... a n b n+1 a n+k b k+1. Nenner\) f) = a n (n+k) b n+1 (k+1) = a k b n k = bn. Wurzelradikand\); b 2 R und c 2 R n f0g ( " a; b 2 R n f0g ( "

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1 . GKM E0. Uberrufung der Zielvereinbarungen nach der. Klausur (Car.) Aufgabe zu Potenzgesetzen und Wurzeln: Berechne und vereinfache so weit wie moglich; bestimme die maximalen Denitionsbereiche aller Variablen. a) 3x 8x b) 7 c 4k : 9 c 5k c)! x 5 + x 4 x 4 d) s a b 4 e) a 3 4 b 4 (a 4 c 5 ) f) a n b n+ a n+k b k+ Ergebnisse zu Aufgabe : a) = 3 8 x +( ) = 4x ; x D = R n f0g b)= 7 : 9 c 4k 5k = 8 c k ; c) = 4x4 d)= x 5 + x 4x 4 q a a b 4 = b 4 c D = R n f0g; k R = 4 x + x6 ; x D = R n f0g = jaj b ; a; b D = R und b 6= 0 e) = a3 b 8 4a 8 c 0 = a b 8 4 c 0 ; a R >0 ( " Wurzelradikand\); b R und c R n f0g ( " Nenner\) f) = a n (n+k) b n+ (k+) = a k b n k = bn (ab) k ; a; b R n f0g ( " Nenner\); n; k R. GKM E0. Uberrufung der Zielvereinbarungen nach der. Klausur (Car.) Aufgabe zu Bruchen, Wurzeln und Dentionsbereichen: Schreibe zuerst als Bruch bzw. Wurzel. Bestimme die maximalen Denitionsmengen D R. a) (x ) b) (5a + ) c) (y + 5) 3 d) (x 3) 4 3 Ergebnisse zu Aufgabe : a) = ; x D = R n fg, da x = 0 fur x = gilt. (x ) b)= 5a + ; a D = R 5, da 5a fur alle a 5 gilt. c) = y +5 3 ; y D = R, da y fur alle y gilt. h 3 4; d)= (x 3)i x D = R ;5, da x fur alle x ; 5 gilt. oder:= 3 (x 3) 4 ; x D = R,

2 3. GKM E0. Uberrufung der Zielvereinbarungen nach der. Klausur (Car.) Aufgabe zu Funktionen, Nullstellen und Werten der Funktion: Lose die jeweils formulierten Aufgaben. Gib die Ergebnis an. (keine Zeichnung!!) a) f (x) = 0; 5 x 7; 5 ; D f = R; Bestimme die Nullstelle und den Wert an der Stelle 8. b) f (x) = x 4 ; D f = R; An welchen Stellen hat die Funktion den Wert +648? c) f 3 (x) = 9x 7x + 0 ; D f 3 = R; In welchem Punkt schneidet der Grah G f3 die x-achse? d) f 4 (x) = 7x 3 56x ; D f 4 = R; Berechnen Sie die Nullstelle. Ergebnisse zu Aufgabe 3: a) Gesucht sind f (x 0 ) = 0 und f ( 8) = y 0; 5 x 0 7; 5 = 0 und 0; 5 ( 8) 7; 5 = 6; 5 x 0 = 5 Die Nullstelle ist x 0 = 5 und der Funktionswert an der Stelle 8 ist 6; 5. b) Gesucht sind die Stellen x (x-werte), fur die gilt: f (x) = f (x) = +648 x 4 = +648 j x = x 4 j 4 ::: = j x j 6 x ; = 6 Die Funktion f hat an den Stellen x ; = 6 den Wert c) Gesucht sind die Stellen x 0 (x-werte), fur die gilt: f 3 (x 0 ) = 0. 9x 0 7x = 0 j: 9 x 0 8x = 0 j = 8; q = Diskriminante D = ::: = > 0 q = 4 3 x ; = 4 In den Punkten N j 0 3 und N d) Wie a) 7x x 0 = 0 j faktorisieren 7x 0 (x 0 8) = 0 x 0 = 0 R oder x 0 = 8 R Die Nullstellen sind x 0 = 0 und x 0 = 8. 3 j 0 schneidet der Grah die x-achse.

3 4. GKM E0. Uberrufung der Zielvereinbarungen nach der. Klausur (Car.) Aufgaben zum Skizzieren von Funktionsgrahen: Skizziere ohne weitere Berechnung den Grahen der folgenden Funktionen in je ein geeignetes KS. Begrunde dein methodisches Vorgehen. a) g (x) = x4 3 ; x D = R b) g (x) = c) f (x) = ) ; x D = R 3 + ; 5 ; x D = R d) f (x) = (x + )3 ; x D = R Ergebnisse zu Aufgabe 4: a). wegen x 4 ist die Grundfunktion g eine Parabel 4. Grades der Grah G g ist " eckiger\. wegen -3 ist G g um 3 nach unten verschoben Scheitelunkt S (0 j 3) 3. wegen a = ist G g gestaucht und nach oben geonet von S eins nach re./li. und 0; 5 nach oben b). wegen (x ) ist die Grundfunktion g Parabel. Grades G g ist " normal\. wegen (x ) ist G g um in x-richtung verschoben Scheitelunkt S ( j 0) 3. wegen a = ist G g gestaucht und nach unten geonet von S eins nach re./li. und 0; 5 nach unten c). wegen x ist f eine lineare Funktion der Grah ist eine Gerade 3. wegen m = ist die Steigung m = y 3 x = 3 = 4 6. wegen n = +; 5 ist der y-achsenabschnitt +; 5 P 0 (0 j +; 5) d). wegen (x + ) 3 ist die Grundfunktion f Parabel 3. Grades G f ist eine Wendearabel. wegen (x + ) ist G f um - in x-richtung verschoben (um nach links) 3. wegen ist G f um - in y-richtung verschoben der Sattelunkt ist S( j ) 4. wegen a = ist G f gestaucht und f (x) lauft\ " von nach +

4 5. GKM E0. Uberrufung der Zielvereinbarungen nach der. Klausur (Car.) Aufgaben zu Grundlagen: Rechnen mit Termen: Berechne und fasse so weit wie moglich zusammen: a) (a 3b) + (a + 3b) b) (4 + 5q) (4q 5q ) c) 6a + (3b) + (a 7b) b d) (r + 5s) (7r 3s) 8ba + a e) (x + ) (3x ) + (4x 9) f) (5a b)(5a + b) (3a b) Ergebnisse zu Aufgabe 5: a) (a 3b) + (a + 3b) j Binomische Formeln ausrechnen = 4a ab + 9b + 4a + ab + 9b j gleiche Terme zusammenfassen = 8a + 8b b) (4 + 5q) (4q 5q ) j Binomische Formeln ausrechnen = q + 5q (4q 5q ) j Klammer auosen = q + 5q 4q + 5q j gleiche Terme zusammenfassen = q + 50q c) 6a + (3b) + (a 7b) b j Binomische Formeln ausrechnen = 6a + 9b + 4a 8ab + 49b b j gleiche Terme zusammenfassen = 0a 8ab b + 58b d) (r + 5s) (7r 3s) 8ba + a j Binomische Formeln ausrechnen = 4r + 0rs + 5s (49r 4rs + 9s ) 8ba + a j Klammer auosen = 4r + 0rs + 5s 49r + 4rs 9s 8ba + a j gleiche Terme zusammenfassen = 6s + 6rs 45r 8ba + a e) (x + ) (3x ) + (4x 9) j Binomische Formeln ausrechnen = 4x + 4x + (9x x + 4) + (6x 7x + 8) j Klammer auosen = 4x + 4x + 9x + x 4 + 6x 7x + 8 j gleiche Terme zusammenfassen = x 56x + 78 f) (5a b)(5a + b) (3a b) j Bin. Formel und Klammer auosen = 5a 4b (9a ab + 4b ) j Klammer auosen = 5a 4b 9a + ab 4b j gleiche Terme zusammenfassen = 6a + ab 3b

5 6. GKM E0. Uberrufung der Zielvereinbarungen nach der. Klausur (Car.) Aufgaben zu Grundlagen: Faktorisieren Faktorisiere folgende Terme so weit wie moglich. a) x + 4x + 4 b) 3b 75 c) 6uv + u + 9v d) 4mn + m + n e) 8 b + 3 ab f) 4 a 3 b + 8 ab 40 ab Ergebnisse zu Aufgabe 6: a) x + 4x + 4 j. Bin. Formel = (x + ) b) 3b 75 j faktorisieren; d.h. 3 ausklammern (Distributivgesetz [DG]) = 3(b 5) j faktorisieren mit der 3. Bin.F. = 3(b 5)(b + 5) c) 6uv + u + 9v j Sortieren mit dem Kommutativgesetz = u + 6uv + 9v j faktorisieren mit der. Bin.F. = (u + 3v) d) 8 b + 3 ab j 3b ausklammern (Distributivgesetz [DG]) = 3b(6b + a) e) 3b 30b + 75 j 3 ausklammern (Distributivgesetz [DG]) = 3(b 0b + 5) j faktorisieren mit der. Bin. Formel = 3(b 5) f) 4 a 3 b + 8 ab 40 ab j 8ab ausklammern DG und sortieren = 8ab(3a 5b + )

6 7. GKM E0. Uberrufung der Zielvereinbarungen nach der. Klausur (Car.) Aufgaben zu Grundlagen: Losen von Gleichungen Berechne die Losungsmengen folgender Gleichungen, Beachte die Denitionsbereiche. a) 0; y (; 8 3y) 0; 5 y = ( 0; 6 + y)( ) + y ; G = Q b) (3x + 4)(x + 3) = x + 3(x + 5x) ; G = R c) (x + 3)(5 x) (x x ) = 7 ; G = Z d) (x + 5) (x + 3)(x + 7) = 4 x ; G = N Ergebnisse zu Aufgabe 7: a) 0; y (; 8 3y) 0; 5 y = ( 0; 6 + y)( ) + y j Klammern ausrechnen 0; y ; 8 + 3y y = ; y + y j auf jeder Seite zusammenfassen ; y ; 8 = ; j +; 8 ; y = 3 j: ; y = 4 Q L = f 4 g b) (3x + 4)(x + 3) = x + 3(x + 5x) j Klammern ausrechnen 6x + 7x + = x + 6x + 5x j 6x 7x + = x + 5x j 7x 0 = x x = ; q = Diskriminante D = 3 > 0 x ; = 3 R L = f 3; + 3g c) (x + 3)(5 x) (x x ) = 7 j Klammern ausrechnen 5x 3x + 5 x x + x = 7 j zusammenfassen x + x + 5 = 7 j 7 x + x = 0 j faktorisieren mit der 4. Bin. Formel\ " (x + 4)(x 3) = 0 j x = 4 Z oder x = +3 Z L = f 4; +3g d) (x + 5) (x + 3)(x + 7) = 4 x j Klammern ausrechnen 4x + 0x + 5 (x + 7x + ) = 4 x j Klammern auosen und zusammenfassen x + 3x + 4 = 4 x j +x 4 x + 4x = 0 j faktorisieren mit dem Distributivgesetz x(x + ) = 0 j x = 0 N oder x = 6= N L = f0g

7 8. GKM E0. Uberrufung der Zielvereinbarungen nach der. Klausur (Car.) Aufgaben zum Erstellen von Gleichungen aus Sachaufgaben: Die Handyrechnung von Vivian betragt in diesem Monat fur 4 Einheiten inclusive Grundgebuhr 65; 50. Sie ist geschockt und telefoniert im nachsten Monat nur 50 Einheiten. Der Rechnungsbetrag ist dann nur 40. Berechne die Hohe der Grundgebuhr und die Kosten ro Einheit. Ergebnisse zu Aufgabe 8: Gegeben ist: Gesucht sind: Text Term [ ] 4 Einheit incl. Grundgebuhr kosten 65; Einheit incl. Grundgebuhr kosten 40 Die Grundgebuhr sei G G D = R >0 Der Preis ro Einheit sei x x D = R >0 Dann gilt folgendes Gleichungssystem: I 4x + G = 65; 50 II 50x + G = 40; 00 I G = 65; 50 4x II G = 40; 00 50x NR zu I: 40; 00 50x = 65; 50 4x... x = 5;5 64 NR zu II: G = ; G = Losungsmenge: L = fx 0; 40 ; G 0 g 0 R>0 0; 40 R>0 Ergebnis:...Text im Sachzusammenhang!