Aufgabe 1. Aufgabe 2. Die Formel für den mittleren Fehler einer Streckenmessung mit Meßband lautet:

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1 Semesterklausur Fehlerlehre und Statistik WS 96/ Februar 1997 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Die Formel für den mittleren Fehler einer Streckenmessung mit Meßband lautet: m s : mittlerer Fehler der Strecke k: Konstante s: Strecke ms = k s a) Leiten Sie die Formel für den mittleren Fehler der Fläche eines Rechteckes her, dessen zwei Seiten mit Meßband gemessen wurden. Vereinfachen Sie so weit als möglich. (40) Die Höhe des Punktes N soll durch trigonometrische Höhenbestimmung mit horizontalem Hilfsdreieck bestimmt werden. Die Berechnung erfolgt sowohl von Punkt 1 als auch von Punkt 2 aus. Die erhaltenen Werte werden gemittelt. Es wurden die folgenden Horizontal- und Zenitwinkel beobachtet: α = gon β = gon ζ 1 = gon ζ 2 = gon m α = 1 mgon m β = 1 mgon m ζ1 = 2 mgon m ζ2 = 2 mgon ζ 1 1 N α β ζ 2 2 Die Koordinaten der Festpunkte sind bekannt und werden als fehlerfrei betrachtet: Punkt Y [m] X [m] H [m] a) Berechnen Sie die Höhe des Punktes N nach dem oben angegebenen Rechenweg. b) Bestimmen Sie den mittleren Fehler der Höhe des Punktes N. (80)

2 Nachklausur Fehlerlehre und Statistik WS 96/ April 1997 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Die Gleichungen einer 3-Parameter-Transformation für die Umformung von Koordinaten des u,v-systems in solche des x,y-systems lauten: x = x + cosϕ u sinϕ v 0 y = y + sinϕ u+ cosϕ v 0 Zwei Punkte 1 und 2 definieren ein lokales Koordinatensystem. Punkt 1 bildet den Koordinatenursprung, die y-achse verläuft durch den Punkt 2. Zur Bestimmung des Punktes 3 wurden die Winkel α und β sowie die Strecke b beobachtet. Die Koordinaten des Punktes 4 sind bekannt und fehlerfrei. Die Transformationsparameter x 0, y 0 und ϕ sind fehlerfrei. Die beobachteten Koordinaten u und v sind voneinander unabhängig. Die Standardabweichungen der Beobachtungen σ u und σ v sind bekannt. a) Leiten Sie die Formeln für die Berechnung der Varianzen von x und y her. Vereinfachen Sie soweit wie möglich. b) Bei welchem Drehwinkel ϕ sind die Koordinaten x und y voneinander unabhängig? Es wird vorausgesetzt, daß σ u und σ v nicht gleich sind. Beobachtungen: Koordinaten des Punktes 4: b = m σ b = ± 5 mm x 4 = m α = gon σ α = ± 3 mgon y 4 = m β = gon σ β = ± 3 mgon a) Berechnen Sie die Strecke s 34 aus den Koordinaten der Punkte 3 und 4. b) Bestimmen Sie die Standardabweichung der Strecke s 34. (80)

3 Semesterklausur Fehlerlehre und Statistik WS 97/ Februar 1998 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Der Höhenunterschied dh zwischen zwei Punkten soll durch trigonometrische Höhenbestimmung ermittelt werden. Dazu sollen die Schrägstrecke s und der Zenitwinkel z beobachtet werden. Von einem Standpunkt S wurden die Punkte 1, 2 und 3 polar aufgemessen. Die Standardabweichungen der Einzelbeobachtungen sind bekannt: σ s = ± 6 mm σ z = ± 3 mgon Ebenso sind Näherungswerte für die Beobachtungen bekannt: s 100 m z 70 gon Der Höhenunterschied dh soll mit einer Standardabweichung von σ dh 2 mm bestimmt werden. Die Beobachtungen s und z sind voneinander unabhängig. Dabei wurden die folgenden Werte beobachtet: Zielpunkt Richtung [gon] Strecke [m] 1 24, , , , , ,871 a) Wie oft müssen s und z gemeinsam beobachtet werden damit die geforderte Genauigkeit für dh erreicht wird? b) Wie oft muß z beobachtet werden um die geforderte Genauigkeit zu erreichen, wenn s nur einmal beobachtet werden kann? (12) Die Standardabweichungen der Beobachtungen betragen: σ r = ± 3 mgon σ s = ± 1 cm a) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks 1,2,3. (12) b) Ermitteln Sie die Standardabweichung der Dreiecksfläche 1,2,3. (46)

4 Nachklausur Fehlerlehre und Statistik WS 97/98 3. Juni 1998 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Bei einem Nivellement betrage der mittlere Fehler einer Lattenablesung m Abl. = ± 1mm. Die Strecke zwischen zwei Wechselpunkten sei für alle Aufstellungen gleich s = 40m. Bei der Digitalisierung einer Karte sind für die Punkte P 1 und P 2 die Koordinatenunterschiede x und y bestimmt worden. Aus den Koordinatenunterschieden sollen der Richtungswinkel t 1,2 und die Strecke s 1,2 berechnet werden. Die mittleren Fehler m x und m y sind bekannt. Die Größen x und y sind nicht korreliert. m Abl x y P 2 x t 1,2 s 1,2 40m P 1 a) Wie groß ist der mittlere Fehler des Gesamtöhenunterschiedes m km bei einem Nivellementsweg von 1km? b) Wie oft muß nivelliert werden, um einen mittleren Fehler des gemittelten Gesamthöhenunterschiedes von ± 3 mm nicht zu überschreiten? (15) a) Geben Sie die Berechnungsformeln für die mittleren Fehler von s 1,2 und t 1,2 an. b) Geben Sie die Berechnungsformel für den Korrelationskoeffizienten ρ s,t der Größen s 1,2 und t 1,2 an. Vereinfachen Sie soweit als möglich. y (25) c) Unter welchen geometrischen Bedingungen nimmt der Korrelationskoeffizient minimale bzw. maximale Werte an?

5 Semesterklausur Fehlerlehre und Statistik WS 98/ Februar 1999 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Die Standardabweichung für eine einmal mit einem elektronischen Distanzmesser beobachtete Strecke berechne sich wie folgt: mit σ s = ± ( a + b s) a = 3 mm b = Die Koordinaten eines Neupunktes N sollen durch polares Anhängen bestimmt werden. Es wurden die Richtungen r 1 und r 2 sowie die Strecke s beobachtet. Aufgrund des Zentrierfehlers bei der Instrumentenaufstellung sind die Koordinaten der Anschlußpunkte als fehlerbehaftet zu betrachten. F1 r 1 r 2 s N Die Reichweite des Distanzmessers betrage 5000 m. a) Berechnen Sie die Standardabweichung einer 3000 m langen Strecke. b) Berechnen Sie die Standardabweichung der Summe von zwei 1500 m langen Teilstrecken. c) In wieviel gleich lange Teilstrecken muß eine ca m lange Gesamtstrecke unterteilt werden, damit die Standardabweichung der Gesamtstrecke minimal wird? (5) F2 Beobachtung Wert Standardabweichung x1 355,763 m ± 3 mm y1 588,387 m ± 3 mm x2 130,125 m ± 3 mm y2 694,542 m ± 3 mm r1 0,0000 gon ± 1 mgon r2 57,5856 gon ± 1 mgon s 163,562 m ± 5 mm a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes N. (2) b) Geben Sie den genauen Rechenweg für die Berechnung der Standardabweichungen von x N und y N sowie für deren Korrelationskoeffizienten an. (keine Zahlenwerte) (40)

6 Nachklausur Fehlerlehre und Statistik WS 98/ Juni 1999 Zeit: 2 Stunden Alle Hilfsmittel sind zugelassen Für die Bestimmung der Länge wurde die Strecke AB in zwei unterschiedlich lange Teilstrecken S 1 und S 2 unterteilt. Die Standardabweichungen σ 1 und σ 2 für eine Einzelbeobachtung der jeweiligen Teilstrecke sind bekannt. Die Teilstrecke S 1 wurde 3 mal, die Teilstrecke S 2 wurde 5 mal beobachtet. Vor der Berechnung der Gesamtstrecke S G erfolgte eine Mittelbildung für die Teilstrecken. Für die Bestimmung einer Flurstückgeometrie wurde die abgebildete Orthogonalaufnahme durchgeführt. 1 2 A S 1 S 2 3 x gemessen 5 x gemessen B 4 3 S G Die Beobachtungen weisen folgende Standardabweichungen auf: a) Leiten Sie die Formel für die Berechnung der Standardabweichung der Gesamtstrecke her. Abszissenbeobachtungen: Ordinatenbeobachtungen: Rechte Winkel: σ A = ± 1 cm σ O = ± 2 cm σ w = ± 0,03 gon b) Leiten Sie die Formel für die Berechnung des Korrelationskoeffizienten zwischen der Gesamtstrecke S G und einer Einzelbeobachtung der ersten Teilstrecke her. (15) a) Welche Beobachtungen haben keinen Einfluß auf die Standardabweichung der Fläche? (5) b) Berechnen Sie die Fläche des Flurstücks und deren Standardabweichung. c) Berechnen Sie die Strecke s 13 und deren Standardabweichung. (20)