ELEMENTAR-MATHEMATIK

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1 ELEMENTAR-MATHEMATIK

2 ELEMENTAR-MATHEMATIK Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik Begründet von PROF. DR. DR. FRIEDRICH ADOLF WILLERS t Dresden 14. überarbeitete Auflage von DIPL.-ING. KLAUS-GEORG KRAPF Darmstadt Mit 222 Abbildungen ē,': DR. DIETRICH STEINKOPFF VERLAG DARMSTADT 1977

3 Oberarbeitete Lizenzausgabe mit Genehmigung des Verlages Theodor Steinkopff, Dresden (DDR) Alle Rechte vorbehalten (insbesondere des Nachdrucks und der Übersetzung) Kein Teil dieses Buches darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Xerographie, Mikrofilm, unter Verwendung elektronischer Systeme oder andere Reproduktionsverfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert werden. Bei der Herstellung einzelner Vervielfältigungsstücke des Werkes oder von Teilen des Werkes ist nach 54, Aha. 2 URG eine Vergütung an den Verlag zu zahlen, über deren Höhe der Verlag Auskunft erteilt by Dr. Dietrich Steinkopff Verlag GmbH &00. KG, Darmstadt CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Willers, Friedrich Adolf Elementar-Mathematik: e. Vorkurs zur höheren Mathematik I begr. von Friedrich Adolf Willers. 14. überarb. Auti. / von Klaus-Georg Krapf, Darmstadt : Steinkopff, ISBN ISBN (ebook) DOI / NE: Krapf, Klaus-Georg (Bearb.) Einbandgestaltung : Karl Riha, Bad Vilbel

4 Aus dem Vorwort zur ersten Außage Das vorliegende Buch ist aus einer Vorlesung für Anfänger entstanden... Es gibt, mit ganz elementaren Dingen beginnend, in geschlossenem Aufbau das aus der Elementarmathematik, was man für das Verständnis der in die Höhere Mathematik einführenden Vorlesungen voraussetzen möchte. Die Herausgabe erfolgt auf Bitten unserer Studierenden, denen ich aber nun auch ein Buch an die Hand geben möchte, nach dem sie selbständig arbeiten können. Um dieses selbständige Einarbeiten zu ermöglichen, ist besonders in den ersten Kapiteln die Darstellung sehr breit gehalten. Gegen Ende des Buches wird sie knapper, um so den Leser allmählich von der schulmäßigen zur hochschulmäßigen Darbietung hinüberzuführen. Ferner sind deswegen eine große Zahl von Beispielen und Aufgaben eingefügt. Die Lösungen der Aufgaben sind mehr oder weniger ausführlich am Schluß gegeben. Jedem Leser empfehle ich, wenn auch nicht alle, so doch einen größeren Teil dieser Aufgaben durchzurechnen und sich dadurch mit dem Stoff wirklich vertraut zu machen. Dresden 1948 F. A. Willers Aus dem Vorwort zur dreizehnten Aunage Nach dem Tode des Verfassers, Prof. Dr. Dr. h. c. Friedrich Adolf Willers, haben die Unterzeichneten die Bearbeitung der nächsten Auflagen der "Elementar-Mathematik" übernommen. Der vollständige Neusatz der vorliegenden Auflage gab uns die Gelegenheit, das Buch an einigen Stellen - besonders in den beiden ersten Abschnitten - dem Stil anzupassen, in dem gegenwärtig der Stoff an den allgemeinbildenden Schulen dargeboten werden soll, ohne daß dadurch älteren Lesern der Zugang erschwert wird. Dabei bot sich uns auch die Möglichkeit, verschiedene Hinweise aus dem Kreis von Benutzern und Rezensenten zu berücksichtigen. Bei den Änderungen waren wir aber bestrebt, die Eigenart des Buches, die durch die sichere Hand des erfahrenen Mathematik-Pädagogen Willers geprägt wurde und die in den vorangehenden Vorworten von ihm deutlich umrissen wurde, weitgehend zu wahren. Dresden und FreitaI1967 G. Opitz/H. Wilson v

5 Vorwort zur vierzehnten Auflage Die Neuauflage der "Elementar-Mathematik" eröffnete dem Unterzeichner die Möglichkeit, das vorliegende Buch zu überarbeiten. Der Abschnitt "Mengenalgebra", der lediglich als erste Einführung dienen soll, steht nun am Anfang dieses Buches. Das durch die Mengenalgebra vermittelte Abstraktionsvermögen schafft eine der Voraussetzungen für das Verständnis der Mathematik, und dieser Abschnitt sollte daher und aus Gründen der Vollständigkeit in einem Lehrbuch nicht fehlen. Neben einer Reihe von inhaltlichen Ergänzungen wurde besonderer Wert auf die optische Neugestaltung des Textes gelegt. Durch die Heraushebung von wichtigen Definitionen und Sätzen sollen die Einarbeitung in den Stoff und das spätere Nachlesen einzelner Kapitel erleichtert werden. Die aus den vorangestellten Vorworten hervorgehende Zielsetzung der "Elementarmathematik" im Sinne des verstorbenen Erstverfassers Prof. Dr. Dr. h. c. Friedrich Adolf Willers wurde ebenso übernommen wie die Konzeption des Inhalts, aus der die Erfahrung des Mathematik-Pädagogen Willers spricht. Allen, die durch Anregungen und Kritik bei der Entstehung der Neuauflage mitgewirkt haben, gilt an dieser Stelle mein herzlicher Dank. Dem Verlag Dr. Dietrich Steinkopff, Darmstadt, danke ich für die stets angenehme Zusammenarbeit. Darmstadt, im März 1977 K.-G. Krapf VI

6 INHALT Aus dem Vorwort zur ersten Auflage... Aus dem Vorwort zur dreizehnten Auflage Vorwort zur vierzehnten Auflage. Griechisches Alphabet V V. VI. XIII ARITHMETIK UND ALGEBRA 1. Mengenalgebra Der Mengenbegriff, Elemente einer Menge Darstellung von Mengen Teilmengen.... Mengenverknüpfungen Die vier Grundrechenarten Addition und Subtraktion. Negative Zahlen Multiplikation Division.... Division einer Summe durch einen eingliedrigen Ausdruck Division zweier Summen. Faktorenzerlegung Bruchrechnung Allgemeines Addition und Subtraktion von Brüchen..... Bildung eines Hauptnenners bei natürlichen Zahlen Hauptnenner bei Variablen.... Multiplikation und Division von Brüchen.... Aufgaben Gleichungen 1. Grades mit einer Unbekannten Allgemeines Beispiele Systeme linearer Gleichungen Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Die Additionsmethode Die Einsetzungs- oder Substitutionsmethode... Allgemeine Lösung von zwei linearen Gleichungen. Allgemeiner Fall Sonderfälle der Lösung Einige Determinantengesetze Drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten. Dreireihige Determinanten Sonderfälle der Lösung Rechengesetze für die dreireihige Determinante. 6. Die lineare Funktion Der Begriff der Funktion.... Graphische Darstellung der Funktion y = m z VII

7 6.3 Die Funktion 11 = m:l: + n : Graphische Lösung einer linearen Gleichung Graphische Lösung von linearen GleichmJg88Y8temen mit zwei Unbekannten Potenzrechnung und Potenzfunktion Potenzen mit ganzen positiven Exponenten Erste Erweiterung des Potenzbegritres Die Potenzfunktion 11 = a:ii. n sei eine positive ganze Zahl. n sei eine negative ganze Zahl 8. Wurzelrechnung : : Das Radizieren Allgemeines.. Die Quadratwurzel Die Kubikwurzel..... Rationale und irrationale Zahlen Rechengesetze.... Addition und Subtraktion Multiplikation.. Division.... Potenzieren.. Mehrfache Wurzeln.... Rationalmachen des Nenners Zweite Erweiterung des Potenzbegriffes. Gebrochene Exponenten Die Umkehrfunktion Spiegelung an der Geraden 11 =:1: Umkehrung der Funktion 11 = m:l: + n.. Die Umkehrfunktion zur Normalparabel 11 = :1)2. Die Umkehrfunktion zur kubischen Funktion 11 = :es Die Exponentialfunktion... Die graphische Darstellung.. Die Funktion 11 = ez 9. Die quadratische Gleichung 9.1 Sonderfälle und vierte Erweiterung des Zahlenbereiches Der allgemeine Fall.A :1)2 + B:I) + C = o Die quadratische Ergänzung Lösung der quadratischen Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung : 9.3 Beziehungen zwischen Koeffizienten und Lösungen der quadratischen Gleichung Aufgaben Näherung für die Lösungen einer quadratischen Gleichung bei sehr verschiedenen Beträgen beider Lösungen Wurzelgleichungen Die quadratische Funktion Graphische Lösung der quadratischen Gleichung Ungleichungen. 11. Der Logarithmus VIII Der Begriff des Logarithmus.... Die logarithmische Funktion Logarithmengesetze.... Zusammenhang zwischen den Logarithmensystemen. Der Zehner-Logarithmus Allgemeines Einrichtung und Gebrauch der Logarithmentafel.. 54: : : 74:

8 : Lineare Interpolation Beispiele... Multiplika.tion DiviBion... Potenzierung Wurzelziehen. 12. Folgen und Reihen : : Die arithmetische und die geometribche Reihe. Allgemeines Die endliche (abbrechende) arithmetibche Reihe. Die endliche (abbrechende) geometrische Reihe Die (UJlendliche) geometribche Reihe Das Summenzeichen. Die (unendliche) Folge. Die (unendliche) Reihe Der binomische Satz Die Binomialkoeffizienten BeweiB des binomischen Satzes durch vollbtändige Induktion. Die Ungleichung von Bemoulli Symmetriesa.tz der Binomialzahlen GONIOMETRIE UND TRIGONOMETRIE 14. Goniometrie 14: :.2 14:.3 14:.4: 14.4: :.2 14:.4:.3 14: : :.6 14:.7 14:.8 14:.9 14:.10 14:.11 Gradmaß und Bogenmaß Umwandlung von Grad in Bogenmaß... Umwandlung von Bogen- in Gradmaß..... Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Verallgemeinerung des WinkelfunktionsbegriffeB Verlauf der trigonometrischen Funktionen Die Sinusfunktion Die CoBinusfunktion Die Tangensfunktion Die Cotangensfunktion..... Die Periodizität der Funktionen... Beziehungen zwischen den Funktionen debbelben WinkelB Benutzung der Funktionstafeln Werte der Funktionen von beliebigen Winkeln... Die Additionstheoreme Folgerungen aub den Additionstheoremen Summe und Differenz der sin- und cos-werte zweier Winkel. Die Umkehrfunktionen der trigonometribchen Funktionen 16. Goniometrische Bestimmungsgleichungen 15.1 Gleichungen mit einer Unbeka.nnten Goniometrische Gleichungen mit zwei Unbekannten 16. Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks 16.1 Der SinUBBatz Der Umkreisradius Der Flächeninhalt des Dreiecks Anwendung des SinUBSatzes auf die Dreiecksberechnung 16.3 Der CosinUBBatz : Anwendung des CoBinuSsatzes auf die Dreiecksberechnung 16.5 Weitere Dreiecksformeln Aufgaben :0 14:1 14:2 14: :6 14:8 14: IX

9 17. Komplexe Zahlen ImagiDäre Zahlen. Komplexe Zahlen. Begriff der komplexen Zahl Das Rechnen mit komplexen Zahlen GauBsche Zahlenebene Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen im rechtwinkligen Koordinatensystem Darstellung der komplexen Zahlen in ebenen Polarkoordinaten Die vier Grundrechenarten in der Gaußschen Zahlenebene Addition Subtraktion M ~ ~ i ; p l i. k. a t. i o n.... DIVIsion Das Rechnen mit den Beträgen komplexer Zahlen. Addition Multiplikation und Division Der Satz von Moivre Die Verallgemeinerung der Multiplikationsformel Die Potenzen von cos tp + i sin tp Anwendung des Satzes von Moivre Das Radizieren einer komplexen Zahl..... Das Radizieren als Lösung der binomischen Gleichung ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENE 18. Die Strecke Länge und Richtung einer Strecke Innere und äußere Teilung einer Strecke. Dreiecks- und Vielecksinhalt Der Dreiecksinhalt Der Vielecksinhalt 19. Die Gerade Verschiedene Formen der Geradengleichung Die Normalform Die Abschnittsgleichung Allgemeine Geradengleichung Punktrichtungs- und Zweipunktegleichung. Die Hessesche Normalform Umwandlung der allgemeinen Form in die Hessesche Normalform. Abstand eines Punktes von einer Geraden... Die Gleichungen der Winkelhalbierenden.... Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden. Schnittpunkt zweier Geraden. Schnittpunkt dreier Geraden. Winkel zwischen zwei Geraden Koordinatentransformation Die Parallelverschiebung. Drehung um den Winkel tp 20. Der Kreis Die Kreisgleichung Die Schnittpunkte zweier Kreise 20.2 Die Gleichung der Kreistangente 21. Die Kegelschnitte 21.1 Erste Definition der Kegelschnitte Ellipse.... x

10 Parabel Hyperbel Zweite Definition der Kegelschnitte Die Scheitelgleichung der Kegelschnitte Die Parabel Die Ellipse Die Scheitelgleichung Die Mittelpunktsgleichung Die Hyperbel Die Scheitelgleichung Die Mittelpunktsgleichung Zusammenstellung der wichtigsten Beziehungen für die drei Kegelschnitte Die Asymptoten der Hyperbel Gleichung der Asymptoten Asymptotensätze Geometrische Eigenschaften der Mittelpunktskegelschnitte Geometrische Eigenschaften der Parabel Transformation der Kegelschnittsgleichungen durch Parallelverschiebung und Drehung des Koordinatensystems Parallelverschiebung Drehung des Koordinatensystems Das Hauptachsenproblem Zusammenfassung Beispiele Polarkoordinaten Zusammenhang zwischen rechtwinkligen und Polarkoordinaten Die Polargleichung der Geraden Die Polargleichung der Kegelschnitte Aufstellen von Kurvengleichungen Die Parameterdarstellung Die Parabel... Die Ellipse.... Die Gerade Rollkurven... Geometrische örter.. Darstellung ohne Hilfsgrößen. Einführung von Hilfsgrößen VEKTORALGEBRA Das räumliche kartesische Koordinatensystem 23.1 Rechts und Linkssystem 23.2 Der räumliche Pythagoras 23.3 Die Richtungscosinus Abstand zweier Punkte 23.5 Aufgaben Der Vektor Der Begriff des Vektors Rechenregeln.... Addition von Vektoren Subtraktion von Vektoren. Multiplikation mit einem Skalar Spezielle Vektoren.. Einheitsvektoren.... Ortsvektoten Vektoren in der Physik Die Darstellung von Vektoren in Komponentenschreibweise XI

11 U.6 Beispiele Aufgaben Das skalare Produkt 25.1 Definition Rechenregeln Das skalare Produkt in Komponentendarstellung Folgerungen Anwendungsbeispiele Aufgaben Das Vektorprodukt 26.1 Definition Rechenregeln Komponentendarstellung Beispiele Das Moment einer Kraft Lineargeschwindigkeit bei Rotation Aufgaben, Mehrfache Vektorprodukte 27.1 Das Spatprodukt Beispiele Inhalt eines Tetraeders Gleichung einer Ebene durch drei Punkte Reziprokes System Das dreifache Vektorprodukt Produkte mit mehr als drei Faktoren Aufgaben 299 Lösungen. 300 Sachverzeichnis 359 XII

12 Große Buchstaben Griechisches Alphabet Kleine Buchstaben Bezeichnung A Cl Alpha B ß Beta r y Gamma L1 (l Delta E e Epsilon Z C Zeta H 1) Eta e {} Theta I Iota K x Kappa A ). Lambda M fl Mü N 11 Nü.::;:, ~ Xi 0 0 Omikron n n Pi p e Rho E a, ~ Sigma T 1" Tau y v Ypsilon rp p Phi X X Chi 'P 'P Psi Q w Omega XIII