Mathematik-Verlag, 1

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2 005 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analysis: Ableiten, Stammfunktion, ganzrationale Gleichungen, Asymptoten, Normalengleichung, Differenzialrechnung Schaubilder zuordnen. Analytische Geometrie: lineares Gleichungssystem, Koordinatengleichung einer Ebene, Spiegeln eines Punktes an einer Ebene. Aufgabe 1: Die Funktion f mit f() = 3 e muss mit der Produktregel abgeleitet werden. Mit u() = 3 und v() = e erhält man: u () = 3 und v () = e Durch Einsetzen in die Formel f () = u () v() + u() v () folgt: f () = 3 e + 3 e = 3 e + 3 e Ausklammern von e = e (3 + ) Aufgabe : Mit den Regeln zur Bestimmung der Stammfunktion erhält man: F() = sin( ) (Die Konstante C ist wegegelassen.) F() = 8 sin( 1 ) Aufgabe 3: Zunächst sollte der Faktor ausgeklammert werden: ( 4 3 4) = 0 Nach dem Satz vom Nullprodukt muss dann gelten: (I) 1 = 0 Das ist die erste Lösung. (II) = 0 Die Lösungen der Gleichung = 0 kann man berechnen, wenn man durch u substitutiert: = u Mit dieser Substitution lautet die Gleichung: u 3u 4 = 0. Mit der Formel u 1, = b ± b a 4ac erhält man: u 1 = 4 und u = 1 Mathematik-Verlag,

3 005 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtteil Zur Berechnung der gesuchten -Werte muss man diese Lösungen jeweils in die Gleichung = u einsetzen (Rücksubstitution) und nach auflösen: = 4 = und 3 = = 1 keine weiteren Lösungen. Die Lösungen der Gleichung = 0 sind also: 1 = 0, = und 3 = Aufgabe 4: Berechnung der Asymptoten: Zur Bestimmung der waagrechten Asymptoten muss man das Verhalten der Funktionswerte f() für ± untersuchen: lim 4 + = 4 (Man beachte, dass der Term 4 Damit ist die Gerade y = 4 eine waagrechte Asymptote. 4 für + verschwindet.) lim 4 = 4 (Man beachte, dass der Term 4 4 auch für verschwindet.) Auch für nähert sich das Schaubild der Asymptote y = 4 an. Zur Bestimmung der senkrechten Asymptoten muss man das Verhalten an den Definitionslücken untersuchen. Die Definitionslücke ist an der Stelle = 0, da der Nenner nicht 0 sein darf: Von rechts: 4 lim 4 (Man beachte, dass der Term +0 Damit ist die Gerade = 0 eine senkrechte Asymptote. 4 für +0 gegen unendlich geht.) Von links: 4 lim 4 (Man beachte, dass der Term 0 Auch für 0 nähert sich das Schaubild der Asymptote = 0 an. 4 für 0 gegen unendlich geht.) Mathematik-Verlag, 3

4 005 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtteil Skizzieren des Schaubilds: f() 4 y = Berechnung der Normalen in P( f()): Jede Normale ist eine Gerade und hat die allgemeine Form y = m + b. Da die Normale durch den Kurvenpunkt P( f()) gehen soll, kann die Geradensteigung m mit der ersten Ableitung an der Stelle = berechnet werden. Es gilt: m = Mit f () = 1 f' () 8 erhält man: f () = 1 und damit m = 1 3 Damit lautet die (unvollständige) Normalengleichung n: y = 1 + b Den noch fehlenden y-achsenabschnitt b berechnet man durch Einsetzen der Koordinaten 4 von P( f()) mit f() = 4 = 3. Einsetzen der Koordinaten von P( 3) in y = 1 + b ergibt: 3 = 1 + b 3 = + b b = 5 Damit lautet die Normalengleichung n: y = + 5 Mathematik-Verlag, 4

5 005 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtteil Aufgabe 5: a) Zuordnung der Funktion f: Da das Schaubild von f durch den Ursprung geht (wegen f(0) = 0), muss entweder Bild 1 oder Bild 4 das Schaubild von f sein. Weil nun alle f()-werte positiv sind (f() = e > 0 für alle IR) und das Schaubild 4 auch unterhalb der -Achse verläuft, kann nur Bild 1 für die Funktion f in Frage kommen. (Man beachte, dass weder der noch e negativ sein können!) b) Zuordnung der Funktionen f, F und g: f Bild 4, F Bild und g Bild 3 Begründungen: Da das Schaubild von f zwei Etrempunkte hat (Punkte, in denen die Steigung 0 ist), muss das Schaubild der Funktion f zwei Nullstellen haben (bei = 0 und = ). Somit kommt nur Bild 4 für das Schaubild von f in Frage. Wegen F () = f() geben die Funktionswerte der Funktion f die Steigungen des Schaubilds von F in den entsprechenden Stellen an. Aus f(0) = 0 folgt somit, dass das Schaubild von F an der Stelle = 0 die Steigung 0 haben muss. Und das trifft nur für Bild zu. 1 Das Schaubild der Funktion g mit g() = hat als einziges aller Schaubilder an der e Stelle = 0 eine Definitionslücke. Genau dies stimmt mit Bild 3 überein. Aufgabe 6: Lösung des Gleichungssystems und Deutung der Lösungsmenge: Zunächst muss das Gleichungssystem auf Stufenform gebracht werden (Gauss-Verfahren). (I) = 10 (II) = 8 (III) = 3 (IV) = 10 (V) = (I) (II): = (VI) = (I) (III): = 7 (VII) = 10 (VIII) = (IX) = 3 (V) (VI): 4 3 = 8 Aus Gleichung (IX) folgt: 3 = Aus Gleichung (VIII) folgt: = 1 Mathematik-Verlag, 5

6 005 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtteil Einsetzen von 3 = und = 1 in Gleichung (VII) ergibt: = 10 1 = 4 Die Lösungsmenge ist also: L = {4; 1; } Deutung der Lösungsmenge: Betrachtet man jede der drei Gleichungen als eine Koordinatengleichung einer Ebene im Raum, so gibt die Lösung des Gleichungssystems die Schnittmenge dieser Ebenen an. Da es genau eine Lösung gibt, ist die Schnittmenge der Ebenen ein Punkt: P(4 1 ). Aufgabe 7: Die Koordinatengleichung der Ebene: Zunächst sollte man die Parametergleichung der Ebene aufstellen. Da die Ebene die Gerade enthält, kann man als Stützvektor g E 3 der Ebene den Stützvektor der Geraden OB = 3 nehmen B.. A 1 und als einen Spannvektor der Ebene den Richtungsvektor der Geraden. Der zweite Spannvektor der Ebene ist der Vektor zwischen dem Punkt A und dem Stützpunkt der Geraden: 3 1 AB = 3 1 = Damit lautet die Parametergleichung der Ebene: E: = 3 + s 0 + t Um die Koordinatengleichung der Ebene E aufzustellen, muss man zuerst den Normalenvektor n bestimmen. Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht, muss gelten: (I) n v 1 = 0 und (II) n v = 0 n.. v 1 v E Zur Erinnerung: Wenn Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt 0. erhält man durch Ausmultiplizieren beider Skalarprodukte das Gleichungs- n Mit n = n n system: (I) 3n 1 + 1n 3 = 0 (II) 1n 1 + 4n + 3n 3 = Mathematik-Verlag, 6

7 005 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtteil Da dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, darf man eine Koordinate von n frei wählen ( 0). (Da der Normalenvektor beliebig lang sein darf, muss das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen haben.) Mit n 1 = 1 erhält man aus Gleichung (I): n 3 = 3 Einsetzen in Gleichung (II) ergibt: 1 + 4n 9 = 0 n = Damit lautet die (unvollständige) Koordinatengleichung der Ebene E: = d Den Wert für d erhält man durch Einsetzen der Koordinaten eines Ebenenpunktes. Mit A( 1 ) folgt: 1 () + ( 1) 3 ( ) = d d = 6 Eine Koordinatengleichung der Ebene ist also E: = 6 Aufgabe 8: Verfahren zur Spiegelung des Punktes P an einer Ebene: Die Koordinaten des Spiegelpunktes P erhält man durch Vektoraddition. Für den Ortsvektor des Punktes P gilt:. P OP' = OP + PF + FP' Da P den gleichen Abstand zur Ebene E haben muss wie P und die Verbindung PP senkrecht auf der Ebene steht, sind die Vektoren PF und FP' identisch: PF = FP' Daraus folgt für die obige Vektorgleichung: OP' = OP + PF O. F. g.. P' E Zur Berechnung von OP' benötigt man also nur noch die Koordinaten des Lotfußpunktes F. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt zwischen der Lotgeraden g, die durch P verläuft, und der Ebene E. Da die Lotgerade g senkrecht auf E steht, ist ihr Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene. Mathematik-Verlag, 7

8 005 Wahlteil Analysis 1 Lösungen zur Prüfung 005: W ahlteil - A nalysis 1 Benötigte Kenntnisse: Funktionen aufstellen, Gleichungssystem lösen, Integration über Änderungsrate, Grenzwertberechnung, vollständige Induktion. Aufgabe 1a): Berechnung der Werte a und b: Aus den Werten der ersten und fünften Woche ergeben sich die Kurvenpunkte A(1 6) und a + 15 B(5 86). Setzt man die - und y-koordinate jeweils in die Funktionsgleichung f() = b + 15 ein, erhält man folgendes Gleichungssystem: (Man beachte, dass man für f() die y-koordinate schreiben muss!) a Mit A(1 6): 6 = b (b + 15) 6(b + 15) = a b = a + 15 a 390 a + 6b = 375 (I) a Mit B(5 86): 86 = b (5b + 15) 86 (5b + 15) = 5a b = 5a a 190 5a + 430b = 175 (II) Lösung des Gleichungssystems: (I) a + 6b = 375 ( 5) (II) 5a + 430b = 175 (III) = ( 5) (I) + (II): 300b = 600 b = Einsetzen von b = in Gleichung (I) ergibt: a + 5 = a = 47 ( 1) a = 47 Die Funktionsgleichung lautet also: f() = Mathematik-Verlag, 8

9 005 Wahlteil Analysis 1 Lösungen zur Prüfung 005: W ahlteil - A nalysis 1 Das Schaubild K der Funktion f: y in Stückzahl pro Woche K in Wochen Zum Zeichnen des Schaubilds ist eine Wertetabelle hilfreich ( mit GTR erstellen): X in Wochen F() in Stückzahl pro Woche Verlauf der wöchentlichen Verkaufszahlen: Die wöchentlichen Verkaufszahlen steigen zunächst steil an. Gegen Ende des Jahres wird die Kurve immer flacher. Das heißt, die wöchentlichen Verkaufszahlen nehmen nicht mehr so stark zu und nähern sich einem konstanten Wert. Begründung: Für ein neues Produkt wird immer Werbung getrieben. Wenn noch niemand das Produkt hat, ist bei einer erfolgreichen Werbung zu Anfang immer mit einem steilen Anstieg der Verkaufszahlen zu rechnen. Im weiteren Verlauf des Jahres kommen deswegen immer weniger Neukunden hinzu, da es immer weniger Menschen gibt, die das Produkt noch nicht haben. Aufgabe 1b): Zahl der verkauften Tuben in den ersten 5 Wochen: Die Funktion f gibt die Verkaufszahlen pro Woche an; f kann daher als Änderungsrate betrachtet werden. Wenn man also die Gesamtzahl N 5 der in den ersten 5 Wochen verkauften Tuben wissen will, muss man das Integral über f berechnen (mit den Grenzen 0 bis 5 Wochen): Tubenzahl = N 5 = 5 f() d = d. Mit dem GTR erhält man: N 5 = 7801 Tuben Mathematik-Verlag, 9

10 005 Wahlteil Analysis 1 Lösungen zur Prüfung 005: W ahlteil - A nalysis 1 Zeitpunkt, an dem mehr als 1500 Tuben verkauft sind: Der Zeitpunkt t, an dem mehr als 1500 Tuben verkauft sind, ist dann erreicht, wenn gilt: t d Diesen Zeitpunkt t kann man ermitteln, indem man im Integral t d + 15 obere Grenze t verschiedene Werte einsetzt und das Integral mit dem GTR berechnet. In folgender Tabelle wird der gesuchte Zeitpunkt von links nach rechts angenähert: 0 für die t in Wochen t N t = d in verkaufte Stückzahl Man erkennt, dass nach 16 Wochen mehr als 1500 Tuben verkauft sind. Aufgabe 1c): Das Schaubild C der Funktion g: y in Stückzahl pro Woche C K in Wochen Langfristige Verkaufszahlen von Supermarkt B: Für die wöchentlichen Verkaufszahlen VZ, die Supermarkt B langfristig erwarten kann, gilt: VZ = lim g() = lim (14 14 e 0,08 ) = 14 (Man beachte, dass für der Term 14 e 0,08 gegen 0 geht, also verschwindet.) Langfristig wird Supermarkt B also 14 Tuben pro Woche verkaufen. Mathematik-Verlag, 10

11 Ende der Musterseiten zu den Lösungen 005. (Die Original-Datei umfasst 35 Seiten.) Mathematik-Verlag, 11