurzeln & Logarithmen 4. Kapitel aus meinem ALGEBRA - Lehrgang Sprachprofil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 22. November 2011 Überblick über die bisherigen
Mehrund schneidet die -Achse im Punkt 0 3. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von und. Lösung: 4 1;2 4
7 Aufgaben im Dokument Aufgabe P5/2010 Die nach unten geöffnete Parabel hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. Die Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt
Mehr3 Differenzialrechnung
Differenzialrechnung 3 Differenzialrechnung 3.1 Ableitungsregeln Übersicht Beispiel Vorgehen Potenzfunktionen f(x) = x 4 f (x) = 4 x 3 f(x) = x f (x) = 1 x 0 = 1 f(x) = x Hochzahl f (x) = Hochzahl x Hochzahl
MehrFUNKTIONEN. ein Leitprogramm für die Berufsmaturität
FUNKTIONEN ein Leitprogramm für die Berufsmaturität von Johann Berger 2000 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Arbeitsanleitung 3 1 Der Funktionsbegriff 3 2 Lineare 6 3 Quadratische 10 EINLEITUNG Dieses Leitprogramm
MehrDie gebrochenrationale Funktion
Die gebrochenrationale Funktion Definition: Unter einer gebrochenrationalen Funktion versteht man den Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen, d.h. Funktionen der Form f :x! a n xn + a n 1 x n 1 +...+
MehrMathematik 9. Quadratische Funktionen
Mathematik 9 Funktionen Eine Zuordnung f, die jedem x einer Menge D (Definitionsmenge) genau ein Element y = f(x) einer Menge Z (Zielmenge) zuordnet, heißt Funktion. Dabei heißt y = f(x) Funktionswert
MehrAnalysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen
A1 Funktionen/Funktionsklassen 1 Grundbegriffe Analysis A 1.1 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2 x 2 + x. a) Bestimme, wenn möglich, die Funktionswerte an den Stellen 0, 4 und 2. b) Gib die maximale
MehrF u n k t i o n e n Quadratische Funktionen
F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen Eine Parabolantenne bündelt Radio- und Mikrowellen in einem Brennpunkt. Dort wird die Strahlung detektiert. Die Form einer Parabolantenne entsteht durch die
Mehr2.2 Funktionen 2.Grades (Thema aus dem Bereich Analysis)
. Funktionen.Grades (Thema aus dem Bereich Analysis) Inhaltsverzeichnis 1 Definition einer Funktion.Grades. Der Parameter a 3 3 Die Verschiebung des Graphen 5 3.1 Die Verschiebung des Graphen in y-richtung........................
MehrSymmetrie zum Ursprung
Symmetrie zum Ursprung Um was geht es? Betrachten wir das Schaubild einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad, z.b.: f : R R x f x = 2 15 x3 23 15 x Wertetabelle x f(x) -3 1,0-2 2,0-1 1,4 0 0 1-1,4
MehrFolgen & Reihen. ANALYSIS Kapitel 5 WRProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich
Folgen & Reihen ANALYSIS Kapitel 5 WRProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 17. Mai 2016 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen: 1 Funktionen
MehrAnalysis 5.
Analysis 5 www.schulmathe.npage.de Aufgaben Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = 2 e 2 x 2 (x D f ) a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion
MehrDie nach oben geöffnete Normalparabel verläuft durch die Punkte 1 5 und Die Parabel hat die Gleichung 2. Besitzen die beiden Parabeln
Dokument mit 11 Aufgaben Aufgabe W3a/2010 Im Schaubild sind die Geraden und dargestellt. Entnehmen Sie zur Bestimmung ihrer Gleichungen geeignete Werte. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts
Mehr5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen
.. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion, Fläche zwischen zwei Schaubildern () Untersuchen Sie f(x) x x und g(x) x auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrempunkts sowie
MehrGraph der linearen Funktion
Graph der linearen Funktion Im unten stehenden Diagramm sind die Grafen der Funktionen f und g gezeichnet (a) Stelle die Gleichungen von f und g auf und berechne die Nullstellen der beiden Funktionen (b)
MehrFunktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen. Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts
Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen Funktionen Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts Ein Lesetext Informationen - Überblick Datei Nr. 800 Stand:
MehrFolgen & Reihen. 5. Kapitel aus meinem Lehrgang ANALYSIS. Ronald Balestra CH St. Peter
Folgen & Reihen 5. Kapitel aus meinem Lehrgang ANALYSIS Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch e-mail: theorie@ronaldbalestra.ch 31. Januar 2009 Überblick über die bisherigen ANALYSIS
MehrÜbungsaufgaben für die schriftliche Prüfung in Mathematik
Übungsaufgaben für die schriftliche Prüfung in Mathematik Aufgabe 1) Bestimme den Scheitelpunkt der quadratischen Funktionen 1. Über die quadratische Ergänzung. Über die Ableitung der Funktion a) f(=x²
MehrAufgabe Was wissen Sie über die Symmetrie ganzrationaler Funktionen?
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.0 Lösungen VBKA Ganzrationale Funktionen I Zur Vorbereitung einer Klassenarbeit en: A A A A A A A4 A4 n n Was bedeutet: f(x) = a x + a x +... + a x + a x +
MehrQUADRATISCHE FUNKTIONEN
QUADRATISCHE FUNKTION DARSTELLUNG MIT DER FUNKTIONSGLEICHUNG Allgemeine Form - Vorzeichen von a gibt an, ob die Funktion nach oben (+) oder unten (-) geöffnet ist. Der Wert (Betrag) von gibt an, ob die
MehrAufgaben zu den ganzrationalen Funktionen
Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen 1. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. a) y = x + x 6 b) y = x 3 3x + x c) y = (x + 4)(x + x ) d) y = x 4 5x + 4 e) y = x 3 + x
Mehry = a(x x 0 ) 2 + y 0 (1) Zunächst, um a zu bestimmen, benutzen wir die Bedienung dass f(x) durch P = (1; 2) läuft. Also:
FU Berlin: WiSe 1-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 7 Aufgabe 8 Der Graph einer Funktion f : R R bestehe aus einem nach unten geöffneten Parabelbogen mit Scheitelpunkt S = ( 1; 4), welche im
MehrParabeln und quadratische. Gleichungen. 3.1 Die Gleichung y = ax 2
Parabeln und quadratische Gleichungen In Klasse 7 hast du schon Geraden und Hperbeln als Funktionsgraphen kennen gelernt. Jetzt lernst du eine weitere Kurve kennen, und zwar die Parabel, zunächst aber
MehrGeben Sie an, wie die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion von den Parametern a und b der Funktion abhängt!
Aufgabe 3 Quadratische Funktion und ihre Nullstellen Gegeben ist eine quadratische Funktion f mit der Gleichung f(x) = a x 2 + b mit a 0 und a, b. Skizzieren Sie den Graphen einer möglichen quadratischen
MehrLineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen
Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem Funktionen Funktion: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem x D wird genau eine reelle Zahl zugeordnet. Schreibweise: Funktion: f: x f (x)
MehrM_G7 EF Pvn Klausurvorbereitung: Lösungen 13. Oktober Klausurvorbereitung. Lösungen
Klausurvorbereitung Lösungen I. Funktionen Funktionen und ihre Eigenschaften S. 14 Aufg. 2 f(-2)=0,5 f(0,1)=-10 f(78)= 1 78 g(-2)=-7 g(0,1)=-2,8 g(78)=153 h(-2)=57 h(0,1)=23,82 h(78)=11257 D f = R/{0}
MehrAufgabe zum Thema: Gebrochen - rationale Funktionen
Aufgabe zum Thema: Gebrochen - rationale Funktionen Eine gebrochen-rationale Funktion Z (x) hat als Zähler- N (x) funktion Z (x) eine lineare Funktion und als Nennerfunktion N (x) eine ganz-rationale Funktion
Mehr