Der Elektrik-Trick für die Mittelstufe. Das Wort Kondensator leitet sich vom lateinischen condensare (= verdichten, dicht zusammenpressen) her.

Transkript

1 Der Kondensator 1. Aufbau Das Wort Kondensator leitet sich vom lateinischen condensare (= verdichten, dicht zusammenpressen) her. In der Elektrotechnik handelt es sich bei einem Kondensator um ein Bauelement, dass in der Lage ist, elektrische Ladung (und damit auch Energie) zu speichern. Quelle: Den Aufbau eines einfachen Kondensators zeigt die Grafik: Zwei parallele Platten-Elektroden aus Metall sind durch ein isolierendes Material voneinander getrennt. Die gespeicherte Ladung ist proportional zur angelegten Spannung. Der Proportionalitätsfaktor wird Kapazität (Formelzeichen: C) genannt und in Farad 1 (Einheitenzeichen: F) gemessen. Q = C U 1 Benannt nach dem englischen Physiker Michael Faraday ( ) Der Kondensator 1-1

2 1.1 Abhängigkeit der Kapazität von Geometrie und Material Beim einfachen Plattenkondensator berechnet sich die Kapazität folgendermaßen: C = ε A d A ist dabei die Fläche, d der Abstand der Platten und (Epsilon) hängt vom Material des Dielektrikums ab. Um die Kapazität von Kondensatoren zu erhöhen, gibt es also drei Möglichkeiten: 1. Erhöhung der Plattenfläche Bsp. Folienkondensator: Elektroden und Dielektrikum werden aufgewickelt 2. Verminderung des Plattenabstandes Diese Möglichkeit stößt schnell an technologische Grenzen 3. Verbesserung des Dielektrikums 4. Gel oder Flüssigkeit als Dielektrikum (Elektrolytkondensator) Der Kondensator 1-2

3 1.2 Das Dielektrikum Das schlechteste Dielektrikum ist ein Vakuum. As 12 ε 0 = 8, Vm Da diese Konstante nicht besonders gut geeignet ist, um Kondensatorwerkstoffe miteinander zu vergleichen, spaltet man die die Dielektizitätszahl bei der Berechnung der Kondensatorkapazität auf: C = ε 0 ε r A d Dabei gibt die relative Dielektrizitätszahl r an, um welchen Faktor das Material besser ist, als die Verwendung eines Vakuums. Material r Vakuum 1 Luft 1,00059 Papier Polypropylen 2,1 Polyethylen 2,4 Epoxidharz ca. 5 Aluminiumoxid 9 Tantalpentoxid 27 Bariumtitanat Der Kondensator 1-3

4 1.3 Aufbau realer Kondensatoren (Auswahl) Quellenhinweis: Alle Abbildungen sind commons.wikimedia.org entnommen. 1. Folienkondensatoren Der Kondensator 1-4

5 2. Keramische Kondensatoren 3. Elektrolyt-Kondensator (Elko) Elektrolyt-Kondensatoren sind i.d.r. gepolte Bauteile, d.h. eine Verpolung führt zur Zerstörung (mindestens) des Bauteils. Der Kondensator 1-5

6 2. Entlade- und Ladevorgang 2.1 Entladung eines Kondensators Ein Kondensator wird zunächst mit der Spannungsquelle U0 verbunden. (Schalter links) Die Spannung am Kondensator ist also identisch zu der an der Spannungsquelle. Zum Zeitpunkt t=0 wird der Schalter umgelegt, d.h. die Spannungsquelle wird abgetrennt und der Kondensator mit dem Widerstand verbunden. Gesucht: Zeitlichen Verläufe von Strom und Spannung seit dem Umschalten des Schalters, u(t) 2, i(t). Vorüberlegungen: t = 0 Der Kondensator enthält noch die gesamte gespeicherte Ladung, die dazu proportionale Spannung beträgt U0. t = Die Ladung ist ausgeglichen, die Spannung am Kondensator beträgt 0V. R Je niedriger der Widerstand, umso größer kann der Strom werden. Die Ladung ist aber proportional zum Strom. D.h., je größer der Widerstand, umso länger dauert die Entladung des Kondensators. C Die Kapazität ist proportional zur gespeicherten Ladung. Damit führt eine höhere Kapazität zu einem längeren Entladevorgang. 2 Bei zeitlichen Abhängigkeiten werden üblicherweise kleine Buchstaben für die entsprechenden Größen verwendet. Der Kondensator 1-6

7 Das folgende Bild zeigt eine Entladekurve eines Kondensators. Quelle: W. Kippels, Grundlagen der Elektrotechnik Auf eine mathematische Herleitung soll hier verzichtet werden und gleich die Formel angegeben werden: u(t) = U 0 e t R C = U 0 e t Es handelt sich um eine sogenannte e-funktion (genau: natürliche Exponentialfunktion). Die Zahl e wird Eulersche Zahl genannt und hat den Wert 2, Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus (ln). Das Produkt aus R und C wird als Zeitkonstante bezeichnet und durch das Zeichen (Tau) dargestellt. Der Strom kann aus dem ohmschen Gesetz ermittelt werden: i(t) = U 0 R t e Der Kondensator 1-7

8 2.2 Ladung eines Kondensators Jetzt gehen wir davon aus, dass ein komplett entladener Kondensator (keine gespeicherte Ladung) zum Zeitpunkt t=0 über einen Widerstand mit einer Spannungsquelle verbunden wird. t = 0 Uc = 0 t = Uc = U0 Quelle: W. Kippels, Grundlagen der Elektrotechnik u c (t) = U 0 (1 e t τ) Der Kondensator 1-8

9 Umstellung der Entladeformel nach der Zeit u(t) = U 0 e t u(t) U 0 Umstellung der Ladeformel nach der Zeit: = e t τ ln ( u(t) U 0 ) = t τ t = τ ln ( u(t) U 0 ) t = τ ln (1 u(t) U 0 ) 2.3 Parallelschaltung von Kondensatoren C = C 1 + C 2 + C Reihenschaltung von Kondensatoren 1 C = 1 C C C 3 Der Kondensator 1-9

10 2.5 Aufgaben: Kondensatoren im Gleichstromkreis a. Zeichnen Sie eine Tabelle und eine Kurve, die bei der Ladung / Entladung eines Kondensators die Spannung am Kondensator als Funktion der Zeit darstellt. Tragen Sie dabei die Spannung in Prozent der Versorgungsspannung ein. Die Zeit soll in Vielfachen von τ (n = 1.. 5) dargestellt werden. Der Kondensator 1-10

11 Grafiken aus Der Kondensator 1-11

12 b. Ein Kondensator mit der Kapazität C=200µF ist auf die Spannung U=60V aufgeladen. Er wird über einen Widerstand von 10MΩ entladen. Wie lange dauert es, bis die Spannung auf die Hälfte gesunken ist? (23min6s) t = τ l n ( u(t) U 0 ) = 2000 ln (0,5) = 1386s = 23min 6s c. Ein vollständig entladener Kondensator (Werte wie in b.) wird wieder aufgeladen. - Wie groß ist der Strom am Anfang des Ladevorgangs? (6µA) I0 = U0/R = 60V/ Ω = 6µA - Nach welcher Zeit ist der Ladestrom auf 1% des Anfangswertes abgefallen? Etwa nach 5 = s = 2h33min30s 2.6 Exkurs: e-funktion und natürlicher Logarithmus Quelle: Das Bild zeigt die e-funktion (schwarz) die Winkelhalbierende und den natürlichen Logarithmus. Der Kondensator 1-12

13 2.7 Kondensator als Siebkondensator Der Kondensator 1-13

14 2.8 Spannung und Strom bei pulsierender Gleichspannung 5 = 23,5 ms Der Kondensator 1-14

15 Ende Kondensator Der Kondensator 1-15