Nur für die Lehrkraft

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Fach Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Herbst 01 (B) Nur für die Lehrkraft Prüfungstag Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine und spezielle Arbeitshinweise Erwartungshorizonte 09:00 1:00 Uhr Nicht graphikfähiger Taschenrechner mit gelöschtem Programmierteil, kein CAS- Rechner, Handbuch/Gebrauchsanleitung muss vorliegen, Formelsammlung, Rechtschreib-Wörterbuch (siehe Aufgabendeckblatt) Beachten Sie bitte das Schülerdeckblatt. Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswege oder Lösungsansätze, die schlüssig dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der im Erwartungshorizont dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didaktischen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilaufgabe ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischenergebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht anzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspraxis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist. Aufgabe Nr.: Soll Summe: 100

2 Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Aufgabenvorschlag B 1 Funktionsuntersuchung /0 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung 1 f ( x) = ( x + 6x 1x ) ; x IR. 1 Der Graph der Funktion sei G f. 1.1 Untersuchen Sie Gf auf Symmetrie. Begründen Sie Ihre Aussage. 1. Weisen Sie nach, dass x = eine Nullstelle von f ist. Berechnen Sie alle Schnittpunkte von G mit den Koordinatenachsen. 1. Bestimmen Sie die Art und Lage der Extrempunkte und die Lage des Wendepunktes von G f. Hinweis: Die Überprüfung des Wendepunktes soll mit Hilfe der. Ableitung erfolgen. 1. Zeichnen Sie 8, ;, f unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte. Berechnen Sie auch die Funktionswerte am Rand des Intervalls. Nutzen Sie für die Zeichnung das Koordinatensystem auf der folgenden Seite. G im Intervall [ ] 1.5 An der Stelle x = 1 hat der Graph der Funktion f die Normale n. Bestimmen Sie die zugehörige Gleichung dieser Normalen. Zeichnen Sie den Graphen von n mit in das Koordinatensystem von Aufgabe 1.. [zur Kontrolle: ( x ) 7 8 n = x + ] Bestimmen Sie den Inhalt der Dreiecksfläche, die die Normale n (siehe Aufgabe 1.5), die Gerade x = 1 und die x-achse einschließen. f / /7 /1 /6 /6 /7 Koordinatensystem für die Aufgaben 1. und 1.5 nächste Seite Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite 1 von 5

3 B Koordinatensystem zu den Aufgaben 1. und 1.5: Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite von 5

4 B Rekonstruktion /15 Der Graph einer Funktion dritten Grades geht durch den Koordinatenursprung und hat im Punkt W ( 1 ) eine Wendetangente mit der Steigung..1 Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f. /11 Hinweis: Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, dann lösen Sie das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. = f ( x) ax bx cx d 0 = 6a + b - = a + b + c = a + b + c 0 = d. Ermitteln Sie die Gleichung der Wendetangente im Punkt W. / Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite von 5

5 B Extremwertaufgabe /15 In eine Halbkugel mit dem Radius r = 50 cm wird ein Kegel eingesetzt. Die Spitze des Kegels liegt im Mittelpunkt der Grundfläche der Halbkugel, die Grundfläche des Kegels liegt parallel dazu (siehe Skizze). Hinweis: Die Skizze zeigt die Halbkugel und den Kegel von der Seite. r y y-achse x r x-achse.1 Bestimmen Sie die Zielfunktion V, mit der berechnet werden kann, welcher Kegel das größtmögliche Volumen hat. π [zur Kontrolle: V( y) = ( 50 y y ) ] Geben Sie die Definitionsmenge von V an.. Berechnen Sie die Werte von x und y für den Kegel, der das größtmögliche Volumen hat.. Berechnen Sie das größtmögliche Volumen des Kegels in cm. Hinweis: Runden Sie das Ergebnis auf volle cm. /6 /7 / Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite von 5

6 B Integralrechnung /0 Eine Brücke hat eine Gesamthöhe von 60 m und eine Gesamtstützweite von 95 m. Sie umfasst 10 volle Bögen sowie je einen halben Bogen am linken und rechten Rand. In der unteren Abbildung ist die Seitenansicht der Brücke schematisch dargestellt. Der Rand jeder Brückenöffnung kann beschrieben werden durch den Graphen der Funktion f mit der 19 Funktionsgleichung f ( x) = x Der Graph der Funktion sei G. f G f Hinweis: 1LE ˆ= 1m.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. /. Berechnen Sie den Inhalt einer Brückenöffnung, das heißt die Fläche, die von Gf und der x-achse begrenzt wird.. Berechnen Sie den Gesamtflächeninhalt aller Brückenöffnungen. [zur Kontrolle: A ges = 150 m ]. Berechnen Sie die Seitenfläche der Brücke. [zur Kontrolle: A = m ].5 Beide Seitenflächen sollen einen Anstrich mit einem Speziallack zum Witterungsschutz bekommen. Ein Eimer Speziallack kostet 5. Der Inhalt eines Eimers reicht für 5 m aus. Berechnen Sie die Materialkosten.6 Der Durchgang durch eine der Brückenöffnungen soll teilweise verschlossen werden. Dazu wird in der Brückenöffnung eine Mauer errichtet, die 0,5 m hoch ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Seitenfläche dieser Mauer (in der Skizze grau schraffiert). /8 / /5 / /7 Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite 5 von 5

7 Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III 1.1 Da im Funktionsterm sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung oder f ( x ) f ( x ), f ( x ) f ( x ) 1. Nullstellen: f ( x ) = = 0 x + 6x 1x = 0 1 ( x x x ) Erste Lösung: x 1 = ( ) : ( ) N = + 1 x x x x x x x + x 1 = 0 x = ; x = 7 N N Schnittpunkte mit der x-achse: SX1 ( 0) ; S X ( 0) ; SX ( 7 0) Schnittpunkt mit der y-achse: f = ; S (0 ) ( 0) Y f ' x x x ( ) = + ''( ) 1 ( ) = 0 = + f ' x x x 5 x 1/ = ± xe1, 89 ; xe 0, 89, 89, f 0, 89, f ( ) ; ( ) ''(, 89) 1, 0 ''( 0, 89) 1, 0 f > ; Minimum f < ; Maximum Tiefpunkt: TP (, 89, ) Hochpunkt: HP (0, 89, ) 6 f ''( x) = 0 = x ; x W = 7 7 f ''' ( x ) = < 0 7 f = WP ( 0) ( ) 0 6 f x = x Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite 1 von 6

8 Erwartungshorizont B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung 1. S X 1 ( 0) ; S X ( 0) ; S X ( 7 0) ; S Y (0 ) TP (, 89, ) ; HP (0, 89, ) ; WP ( 0) f ( 8, ) = 6, 61; ( ) f, = 6, 61 BE/AB I II III f '( 1) = mt = ; m 7 n 1 7 m 11 = = ( ) t 7 n x = x + n n n( 1) = f ( 1) = n n = n( x) = x Bemerkung: Auch Berechnung mit gerundeten Werten für die Koeffizienten der Normale erhält volle BE. Grafik siehe untere Seite g des Dreiecks: l = 1+ x g N n( x) = 0 ; x + = 0 ; xn = 1, 69 ; lg = 1+ 1, 69 =, 69 linke Seite h des Dreiecks: 7 8 lh = n ( 1) = ( 1) + 1, Flächeninhalt: A =, 69 1, 71,. Der Flächeninhalt beträgt, FE.. 7 Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite von 6

9 Erwartungshorizont B Teilaufgabe.1 Beschreibung der erwarteten Schülerleistung Ansatz: f ( x) = ax + bx + cx + d = + + f ( x) ax bx c f ( x) = 6ax + b BE/AB I II III Bedingungsgefüge: 1. f ( 1) = 0 (Wendestelle bei x = 1). f ( 1) = (Wendepunkte W( 1 ) ). f ( 1) = (Steigung im Wendepunkt). f ( 0) = 0 (Graph geht durch den Ursprung) Gleichungssystem: I. 0 = 6a + b II. - = a + b + c III. = a + b + c IV. 0 = d Lösen des Gleichungssystems (auch Ersatz-LGS) ergibt: a = ; b = 1 ; c = 10 ; d = 0. Für die Funktionsgleichung gilt: f ( x) = x + 1x 10x y = m x + n T m = f ( 1) = mit dem Wendepunkt W ( 1 ) ergibt sich: 1 = 1 + n ; n = y T = x Die Gleichung der Wendetangente lautet: y = x T Summen der BE in den Anforderungsbereichen 11 0 Summe der BE 15 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite von 6

10 Erwartungshorizont B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III.1 x π y V( x, y) = ( Hauptbedingung) x + y = 50 x = 50 y ( Nebenbedingung) ( 50 y ) π y π ( ) ( ) ( ) V y = = 50 y y Zielfunktion Definitionsmenge y [ 0, 50]. π V ( y) = ( 50 y ) π 50 ( 50 y ) = 0 y = y 8, 87 cm x = 50 y = 50 x = x 0, 8 cm π x π y V( x, y ) = = 9 V( x, y ) 508 Das größtmögliche Volumen des Kegels beträgt 508 cm. Anmerkung: Auch richtige Rechnungen mit gerundeten Werten erhalten alle BE. Summen der BE in den Anforderungsbereichen 6 6 Summe der BE 15 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite von 6

11 Erwartungshorizont B Teilaufgabe Beschreibung der erwarteten Schülerleistung BE/AB I II III.1 Nullstellen: x + = x = 5 x = ; x = 15 N1 15 N. Ansatz für Flächeninhalt: A B xn xn1 ( ) = f x dx F x 19 = x x F 15 = 570 Stammfunktion: ( ) F ( 15) = 570 ; ( ) AB = F( 15) F( 15) = 110 Die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-achse ist 110 m groß.. Ansatz: 10 volle und halbe Bögen xn xn1 ( ) A1 = 11 f x dx = = 150 Die Gesamtfläche aller Brückenbögen beträgt 150 m.. Ansatz für Flächeninhalt: A = A A1 A = = 9700 (Rechteck) A 1 = 150 (Gesamtfläche der Bögen) A = = (Fläche einer Seite) Die Größe der Seitenfläche beträgt m = 980, 57 5 (Anzahl der Farbeimer: 981) = 15 (Materialkosten) Die Materialkosten betragen 15. Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite 5 von 6

12 Erwartungshorizont B Teilaufgabe.6 f ( x ) x + = x 1/ Beschreibung der erwarteten Schülerleistung = 0, , 5 x = 1 = ± A = A1 + A = (, ) + x + dx 75 7, 6 + 1, 9 1 BE/AB I II III Aufgrund der Symmetrie: Ages = A 610, m. Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 0 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 01 Herbst Seite 6 von 6