z k Anwendung des Quotientenkriteriums ergibt z k+1 (k + 1)! z k+1 k! = z k (k + 1)! = z k + 1

Transkript

1 Beispiel: Wir untersuchen die Konvergenz der Reihe k=1 z k k! (z C) Anwendung des Quotientenkriteriums ergibt z k+1 (k + 1)! z k z k+1 k! = z k (k + 1)! = z k + 1 k! Damit konvergiert die Reihe (absolut) 0 (k ) Setze für alle komplexen Zahlen z C exp(z) := z k k! k=1 105 Umordnungssatz für Reihen Sei σ : N 0 N 0 eine beliebige Bijektion (Permutation) auf N 0 Vergleiche a k mit a σk Beispiel (alternierende harmonische Reihe) (σ k = σ(k)) Satz: 1) Ist die Reihe Reihe 2) Ist die Reihe a k absolut konvergent, so ist auch jede umgeordnete a σk absolut konvergent und es gilt so ist die Ausgangsreihe a k = a σk a σk für jede Permutation σ : N 0 N 0 konvergent, a k absolut konvergent 106

2 Produkt von Reihen Ausmultiplizieren von Reihen möglich? a k b? l = l=0 k=l=0 a k b l Rechte Seite: jedes Indexpaar (k, l) N 0 N 0 tritt genau einmal auf Satz: Die Reihen a k und Dann ist die Reihe (σ, µ) : N 0 N 2 0 a σk b µk l=0 b l seien absolut konvergent für jede Numerierung der Indexpaare (Bijektion) absolut konvergent und es gilt: a σk b µk = a k b l l=0 107 Beweis: Für m N gilt für hinreichend großes N m N N a σk b µk a k b l a k b l l=0 l=0 Also ist die Reihe a σk b µk absolut konvergent, ihr Grenzwert ist daher nach dem Umordnungssatz unabhängig von der Permutation (σ, µ) Zur Berechnung des Grenzwertes wählt man eine spezielle Reihenfolge (σ k ) (µ k ) 108

3 Spezielle Reihenfolge: (σ k ) (µ k ) Für m = (n + 1) 2 1 ergibt sich dann m und daher m m a σk b µk = (a 0 + a a n )(b 0 + b b n ) a σk b µk = n n a n k b l = a k b l l=0 l=0 109 Weiterer Spezialfall: Numerierung entlang der Diagonalen (σ k ) (µ k ) Man erhält damit das Cauchy Produkt der Reihen: n = a k b n k a k b l l=0 n=0 = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 ) + 110

4 Anwendung zum Cauchy Produkt: exp(z) := z k k! Für die durch (z Z) definierte Exponentialfunktion gilt die Funktionalgleichung Begründung: exp(z) exp(w) = exp(z + w) = exp(z) exp(w) Die obige Reihe ist absolut konvergent Damit folgt = = z k w l n z k w n k = k! l! l=0 n=0 k!(n k)! ( ) 1 n n z k w n k n=0 n! k 1 n=0 n! (z + w)n = exp(z + w) 111 Kapitel 4: Stetigkeit und Differenzierbarkeit 41 Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen Zunächst: Beispiel auf Folie 112

5 Kapitel 4: Stetigkeit und Differenzierbarkeit 41 Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen V und W normierte Vektorräume, f : D W, D V eine Funktion Definition: 1) Ein Punkt x 0 V heißt Häufungspunkt von D, falls eine Folge (x n ) n N existiert mit n N : x n D, x n x 0, n x n = x 0 Wichtige Notationen: D = Menge aller Häufungspunkte von D D = D D = abgeschlossene Hülle (topologische Abschluss) von D 2) Die Menge D heißt abgeschlossen, falls D D, also D = D gilt 113 Definition: (Fortsetzung) 3) Zu x 0 V und ε > 0 bezeichne K ε (x 0 ) := {x V x x 0 < ε} die (offene) Kugel um x 0 mit Radius ε 4) Die Menge D heißt beschränkt, falls es ein ε > 0 und ein x 0 V gibt mit D K ε (x 0 ) 5) Ein Punkt x 0 D heißt innerer Punkt von D, falls es ein ε > 0 gibt mit K ε (x 0 ) D Notationen: D 0 (= int(d)) = Menge aller inneren Punkte von D = (offene) Kern von D = Innere von D 6) Die Menge D heißt offen, falls D 0 = D gilt 114

6 Beispiele: 1) D = (0, 1) R ist offen mit D = [0, 1], D = [0, ) R ist abgeschlossen 2) Sei D = (, 0) {1} (2, ) 3) D = K ε (x 0 ) V ist offen D = (, 0] [2, ) D = (, 0] {1} [2, ) D 0 = (, 0) (2, ) D = {x x x 0 ε} =: K ε (x 0 ) ist die abgeschlossene Kugel 4) Innere Punkte x 0 D 0 sind immer Häufungspunkte von D, da x 0 + ε z x 0, n, z V, z 0 n + 1 z 115 Definition: Gegeben sei f : D W, D V und ein x 0 D 1) f(x) konvergiert für x x 0 gegen den Grenzwert y 0, falls für jede Folge (x n ) n N, x n D, x n x 0 gilt: n x n = x 0 f(x n n ) = y 0 Notation: f(x) = y x x0 0 2) Im Fall D = R lassen sich einseitige Grenzwerte definieren: f(x) = y 0 : (x n ) n N : x n D, x n < x 0 : x x 0 x x + 0 n x n = x 0 f(x n n ) = y 0 f(x) = y 0 : (x n ) n N : x n D, x n > x 0 : n x n = x 0 f(x n n ) = y 0 116

7 Beispiel 1: Betrachte die Funktion definiert durch f(x) = { 0 : x < 0 x = 1 1 : sonst Für x 0 existiert der Grenzwert der Funktion nicht! Weiter gilt Notation: f(x) = 1 f(1) x 1 Sprungfunktion Beispiel 2: Für die Funktion f : R\{0} R, f(x) = sin(1/x) existiert weder der Grenzwert f(x) noch f(x) x 0 + x 0 Beispiel 3: Für die Funktion f(x) = 1/x existieren die beiden einseitigen uneigentlichen Grenzwerte 1 x 0 + x = + 1 x 0 x = 117 Bemerkung: Grenzwertsätze für Folgen gelten auch bei Grenzwerten von Funktionen, dh 1) Für den Grenzwert einer Summe gilt: (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) x x 0 x x0 x x0 2) Für den Grenzwert eines Produkts mit λ gilt: (λf(x)) = λ f(x) x x 0 x x0 3) Ist der Wertebereich W gleich R oder C, so gilt für Produkte: (f(x) g(x)) = ( x x 0 x x0 f(x)) ( x x0 g(x)) Entsprechend gilt für vektorwertige Funktionen in R n oder C n : x x 0 (f 1 (x),, f n (x)) = ( x x0 f 1 (x),, x x0 f n (x)) 118

8 Definition: (Stetige Funktionen) Sei f : D W, D V 1) Die Funktion f(x) heißt stetig ergänzbar in x 0 D, falls x x0 f(x) existiert (und endlich ist) 2) Die Funktion f(x) heißt stetig in x 0 D D, falls x x 0 f(x) = f(x 0 ) gilt 3) Die Funktion f(x) heißt stetig, falls f(x) in allen Punkten x 0 D D stetig ist Satz: (ε δ Definition) Für x 0 D D sind die folgenden Eigenschaften äquivalent: 1) f(x) ist stetig in x 0, dh x x0 f(x) = f(x 0 ) 2) ε > 0 : δ > 0 : x D : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε 119 Beweis: 1) 2): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f(x δ f(x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f(x n ) f(x 0 ) ε Wegen f(x n ) f(x 0 ) ε gilt sowie x n x 0 x n D \ {x 0 } n x n = x 0 Gleichzeitig konvergiert aber (f(x n )) n N nicht gegen f(x 0 ) Widerspruch dazu, dass f(x) im Punkt x 0 stetig ist 120

9 Beweis: (Fortsetzung) 2) 1): Es gelte n x n = x 0, x n D \ {x 0 } Zu ε > 0 wählt man ein δ > 0 mit x D : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε Sei nun N = N(ε) mit Dann folgt direkt n N : x n x 0 < δ also n N : f(x n ) f(x 0 ) < ε n f(x n) = f(x 0 ) Damit ist die Funktion f(x) stetig im Punkt x 0 121