Logik und Künstliche Intelligenz

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1 Logik und Künstliche Intelligenz Kurze Zusammenfassung (Stand: 14. Januar 2010) Prof. Dr. V. Stahl Copyright 2007 by Volker Stahl. All rights reserved.

2 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung Seite 2 0.4pt0.1pt Logik Syntax Symbole: Konstantensymbole, Variablensymbole, Funktionssymbole, Relationssymbole,,,,,,,, (, ), Kommas. Term: Konstantensymbol, Variablensymbol oder f(t 1,...,t n ) wobei f ein n-stelliges Funktionssymbol und t 1,...,t n Terme sind. Atomare Formel: P(t 1,...,t n ) wobei P ein n-stelliges Relationssymbol und t 1,...,t n Terme sind. Formel: atomare Formel oder F, (F G), (F G), (F G), (F G), x F, x F wobei F,G Formeln und x ein Variablensymbol ist. Relativierte Quantoren x A F(x) x (x A F(x)) x A F(x) x (x A F(x)) Spezielle Existenzquantoren Es gibt mindestens ein x (normaler Existenzquantor): x F(x). Es gibt höchstens ein x. Anders ausgedrückt: Wenn s zwei gibt, dann sind die gleich, d.h. x 1,x 2 (F(x 1 ) F(x 2 )) x 1 = x 2. Es gibt genau ein x bedeutet es gibt mindestens ein x und es gibt höchstens ein x.!x F(x) x F(x) ( x 1,x 2 (F(x 1 ) F(x 2 )) x 1 = x 2 ). Umformungsregeln Aussagenlogik. F F F G F G (F G) F G F (G H) (F G) (F H) Alle Gesetze gelten auch wenn man und austauscht. Beweis durch Wahrheitstabelle.

3 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung Seite 3 Prädikatenlogik x F x F x F x F x F x G x (F G) x F x G x (F G) Die Regeln gelten auch für relativierte Quantoren. Gebundene Umbenennung darf immer durchgeführt werden. Vorsicht: Im allgemeinen ist x F x G x (F G) x F x G x (F G) Im Spezialfall wenn x in G nicht frei vorkommt gilt aber x G G x G G x (F G) x F G x (F G) x F G x (F G) x F G x (F G) x F G

4 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung Seite 4 Mengen Notation Ist F(x) eine Formel mit einer freien Variablen x, dann bezeichnet {x F(x)} die Menge aller Objekte x für die die Formel F(x) wahr ist. Funktioniert nicht immer, z.b. {x x x} ist keine Menge (Russelsche Antinomie). Ist t(x) ein Term und A eine Menge, dann ist Beispiel Definitionen Tupel {t(x) x A} = {y x x A y = t(x)}. {z/n z Z n N} = {q z,n z Z n N q = z/n} = Q. A B x (x A x B) A = B A B B A A B A B A B A B = {x x A x B} A B = {x x A x B} A \ B = {x x A x B} P(A) = {B B A} 2-Tupel (Paar) (a,b) = {{a}, {a,b}} n-tupel (a 1,...,a n ) = ((a 1,...,a n 1 ),a n ) 1-Tupel (a) = a Kartesisches Produkt A B = {(a,b) a A,b B} = {p a A b B p = (a,b)} A 2 = A A A n = A n 1 A = (...((A A) A)... A) A A 1 = A

5 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung Seite 5 Relationen Definitionen R heißt Relation auf A und B wenn R A B. R heißt Relation, wenn es Mengen A und B gibt so dass R A B. R heißt Relation auf A wenn R A A. R heißt n-stellige Relation auf A wenn R A n. Eigenschaften zweistelliger Relationen auf A Infixnotation: xry statt (x, y) R. R reflexiv auf A R symmetrisch R transitiv x A xrx. x,y (xry yrx). x,y,z ((xry yrz) xrz). R antisymmetrisch x,y((xry yrx) x = y). Umkehrrelation R 1 = {(y,x) xry} Spezielle zweistellige Relationen auf A R Äquivalenzrelation auf A wenn R relexiv auf A, symmetrisch und transitiv. Äquivalenzklasse von x bzgl. R K a = {x xra}. R Halbordnung auf A wenn R reflexiv auf A, antisymmetrisch und transitiv ist. R totale Ordnung auf A wenn R Halbordnung auf A ist und x,y A (xry yrx).

6 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung Seite 6 Funktionen Partielle Funktionen Ein Tripel f = (A,B,R) heißt partielle Funktion, wenn R A B und zu jedem a A höchstens ein b B existiert mit arb. Definitionsbereich von f def(f) = {a b arb} Wertebereich (Bildbereich) von f bild(f) = {b a arb}. Notation: { das b mit arb falls a def(f) f(a) = undefiniert sonst Totale Funktionen Eine (totale) Funktion ist eine partielle Funktion f = (A,B,R) mit der zusätzlichen Eigenschaft dass zu jedem a A genau ein b B existiert mit arb. Folglich ist bei einer Fuktion f(a) nie undefiniert. Menge aller Funktionen von A nach B A B = {(A,B,R) R A B a A!b B arb}. Eigenschaften von Funktionen f injektiv f surjektiv a 1,a 2 A (a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 )). b B a A arb f ist bijektiv wenn f injektiv und surjektiv ist. Wenn f bijektiv ist, dann ist auch f 1 = (B,A,R 1 ) eine bijektive Funktion. Diese Funktion heißt Umkehrfunktion von f. Komposition von Funktionen Ist f A B und g B C, dann ist g f A C mit (g f)(x) = g(f(x)).

7 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung Seite 7 Eigenschaften zweistelliger Funktionen auf A f heißt zweistellige Funktion auf A wenn f (A A) A. Zweistellige Funktionen werden i.a. in Infix Notation geschrieben und mit einem intuitiven Symbol (z.b. oder ) bezeichnet. kommutativ assoziativ x,y A x y = y x x,y,z A (x y) z = x (y z) distributiv über Folgen x,y,z A x (y z) = (x y) (x z) x,y,z A (y z) x = (y x) (z x) Eine Funktion f heißt Folge der Länge n über A wenn f {1,2,...,n} A. Eine Funktion f heißt endliche Folge über A wenn es ein n N 0 gibt so dass f Folge der Länge n über A ist. Die Menge aller endlicher Folgen über A wird mit A bezeichnet. Abzählbarkeit Eine Menge A heißt abzählbar, wenn es eine injektive Funktion f A N gibt. Anschaulich bedeutet das, dass man jedem a A seine persönliche Hausnummer zuordnen kann. Für die Informatik heißt das, dass jedes a A durch eine eindeutige Bitfolge dargestellt werden kann, d.h. die Menge A kann als Datentyp implementiert werden.

8 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung Seite 8 Beweistechniken Zu jedem Zeitpunkt im Beweis liegen zwei Mengen von Formeln vor: Annahmen: Formeln, von denen man annehmen darf, dass sie wahr sind. Zu zeigen: Formeln, von denen man zeigen muss, dass sie wahr sind. In einem Bewies werden diese Mengen nach festen Regeln schrittweise verändert so lange bis die zu zeigenden Formeln eine Teilmenge der Annahmen sind. Außer den nachfolgenden Beweisregeln dürfen zu jeder Zeit äquivalente Umformungen der Formeln gemacht werden. Auch gebundene Umbenennung ist immer erlaubt. Wenn keine Regel für logische Symbole anwendbar ist, müssen Definitionen von verwendeten Relations- oder Funktionssymbolen eingesetzt werden. Beweisregeln für aussagenlogische Symbole Ausgangssituation Beweisschritt Regel Ann. A B A B Umformung Ann. A Wenn-dann Regel z.zg. A B B Ann. A Widerspruchsbeweis z.zg. A B, B für beliebige Formel B Ann. A B Fall 1: A Fallunterscheidung Fall 2: B z.zg. A B A B Umformung Ann. A B A,B z.zg. A B Schritt 1: A Zerlegen in Schritt 2: B Teilprobleme Ann. A B A durch B ersetzen u.a. Einsetzen z.zg. A durch B ersetzen von Definitionen z.zg. A B (A B) (B A) Umformung Ann. A, A B B Modus Ponens

9 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Zusammenfassung Seite 9 Beweisregeln für Quantoren Ausgangssituation Beweisschritt Regel Ann. x F(x) F(t) für beliebigen Spezialfall Term t ohne Variablen Ann. x beliebig aber fest Elimination (x ab jetzt Konstante) Allquantor z.zg. x F(x) F(x) Ann. x F(x) x so dass F(x) Benennen (x ab jetzt Konstante) z.zg. x F(x) F(t) für einen Beispiel konstruieren beliebigen Term t Ann.!x F(x) x F(x), Umformung x 1,x 2 (F(x 1 ) F(x 2 )) x 1 = x 2 z.zg.!x F(x) x F(x), Umformung x 1,x 2 (F(x 1 ) F(x 2 )) x 1 = x 2