Tensoren. Oliver Jin, Florian Stöttinger, Christoph Tietz. January 24, 2012

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1 Tensoren Oliver Jin, Florian Stöttinger, Christoph Tietz January 24, 2012

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung Einstein sche Summenkonvention Ko- und Kontravariant Stufen Transformationsverhalten Symmetrie Tensoralgebra Beispiele von Tensoren Kronecker-Delta Metriktensor Beispiele für Metriktensoren Epsilontensor Anwendungen Pseudotensor Trägheitstensor

3 Einleitung Begrifferklärung Tensor (lat. tendo: ich spanne ) Chronologie 1840: Einführung des Begriffes durch Hamilton Spannungstensor durch Maxwell : Entwicklung der Tensorrechnung durch Ricci-Curbastro und Levi-Civita Einstein: Verwendung bei allgemeiner Relativitätstheorie

4 Einstein sche Summenkonvention Bsp: Matrixmultiplikation n (A B) ij = A ik B kj = A ik B kj k=1 Bsp: Standardskalarprodukt a b = n a i b i = a i b i i=1

5 Ko- und Kontravarianz Schreibweise Index oben kontravariant a i, A ij, B ijk,... Index oben kovariant a i, A ij, B ijk,...

6 Ko- und Kontravarianz Darstellung eines Vektors a = a i g j a = a i g j a i, a i : Ko- und kontravariante Komponenten g j, g j : Ko- und Kontravariante Basisvektoren

7 Ko- und Kontravarianz Kovariante Basisvektoren Kontravariante Basisvektoren ( g α ) i = x i q α ( g α ) i = qα x i

8 Metrikkoeffizienten Die Metrikkoeffizienten sind Skalarprodukte der Basisvektoren. Kovariante Metrikkoeffizienten g ij = g i g j Kontravarianze Metrikkoeffizienten g ij = g i g j Gemischte Metrikkoeffizienten g i j = g i g j = δ i j

9 Stufen 0.Stufe: Skalar, 0-fach indizierte Größe, Zahl 1.Stufe: Vektor, 1-fach indizierte Größe, Zahlenspalte 2.Stufe: Matrix, 2-fach indizierte Größe, rechteckiges Zahlenschema 3.Stufe: 3-fach indizierte Größe, quaderförmiges Zahlenschema n.stufe: n-fach indizierte Größe,

10 Definition Tensor 0.ter Stufe λ( q j ) = λ(q j ) Tensor 1.ter Stufe b i = a j i b j b i = a i jb j Tensor 2.ter Stufe t kl = a m k an l t mn t kl = a k ma l nt mn

11 Symmetrie Symmetrisch bezüglich der Indizes j, k, wenn gilt: t ijk = t ikj Anti-Symmetrisch bezüglich der Indizes j, k, wenn gilt: t ijk = t ikj Symmetrisch Anti-Symmetrisch t 11 t t 1j t 21 = t 12 t t 2j (t ij ) = t j1 = t 1j t j2 = t 2j... t jj 0 t t 1j t 21 = t t 2j (t ij ) = t j1 = t 1j t j2 = t 2j... 0

12 Tensoraddition Nur gleichartige Tensoren können summiert werden A ij k + Bij k = C ij k

13 Verjüngung eines Tensors Verallgemeinerung des Konzeptes der Spur einer Matrix Beispiele T ij j T ik li = U i = T k l T ii = λ

14 Tensorprodukt Beispiel: 2 Tensoren 2.Stufe Tensor 4.Stufe A B = A ij B k l = C ijk l Beispiel: 2 Vektoren Tensor 2.Stufe a b = a i b j = T ij

15 Überschiebung Überschiebung = Verjüngung eines tensoriellen Produktes A ijk B ljm = C ijk ljm = Dik lm

16 Beispiele von Tensoren Kroneckerdelta Metriktensor Pseudovektor Epsilontensor Trägheitstensor Tensor n.stufe Tensor 2.Stufe Tensor n.stufe Tensor 2.Stufe Symmetrisch Symmetrisch Voll Anti-Symetrisch Symmetrisch

17 Kronecker-Delta Definition δ ij = { 1 falls i = j 0 falls i j Kronecker-Delta (δ ij ) =

18 Kronecker-Delta Austauschen der Indizes a j = δ j i ai a i = δ i j a j Kronecker-Delta (δ ij ) =

19 Metriktensor Die Matrix der Metrikkoeffzienten transformiert sich wie ein Tensor Metriktensor Komponenten des Metriktensors sind die Metrikkoeffizienten g ij g 11 g 12 g g 1j g 21 g 22 g g 2j (g ij ) = g 31 g 32 g g 3j g i1 g i2 g i3... g ij g 1 g 1 g 1 g 2 g 1 g 3... g 1 g j g 2 g 1 g 2 g 2 g 2 g 3... g 2 g j = g 3 g 1 g 3 g 2 g 3 g 3... g 3 g j g i g 1 g i g 2 g i g 3... g i g j

20 Ebene Polarkoordinaten Kovarianter Metriktensor (g ij ) = Kontravarianter Metriktensor Kontrolle: (g ij ) (g ij ) = (g ij ) = ( ) r 2 ( ) r 2 ( ) r 2 ( ) = 0 r 2 ( ) 1 0 = δ 0 1 ij

21 Zylinderkoordinaten Kovarianter Metriktensor (g ij ) = 0 r Kontravarianter Metriktensor (g ij ) = r Kontrolle: (g ij ) (g ij ) = 0 r = = δ r 2 ij

22 Kugelkoordinaten Kovarianter Metriktensor (g ij ) = 0 r r 2 sin 2 ϑ Kontravarianter Metriktensor (g ij ) = r r 2 sin 2 ϑ Kontrolle: (g ij ) (g ij ) = 0 r = = δ 0 0 r 2 sin 2 r 2 ij 1 ϑ r 2 sin 2 ϑ

23 Kartesische Koordianten Ko- und Kontravariante Metriktensoren (g ij ) = = (g ij ) = = δ ij Es gibt in euklidischen Vektorräumen keinen Unterschied zwischen Ko- und Kontravariant. Der Tensorformalismus ist erfüllt.

24 Rechnen mit dem Metriktensor Hinaufziehen (und Austauschen) der Indizes a i = g ij a j t il = g ij t l j t il = g ij g lk t jk Hinunterziehen (und Austauschen) der Indizes a i = g ij a j t il = g ij t l j t il = g ij g lk t jk

25 Rechnen mit dem Metriktensor Skalarprodukt a b = g ij a i b j Kartesisch a b = g ij a i b j = δ ij a j b i = a i b i = λ

26 Levi-Civita-Symbol antisymmetrischer Tensor n.ter Stufe Definition ε 12...n = 1 ε ij...u...v... = ε ij...v...u... In drei Dimensionen: ε 123 = ε 312 = ε 231 = 1 ε 321 = ε 213 = ε 132 = 1

27 Levi-Civita-Symbol ε ijk als Determinante dreier orthogonaler Einheitsvektoren ε ijk = ê i (ê j ê k ) = det ê i ê j ê k Produkt zweier Epsilon-Tensoren ε ijk ε lmn = δi l δi m δi n δj l δj m δj n δk l δk m δk n ε ijk ε imn = δ m j δ n k δn j δ m k ε ijk ε ijn = 2δ n k ε ijk ε ijk = 3! = 6

28 Levi-Civita-Symbol Kreuzprodukt ( a b) i = ε ijk a j b k

29 Pseudovektor Winkelgeschwindigkeit v = ω r Tensordarstellung Ω = v = Ω r 0 ω z ω y ω z 0 ω x ω y ω x 0

30 Traegheitstensor symetrischer Tensor 2.ter Stufe L = I ω I a b = i m i (r 2 i δ a b r a i r ib ) I = i m i yi 2 + z 2 i x i y i x i z i y i x i xi 2 + zi 2 y i z i z i x i z i y i xi 2 + yi 2