Vorkurs Mathematik im Sommersemester 2018

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1 Vorkurs Mathematik im Sommersemester 2018 Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 1 Aufgabe 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: Es ist kalt. B: Es schneit. Drücken Sie die nachfolgenden Sätze als aussagenlogische Formeln mit Hilfe der Variablen A und B aus. (a) Es ist kalt, aber es schneit nicht. (b) Es ist nicht kalt und es schneit nicht. (c) Es schneit oder es ist kalt (oder beides). (d) Entweder es schneit oder es ist kalt, aber nicht beides. (e) Wenn es schneit, ist es kalt. (f) Es schneit nicht, wenn es nicht kalt ist. (g) Es schneit oder es ist kalt, aber es schneit nicht, wenn es kalt ist. (a) A B (b) A B (c) B A (d) B A (B A) (e) B A (f) A B (g) B A (A B) Aufgabe 2. Beweisen Sie: (A B) A B. Wir geben zwei verschiedene Beweise an: Mit einer Wahrheitstafel: A B A B (A B) B A B w w w f f f w f f w w w f w w f f f f f w f w f Da die Einträge in der Wahrheitstafel von (A B) und A B übereinstimmen, folgt (A B) A B. Mit den Rechenregeln der Aussagenlogik: (A B) ( A B) ( A) B A B. Bei der zweiten Umformung wird die de Morgansche Regel verwendet. Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass A ( B A) B eine Tautologie ist, (a) indem Sie die Wahrheitstafel angeben.

2 2 (b) indem Sie die Rechenregeln der Aussagenlogik verwenden. (a) Mit einer Wahrheitstafel: A B A B B A A ( B A) A ( B A) B w w f f w f w w f f w w f w f w w f w w w f f w w f f w Da alle Einträge in der Wahrheitstafel von A ( B A) B w sind, handelt es sich um eine Tautologie. (b) Mit den Rechenregeln der Aussagenlogik: A ( B A) B ( A ( ( B) A)) B ( A (B A)) B ( A) ( (B A)) B A ( (A B)) B (A B) (A B). Dabei wurde der Reihe nach die äquivalente Darstellung von, die doppelte Negation, die de Morgansche Regel für, die doppelte Verneinung und das Kommutativgesetz für verwendet. Die letzte Aussage ist offensichtlich eine Tautologie, denn sie ist von der Form C C mit C = A B. Aufgabe 4 (Das Lügner-Paradoxon). Welche der folgenden Sätze sind Aussagen? Sind sie wahr oder falsch? (a) Ich lüge immer. (b) Ich lüge jetzt gerade. (c) Ich lüge nie. (a) Es gibt zwei Möglichkeiten: 1. Fall: Ich lüge immer. Dann lüge ich aber auch jetzt, und somit ist der Satz Ich lüge immer. falsch, ein Widerspruch. 2. Fall: Ich lüge nicht immer, d.h. ich sage mindestens einmal die Wahrheit. Somit ist der Satz Ich lüge immer. falsch. Dies ist aber kein Widerspruch, da ich ja nicht immer die Wahrheit sagen muss, sonder nur mindestens einmal. Es handelt sich also um eine falsche Aussage. (b) Wir zeigen, dass es keine Aussage ist. Dazu nehmen wir an, dass es sich um eine Aussage handelt und führen dies zu einem Widerspruch. 1. Fall: Die Aussage ist wahr. Dann lüge ich, während ich Ich lüge jetzt gerade. sage, und somit ist die Aussage falsch.

3 2. Fall: Die Aussage ist falsch. Dann sage ich jetzt die Wahrheit, was dann aber eine Lüge sein muss. Beide Fälle sind widersprüchlich, also handelt es sich nicht um eine Aussage. (c) Auch hier unterscheiden wir zwischen zwei Fällen. 1. Fall: Ich lüge nie. Dann sage ich auch jetzt die Wahrheit und somit ist der Satz Ich lüge nie. wahr. 2. Fall: Ich lüge mindestens einmal. Somit ist Ich lüge nie. falsch. Beide Fälle sind nicht widersprüchlich. Es handelt sich um eine Aussage, aber deren Wahrheitswert hängt davon ab, ob ich immer die Wahrheit sage oder nicht. Aufgabe 5. Auf einer Insel gibt es zwei Arten von Menschen: Ritter: sagen immer die Wahrheit. Schurken: lügen immer. (a) Sie treffen zwei Inselbewohner A und B. Inselbewohner A sagt: Wenn ich ein Ritter bin, so ist B auch einer. Welchem Typ gehören A und B an? (b) Drei Inselbewohner A,B und C machen folgende Aussagen: A: B und C sind Ritter. B: A ist ein Schurke und C ist ein Ritter. Welchem Typ gehören A,B und C an? Diese Art von Aufgabe lässt sich durch logisches Denken oder durch Erstellen einer Wahrheitstafel lösen. Bei mehr als zwei Personen wird die Methode mit der Wahrheitstafel allerdings relativ aufwändig. (a) Wir zeigen, wie man die Aufgabe mit einer Wahrheitstafel lösen kann. Seien A und B die Aussagen X: A ist ein Ritter Y : B ist ein Ritter. Es muss also gelten X (X Y ). X Y X Y X (X Y ) w w w w w f f f f w w f f f w f Die einzige Möglichkeit, dass X (X Y ) wahr ist, ist, wenn X und Y wahr sind. Also müssen A und B beide Ritter sein. Alternativer Lösungsweg: Wir machen eine Fallunterscheidung: 1. Fall: A ist ein Ritter. Dann ist die Aussage Wenn A ein Ritter ist, so auch B wahr. Also ist B auch ein Ritter. 2. Fall: A ist ein Schurke. Dann ist die Aussage Wenn A ein Ritter ist, so auch B falsch. Diese Aussage kann aber nur falsch sein, wenn A ein Ritter ist und B ein Schurke. Da der zweite Fall unmöglich ist, müssen A und B beide Ritter sein. (b) Auch hier machen wir eine Fallunterscheidung: 3

4 4 1. Fall: A ist ein Ritter. Dann sind B und C auch Ritter. Also sagt B die Wahrheit, was aber bedeuten würde, dass A ein Schurke ist. Dieser Fall ist also nicht möglich. 2. Fall: A ist ein Schurke. Also lügt A und somit muss B oder C ein Schurke sein. Falls B ein Ritter wäre, so würde B die Wahrheit sagen und damit müsste auch C ein Ritter sein. Dies widerspricht aber der Annahme, dass A lügt. Also ist B ein Schurke. Somit lügt B, was bedeutet, dass A ein Ritter ist oder C ein Schurke. Da aber A ein Schurke ist, muss C ein Schurke sein. Insgesamt können wir also folgern, dass A, B und C alle Schurken sind. Aufgabe 6. Verneinen Sie die folgenden Redewendungen und Sprichwörter: (a) Es ist nicht alles Gold, was glänzt. (b) Marmor, Stein und Eisen bricht, aber Omas Plätzchen nicht! (c) Für jeden Topf gibt es einen passenden Deckel. (d) Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt, wie es ist. (e) Entweder regnet es in Münster, oder es läuten die Glocken; und geschieht beides gleichzeitig, so ist Sonntag. (a) Alles, was glänzt, ist Gold. (b) Marmor, Stein oder Eisen bricht nicht, oder Omas Plätzchen brechen. (c) Es gibt einen Topf, für den es keinen passenden Deckel gibt. (d) Der Hahn kräht auf dem Mist, aber das Wetter ändert sich nicht und es bleibt nicht, wie es ist. (e) Es regnet nicht in Münster und die Glocken läuten nicht, oder es geschieht beides gleichzeitig, aber es ist nicht Sonntag. Aufgabe 7. Sei L(x, y) die Aussageform x liebt z. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die natürliche Sprache. (a) x y : L(x,y) (b) x y : L(y,x) (c) x y : L(x,y) L(y,x) (d) x y : L(x,y) L(y,x) (e) x : L(x,x) y : (y x L(x,y)) (a) Jeder liebt jeden. (b) Es gibt jemanden, den niemanden liebt. (c) Es gibt zwei Personen, die sich gegenseitig lieben. (d) Jeder liebt jemanden, der ihn nicht liebt. ( Jeder ist in eine Person unglücklich verliebt. ) (e) Jeder liebt sich selbst und sonst niemanden. Aufgabe 8. Drücken Sie die folgenden Sätze mit Hilfe der logischen Symbole aus und überlegen Sie, ob die Sätze wahr oder falsch sind. (a) Die Gleichung x 2 + x + 1 = 0 ist lösbar in den reellen Zahlen.

5 5 (b) Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere Primzahl. 1 (c) Es gibt eine natürliche Zahl, die alle natürlichen Zahlen ungleich 0 teilt. 2 (d) Jede ganze Zahl ist entweder gerade oder ungerade. (e) Die Menge (0,1) hat ein größtes Element. 3 (a) x R : x 2 + x + 1 = 0. Dies ist eine falsche Aussage, da für p = q = 1 gilt ( ) 2 p 2 q = = 4 3 < 0 (pq-formel). (b) n N p P : p > n. Dies ist eine wahre Aussage, da es unendlich viele Primzahlen gibt (wird am Dienstag in der Vorlesung bewiesen). (c) n N m N \ {0} : n m. Wahr, man kann n = 1 wählen. (d) n Z k Z : (n = 2k n = 2k + 1). Offensichtlich wahr. (e) x (0,1) y (0,1) : y x. Dies ist eine falsche Aussage, denn falls x (0,1), so gilt x < 1+x 2 < 1 und 1+x 2 (0,1). 1 Die Menge aller Primzahlen wird üblicherweise mit P bezeichnet. 2 Die natürlichen Zahlen ungleich 0 werden mit N \ {0} bezeichnet. Teilbarkeit kann man formal wie folgt ausdrücken: Man schreibt n m für n teilt m. 3 (0,1 := {x R 0 < x < 1} ist die Menge aller reellen Zahlen x mit 0 < x < 1.)