Triangulierung eines planaren Graphen

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Nicole Weiss
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1 Trianglirng ins planarn Graphn Thomas Pajor 1. Fbrar 2007 Das Trianglirn ins Graphn ist in Grndopration, di on iln Algorithmn, di af planarn Graphn oprirn, bnötigt wird. Dr hir orgstllt Algorithms trianglirt inn Graphn mit n Knotn in O(n) Zit drch gignts Einfügn on Kantn. Dfinitionn Si G = (V, E) in infachr, planarr nd zsammnhängndr Graph ohn Mltikantn nd Schlingn. Dr trianglirt Graph G z G ntstht drch skzssis Einfügn on Kantn, ohn dabi di Planaritätsignschaft ds Graphn z rltzn. Am End ist jd Factt on G in Drick, nd s gilt für di Anzahl dr Knotn n nd Kantn m di Bzihng m = 3n 6. Si in Knotn in G nd = (,) in z inzidnt Kant. Wir bzichnn mit Θ() di ggn dn Uhrzigrsinn nächst inzidnt Kant an, nd nnnn si di Nachfolgkant on an. Mit Θ 1 () bzichnn wir di Vorgängrkant on an. Si ist also di im Uhrzigrsinn nächst Kant an. Aßrdm dfinirn wir mit Θ () di ggn dn Uhrzigrsinn nächst Kant am Knotn. Sih ach Abbildng 1 zr Vrdtlichng. Dr Algorithms Di grndlgnd Id ds Algorithms bstht darin, skzssi jd Kant ds Graphn z btrachtn, nd ggbnfalls Kantn so inzfügn, dass nach Btrachtng dr Kant di Factt rchts on in Drick ist. Daz ntrschn wir di Kantn,Θ 1 (),Θ () nd Θ (Θ ()) nd ntrschidn dri Fäll j nach Konfigration dr Kantn. Wir dfinirn ns pajor@ira.ka.d; Unirsität Karlsrh (TH), Forschngsnirsität ggründt 1825, Fakltät für Informatik, Institt für Thortisch Informatik Vrbssrt am 13. Dzmbr

2 Θ() Θ () Θ 1 () Abbildng 1: Dfinitionn on Θ(), Θ 1 () nd Θ (). daz: := (,) := (, ) = Θ () := (, ) = Θ ( ) = Θ (Θ ()) := (, ) = Θ 1 () Für di Abbildngn im Folgndn soll gltn: Gstrichlt dünn Kantn dtn an, dass in dr (kombinatorischn) Einbttng ds Graphn an disr Stll witr asghnd Kantn xistirn könntn. Di dick gstrichlt Kant ist jwils di inzfügnd Kant. Ist dr Graph ngrichtt, so orintirn wir di Kantn atomatisch bim Btrachtn ds Knotns nd inr z inzidntn Kant af di Wis, wi in dn Abbildngn dargstllt. Fall I Btracht Abbildng 2. Dr Knotn ist nr zr adjaznt (Es gilt also = ). Damit folgt, dass = gilt, nd s gnügt in n Kant zwischn nd inzfügn. Dis kann krzngsfri ingbttt wrdn, nd s ntstht ach kin Mhrfachkant, da nr z adjaznt ist. Fall II Angnommn ist z mindstns inm witrn Knotn adjaznt. Es xistirt also in Kant di nicht mit zsammnfällt. Ist nn jdoch =, so bildn di Kantn, nd in Drick, nd wir brachn kin Kant inzfügn. Nhmn wir also an, s gilt nd. Btracht daz ach Abbildng 3. 2

3 = = =, (a) Allgminr Fall (b) Dr Knotn hat nr zwi asghnd Kantn Abbildng 2: Fall I = (a) Allgminr Fall (b) Knotn ist nr z adjaznt Abbildng 3: Fall II Es gnügt nn in Kant zwischn nd inzfügn, so dass Θ(, ) = nd Θ(,) =. Dann bildn di Kantn, zsammn mit dr ingfügtn Kant das gscht Drick. Es ist abr möglich, dass in Kant zwischn nd brits xistirt, nämlich dadrch, dass si di Factt links on bgrnzt. Dann würd drch Einfügn inr witrn Kant zwischn nd in Mhrfachkant ntsthn. Daz ntrschn wir Fall III. 3

4 = (a) Allgminr Fall (b) Knotn ist nr z adjaznt Abbildng 4: Fall III Fall III Si also widr nd, abr di Kant (, ) si brits wi in Abbildng 4 im Graphn nthaltn, das hißt si bgrnzt di on as link Factt. Ist, das hißt (, ), so könnn wir in Kant zwischn nd infügn, nd rhaltn so das gscht Drick. Problmatisch ist dr Fall, dr in Abbildng 4b dargstllt ist, nämlich dass di Kant zwischn nd grad di Kant ist. Damit falln nd zsammn, nd das Einfügn inr Kant zwischn nd würd in Mhrfachkant indzirn. Da gilt, könnn wir in Kant zwischn nd infügn, ohn in Mhrfachkant z rzgn. Damit wir rchts on schlißlich in Drick rhaltn, fügn wir in witr Kant zwischn nd in. Damit habn wir all Möglichkitn btrachtt, wi di Kantn,, nd zinandr lign könnn. Dr Gsamtalgorithms itrirt nn übr all Knotn nd für jdn dr btrachttn Knotn wrdn di inzidntn Kantn im Uhrzigrsinn abgarbitt. Algorithms 1 zigt in Implmntirng in Psdo-Cod. Ein Bmrkng zr Notation: Ist in Knotn nd = (, ) in z inzidnt Kant, so bzichn di Rückwärtskant (, ). Korrkthit: Da in jdm Schritt ds Algorithms höchstns in z inzidnt Kant ingfügt wird, nd dis Kant immr rchts on ingfügt wird, folgt, dass jd Kant ds Graphn gna inmal btrachtt wird. Da nach jdm Einfügschritt di Factt rchts dr btrachttn Kant in Drick bildt, gilt nach Abarbitng ins Knotns, dass jd z inzidnt Factt in Drick bildt. Da wir all Knotn skzssi barbitn, ist am End jd Factt in Drick, nd da wir all nn Kantn krzngsfri ingbttt habn ohn dabi 4

5 Mhrfachkantn z rzgn, ist dr Graph schlißlich trianglirt. Lafzit: Jd Kant wird gna inmal btrachtt, da si, nachdm si barbitt wrd markirt wird, nd markirt Kantn nicht mhr barbitt wrdn. Das Stzn ds Zitstmpls dr Nachbarknotn on in Zil 5 kostt gna so il Schritt wi inzidnt Kantn hat, das hißt, di Zwisng in Zil 6 gschiht insgsamt gnaso oft wi Kantn btrachtt wrdn. Di Abfrag T( ) in dn Ziln 15 nd 18 kann mit inr gigntn Datnstrktr in konstantr Zit ralisirt wrdn. Damit ist di Lafzit linar in dr Anzahl dr Kantn ds Graphn, nd da bi inm planarn Graphn m O(n) gilt, folgt für di Lafzit ds Algorithms O(n). 5

6 Algorithms 1 : TRIANGULIERUNG Eingab : Planarr Graph G = (V, E) Sitnffkt : G ist trianglirt für all V t T() 0 t 0 für all V t t t + 1 für all w ist Nachbar on t T() t = (, ) Ein as asghnd Kant solang ist nicht markirt t = (, ) Θ () = (, ) Θ ( ) = (, ) Θ 1 () // Fall I wnn = dann Füg n := (, ) mit Θ 1 ( n ) = in Füg n := (,) mit Θ( n ) = in // Fall II: Di Kant (, ) xistirt noch nicht sonst wnn, nd T( ) < t dann Füg n := (, ) mit Θ( n ) = in Füg n := (,) mit Θ 1 ( n ) = in 26 // Fall III: Di Kant (, ) xistirt brits 19 sonst wnn, nd T( ) = t dann 20 wnn dann 21 Füg n := (, ) mit Θ( n ) = in 22 Füg n := (,) mit Θ( n ) = in 23 sonst 24 Füg n := (, ) mit Θ 1 ( n ) = in 25 Füg n := (,) mit Θ 1 ( n ) = in Füg n := (, ) mit Θ( n ) = in 27 Füg n := (,) mit Θ 1 ( n ) = n in Markir Θ 1 () 6

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