Grenzmatrix und Fixvektor Modellierung eines Umschüttvorgangs

Transkript

1 S 1 Grenzmatrix und Fixvektor interessante Entdeckungen bei der Modellierung eines Umschüttvorgangs Dr. Peter Scholl, Siegburg M 1 Leckerer Milchkaffee einen Umschüttvorgang modellieren In einem Krug sind vier Tassen Milch und in einer Kanne zwei Tassen schwarzer Kaffee. Sebastian nimmt aus dem Krug eine Tasse Milch und gibt sie unter Umrühren in die Kanne zu dem Kaffee. Dann füllt er aus der Kanne eine Tasse Milchkaffee ab und gibt sie unter Umrühren in den Krug. Aufgabe a) Übertragen Sie die Problemstellung stichpunktartig in die Diagramme. Beschriften Sie hierzu die vier Darstellungen. b) Beschreiben Sie den Vorgang ausgehend von Darstellung 4 durch ein Übergangsdiagramm. Dabei sei MK der Milchkrug und KK die Kaffeekanne. Übergangsdiagramm: [Menge Milch im MK in Darstellung 1] x = [Menge Milch in der KK in Darstellung 4] [Menge Kaffee in der KK in Darstellung 1] y = [Menge Kaffee im MK in Darstellung 4] c) Übertragen Sie das Übergangsdiagramm in eine (2x2)-Übergangsmatrix A. x A = 1 x y 1 y

2 S 2 M 2 Einen Umschüttvorgang modellieren Folienvorlage In einem Krug sind vier Tassen Milch und in einer Kanne zwei Tassen schwarzer Kaffee. Sebastian nimmt aus dem Krug eine Tasse Milch und gibt sie unter Umrühren in die Kanne zu dem Kaffee. Dann füllt er aus der Kanne eine Tasse Milchkaffee ab und gibt sie unter Umrühren in den Krug. Übergangsdiagramm: Lösung zur Selbstkontrolle 5 1 A = s = MilchimMilchkrug MilchinKaffeekanne mit s 0 = 4 0

3 S 3 M 3 Wiederholtes Umschütten die stationäre Verteilung erreichen In einem Krug sind vier Tassen Milch und in einer Kanne zwei Tassen schwarzer Kaffee. Sebastian nimmt aus dem Krug eine Tasse Milch und gibt sie unter Umrühren in die Kanne zu dem Kaffee. Dann füllt er aus der Kanne eine Tasse Milchkaffee ab und gibt sie unter Umrühren in den Krug. Diesen Umschüttvorgang wiederholt er nun so oft, bis sich die Milch- und Kaffeeanteile in Krug und Kanne nicht mehr ändern. Dieser Zustand heißt stationäre Verteilung A = Der Umschüttvorgang lässt sich durch folgende Übergangsmatrix A und den Zustandsvektor s beschreiben: Milch im Milchkrug s = Milch in Kaffeekanne 4 Zu Beginn beschreibt s0 = die Verteilung der Milch in den Gefäßen. Nach einmaligem 0 2 Umschütten erhält man s1 = A s0 und nach zweimaligem Umschütten s 2 = A s 1 = A s. 0 Wenn schließlich der Zustand s erreicht ist, tritt bei nochmaligem Umschütten keine Veränderung mehr ein. Aufgabe a) Untersuchen Sie den Vorgang des wiederholten Umschüttens durch Berechnen der Matrizen A 2, A 4 und A 8. Bestimmen Sie die auftretenden Zustände s 2, s 4, s8 und s 8 nach zweimaligem, viermaligem und achtmaligem Umschütten ausgehend vom Startzustand s 0. b) Stellen Sie ausgehend von den Ergebnissen aus Teil a) eine Vermutung für eine Grenzmatrix G = lim A auf. n n Rechnen Sie zuerst mit Brüchen. Notieren Sie anschließend die Matrixelemente als Dezimalzahl, um die Grenzwerte zu erkennen. Bestimmen Sie eventuell noch A 16. c) Bestimmen Sie das Mischungsverhältnis in Krug und Kanne, bei dem durch den Umschüttvorgang keine Veränderung mehr eintritt, d.h. den Endzustand s, für den A s = s gilt. Das Gleichungssystem hat mehrere Lösungen. Nutzen Sie die Anfangsbedingung s0 = aus, um den Endzustand zu ermitteln. 4 0 d) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus Teil c) mit der Grenzmatrix G, für die gilt: 4 s = G s0 = G. 0

4 S 5 Rund um die Einzelstunde Klasse Dauer Inhalt 13 (LK und GK) 2 bis 3 Stunden einen Übergangsprozess durch ein Übergangsdiagramm und eine Übergangsmatrix modellieren, den stabilen Endzustand (= die stationäre Verteilung) eines Umschüttvorgangs ermitteln, dazu die Grenzmatrix bestimmen bzw. ein unterbestimmtes Gleichungssystem lösen und dieses Ergebnis im Sachzusammenhang interpretieren Ihr Plus ein mathematisches Modell auf eine konkrete Problemstellung anwenden Training der Matrizenrechnung Didaktisch-methodische Hinweise Die Behandlung von Übergangs- und stochastischen Matrizen im Unterricht ist in den Richtlinien für die Oberstufe festgeschrieben. Wie die bisherigen Abituraufgaben gezeigt haben, besteht hier eine besondere Hürde für die Schülerinnen und Schüler darin, zwischen den verschiedenen Darstellungsformen (Text, Übergangsdiagramm und Matrix) zu wechseln. Beim Einsatz des Materials soll dieser Aspekt auf keinen Fall neben der Behandlung von Grenzmatrix und stabiler Verteilung vernachlässigt werden. Material M 1 dient als Einstieg in die Problemstellung. Es sichert ein breites Verständnis im gesamten Kurs. Die Aufgabenstellung entstammt den Beispielen aus den Richtlinien. Die dort getroffene Entscheidung, die Übergangsmatrix nicht aufstellen zu lassen, sondern nur zu bestätigen, spiegelt die Schwierigkeit wider, die in diesem Modellierungsprozess steckt. Erörtern Sie das Problem im Unterrichtsgespräch und stellen Sie sowohl das Diagramm als auch die Matrix gemeinsam auf. Zusatzmaterial auf der CD-ROM Auf der CD-ROM 33 inden Sie ein Applet zur dynamischen Präsentation des Umschüttvorgangs über ein Smartboard. (Alternativ können Sie M 2 auf Folie kopieren und als Einstieg zeigen.) Diskutieren Sie die Problemstellung mit den Schülerinnen und Schülern. Meist verstehen sie die Aufgabe sehr gut. Achten Sie darauf, dass sich die Diskussionsbeiträge aufeinander beziehen. Sammeln Sie Argumente für oder gegen die verschiedenen Standpunkte. Weisen Sie zur Überprüfung darauf hin, dass die Spaltensumme einer Übergangsmatrix immer gleich eins ist. Optimal ist es, wenn die Fragestellung nach dem Endzustand als Was passiert nach mehrmaligem Umschütten? aus dem Gespräch erwächst und die beiden Grundideen zur Lösung ebenfalls schon angedacht werden. Als Zusammenfassung der Gesprächsergebnisse kann der folgende Tafelbildentwurf dienen. Tafelbildentwurf Was passiert nach mehrmaligem Umschütten? 1. Idee Für den Endzustand gilt: A s = s Gleichungssystem ist zu lösen., d.h. er ist stationär. Dieses unterbestimmte

5 S 7 Leitideen L 1 (Zahl und Zahlbereich); L 2 (Algorithmus); L 3 (Messen); L 4 (Raum und Form); L 5 (Funktionaler Zusammenhang); L 6 (Daten und Zufall) Anforderungsbereiche I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Relektieren Lösungen und Tipps zum Einsatz M 1 Leckerer Milchkaffee einen Umschüttvorgang modellieren b) Anhand der vierten Darstellung kann man erkennen, dass von vier Tassen Milch schließlich 2/3 Tassen in der Kaffeekanne sind. Also ist 1/6 der Flüssigkeit aus dem Milchkrug nun in der Kaffeekanne und 5/6 verbleiben in dem Milchkrug. Analog sind 2/3 Tassen Kaffee von den insgesamt zwei Tassen aus der Kaffeekanne in den Milchkrug umgefüllt worden, das sind 1/3 des Kaffees und 2/3 verbleiben in der Kaffeekanne. c) Aus dem Diagramm ergibt sich nun die Übergangsmatrix A = M 3 Wiederholtes Umschütten die stationäre Verteilung erreichen Die Aufgabenteile a) und b) und Aufgabenteil c) liefern beide dasselbe Ergebnis, nämlich den stationären Zustand am Ende des Umschüttvorgangs. Es handelt sich jedoch um zwei verschiedene Methoden, ihn zu berechnen. Um den Unterschied zwischen diesen beiden Herangehensweisen zu verdeutlichen, verteilen Sie die Aufgaben dieses Materials arbeitsteilig auf Kleingruppen, indem die eine Hälfte des Kurses Aufgabenteil a) und b) und die andere Hälfte den Aufgabenteil c) bearbeitet. Bei der folgenden Präsentation achten Sie darauf, Gruppen auszuwählen, deren Ergebnisse korrekt sind, da der vorgestellte Weg der einen Hälfte des Kurses noch nicht bekannt ist. Falls ein Großteil des Kurses mit einem Taschenrechner ausgerüstet ist, der in der Lage ist, Matrizen zu multiplizieren bzw. auch zu potenzieren, erleichtert dies die Bearbeitung der Aufgabenteile a) und b) sehr, sodass Sie in diesem Fall besser von der arbeitsteiligen Gruppenarbeit absehen und die Gruppen so einteilen, dass in jeder Gruppe ein Mitglied mit entsprechendem Taschenrechner vorhanden ist.