Modellierung natürlicher Prozesse und Optimierungsstrategien

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1 Modellierung natürlicher Prozesse und Optimierungsstrategien Theoretische Physik TU Bergakademie Freiberg Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen die Bilder von oder wurden selbst erstellt.

2 * 14. März 1879 in Ulm; 18. April 1955 in Princeton, USA Ohne Glauben daran, daß es grundsätzlich möglich ist, die Wirklichkeit durch unsere theoretischen Konstruktionen begreiflich zu machen, ohne den Glauben an die innere Harmonie unserer Welt, könnte es keine Naturwissenschaft geben. A. Einstein 2

3 Vorbemerkung Diese Vorlesung folgt in großen Teilen dem Entwurf von Prof. J. Monecke. Eine vergleichbare Vorlesung ist mir nicht bekannt, so dass es kein Lehrbuch mit diesen Inhalten gibt. 1. Worum geht es in der Vorlesung? Bisherige Herangehensweise in der theoretischen Physik (Mechanik, ED, QM) - Grundgleichungen sind bekannt - wohldefinierte Systeme (Massenpunkt, Elektron im Kasten usw.) Problemlösung: Gleichungen aufstellen Randbedingungen und Erhaltungssätze aufstellen Lösung der Gleichungen Interpretation der Ergebnisse 3

4 1.1 Reduktionismus Komplexe Systeme aus der Physik, Chemie, Biologie, Medizin, Ökologie, Wirtschaftswissenschaften, Politik,... komplex: viele Objekte, komplizierte Objekte, komplizierte Wechselwirkungen zwischen den Objekten z.b. Population = Menge von Lebewesen Lebewesen = Menge von Zellen Zellen = Menge von Molekülen Molekül = Menge von Atomen -> Moleküle kann man mit QM berechnen, kann ich dann auch Populationsdynamik herleiten? Solch ein Vorgehen bezeichnet man auch als Reduktionismus. Reduktionismus bezeichnet die Auffassung, dass man Phänomene komplexer Systeme auf elementare gesetzmäßige Zusammenhänge zwischen den Objekten zurückführen kann. 4

5 René Descartes, * 31. März 1596 in La Haye/Touraine, Frankreich; 11. Februar 1650 in Stockholm, Schweden René Descartes hielt Tiere - im Gegensatz zu Menschen - für reduktiv erklärbare Automaten - De homine (1622) Bild: Mechanical Duck, built by Jaques de Vaucanson (1738, France) 5

6 Julien Offray de La Mettrie 1746: Zwei Schriften offiziell per Gerichtsbeschluss verbrannt Historie de l'âme (1745) Politique du Mèdecin de Machiavel (Polemik gegen Ärzte) -> Flucht in die Niederlande 1748: Mensch als Maschine (L'homme maschine) Seele als Resultat komplexer Körperfunktionen * 25. Dezember 1709 in Saint-Malo; 11. November 1751 in Potsdam -> Flucht nach Preußen zu Friedrich II Mitglied der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Leibarzt und Vorleser des Königs 1748 Discours sur le boneur nachhaltige Verstimmung bei Hof, aber keine Sanktionen (Toleranz) Rolle des Hofnarren starb angeblich an Lebensmittelvergiftung 6

7 Reduktionismus funktioniert in einigen Fällen tatsächlich. Kinetische Gastheorie (Thermodynamik) Molekulardynamik Verkehrsdynamik Modellierung und Simulation des Fußgänger- und Autobahnverkehrs, basierend auf einem Mix physikalischer und sozialwissenschaftlicher Konzepte, will kollektive Bewegungsmuster erklären, die durch Selbstorganisation entstehen In vielen Fällen ist der Reduktionismus unpraktisch, da er viele Informationen liefert, die wir gar nicht benötigen, oder einfach zu aufwändig ist. 1.2 Aufgabe der Modellierung Aufgabe der Modellierung ist die Beschreibung des Verhaltens komplexer Systeme ohne Zurückführung auf Eigenschaften der Bestandteile. Gesucht wird ein mathematischer Zusammenhang, der die zeitliche Entwicklung wiedergibt, um eine Prognose zu ermöglichen. 7

8 Thomas Robert Malthus 1798 An Essay on the Principle of Population (brit. Geistlicher, 1804 Prof. für Nationalökonomie am Kollegium der Ostindischen Kompanie) Idee: Wenn jedes Paar 4 Kinder hat und diese wieder 4 Kinder pro Paar, wächst die Bevölkerung immer schneller (exponentiell). N: Bevölkerungszahl d N = r N N t = N 0 e r t 13. Februar 1766 Rookery bei Guildford 23. Dezember 1834 Bath Einschränkungen: - zeitliche Schwankungen der Geburtenrate - Kriege, Hungersnöte t Problem: Nahrungsmittel (Ressourcen) steigen nur linear mit der Zeit -> Bedarf wird irgendwann Angebot übersteigen Malthus: Hebung des allgemeinen Bildungsstandards liefert einen Beitrag zur Reduktion der Geburtenrate. 8

9 6 Milliarden Menschen 12. Oktober 1999, 6 Bevölkerungswachstum 10 Bevölkerungswachstum 5 Weltbevölkerung / Mrd Weltbevölkerung / Mrd 1 0, , Jahr Jahr 9

10 Angenommen, wir kennen die Zeitreihe und wollen daraus den mathematischen Zusammenhang ermitteln: Messfehler: Durch Punkte mit Messfehlern können verschiedene Kurven gelegt werden. Gesucht wird eine mittlere (optimale), geglättete Kurve: oder N t = N 0 e r t N t = N 0 a 1 t a 2 t 2... a n t n Welche Kurvenform ist die richtige? = i=0 a i t i Im Allgemeinen: Keine Ahnung! Durch das Aufstellen eines Modells sollen bekannte kausale Zusammenhänge berücksichtigt und eine gute Anpassung an experimentelle Daten erreicht werden. Eine gute Anpassung bedeutet nicht, dass unser Modell korrekt ist! 10

11 1.3 Optimierung (Fitten von Daten, Anpassung) Messwerte N i zur Zeit t i Modellwerte seien M t = M 0 e r t mittlere quadratische Abweichung: F = 1 k i=1 k N i M t i 2 Suche Minimum der Funktion F in Abhängigkeit von M(0) und r. -> entspricht tiefstem Punkt der Fläche Numerische Mathematik: Intervallhalbierungsverfahren Sekantenverfahren Simplex-Verfahren Gradientenverfahren Konjugierte-Gradienten-Verfahren. Newton-Verfahren genetische Algorithmen 11

12 Für nur einen Parameter und ein Minimum F aber oft viele lokale Minima F? Suchstrategien: O. Bénichou et al. PRL 94, Optimal Search Strategies for Hidden Targets Hund folgt Spur Student folgt Schokospur J. Porter et al. Nature Neuroscience - 10, (2007) Jetzt: Beschränkung auf Modellierung (Optimierung: freundlicher Mathematiker :-) Modell = mathematisches Erfassen kausaler Zusammenhänge mit dem Ziel der Prognose. Kausale Zusammenhänge = bekannte oder oft nur vermutete Zusammenhänge 12

13 Mehr als die Vergangenheit interessiert mich die Zukunft, denn in ihr gedenke ich zu leben. A. Einstein Gefahr: Prognosen können falsch sein! nicht ausreichender Wissensstand falsche Vermutungen über kausale Zusammenhänge falsche / zu ungenaue Messwerte zu wenig Messwerte falsches Modell "Prognosen sind schwierig, besonders wenn sie die Zukunft betreffen." (zugeschrieben Karl Valentin, Mark Twain, Winston Churchill, G. B. Shaw u.a.) "Ich denke, dass es einen Weltmarkt für vielleicht fünf Computer gibt. " Thomas Watson, Vorsitzender von IBM, 1943 "Schwerere als Luft? Flugmaschinen sind unmöglich." Lord Kelvin, Präsident der Royal Society, 1895 "Bohrer für Öl? Sie meinen, in die Erde bohren und versuchen Öl zu finden? Sie sind verrückt." Bohrer, die Edwin L. Erpel, zu seinem Projekt, nach Öl zu bohren,1859 einstellen wollte 13

14 Modellierung chemischer Reaktionen als Beispiel für Probleme a) direkte Umwandlung A -> C d n A = 1 n A d n C = 1 n A Soviel, wie A zerfällt, muss C entstehen, d.h. die entsprechenden Zerfallsraten und Entstehungsraten müssen gleich sein. d n A = d n c b) Umwandlung über Zwischenprodukt A -> B -> C d n A = 1 n A d n B = 1 n A 2 n B d n C = 2 n B d n A Falls B kurzlebig ist, langsam gebildet und schnell verbraucht wird: -> κ 1 «κ 2, dann ist n B 0, κ 1 n A = κ 2 n B. 14

15 1.4 Wichtig für die Modellbildung: Typisches Verhalten ist oft unabhängig von der Art des Systems und der Wechselwirkung. (z. B. chemische Reaktion und Kernzerfall) Damit sind aber die entsprechenden DGL und deren Lösungen gleich. z. B. Populationsdynamik eines Waldschädlings Wählerverhalten in der Politik Phasenübergänge flüssig gasförmig lassen sich für bestimmte Fragestellungen durch ähnliche Gleichungen beschreiben. (Tieferer Grund: statistisches Verhalten von Systemen mit sehr vielen Objekten.) -> Kenntnisse aus einem Gebiet können für Probleme aus anderen Gebieten hilfreich sein. Allgemeine Theorien die sich damit beschäftigen: H. Haken Synergetik R. Thom Katastrophentheorie 15