Abschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis I - Lsg.

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1 Analysis NT GS m7_nta_l.mcd Abschlussaufgabe 7 - Nichttechnik - Analysis I - Lsg.. Gegeben sind die reellen Funktionen f k ( x) und ID fk ( ) x k x k x mit k IR k IR. Der Graph einer solchen Funktion wird mit G fk bezeichnet.. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f k in Abhängigkeit von k. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. Funktionsterm: fx (, k) ( ) x k x k x Nullstellen: x k x k x BE x ausklammern und. binomische Formel anwenden: x( x k) auflösen, x. Fall: k : (/) dreifache Nullstelle k k. Fall: k : (/) einfache Nullstelle, (k/) zweifache Nullstelle. Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle von G fk sowie mit deren Hilfe die Koordinaten des Wendepunktes. [ Teilergebnis: x W k ] 6 BE. Ableitung: f ( x, k). Ableitung: f ( x, k) d d fx (, k) f ( x, k) x kx k x k Nullstelle: f ( x, k) auflösen, x k einfache NS Wendepunkt: f k, k k WP k, k m7_nta_l / 6.6.7

2 Analysis NT Krümmungsintervalle f ( x) negativ k positiv G f rechtsgekr. linksgekr. WP. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente t k. BE Steigung der Wendetangente: mk ( ) f k, k 9 k Tangentengleichung: tx (, k) mk ( ) x k f k, k 9 k x k k Vereinfachen: tx (, k) 9 k x k. Bestimmen Sie diejenigen Wert von k >, für den der Inhalt des rechtwinkligen Dreiecks, das von der Wendetangente und den Koordinatenachsen begrenzt wird, FE beträgt. 6 BE Schnittpunkt mit der x-achse: x ( k) tx (, k) 9 k x k auflösen, x 9 k Schnittpunkt mit der y-achse: y ( k) t (, k) k y Dreiecksfläche: Ak ( ) 9 k k x Ak ( ) 79 k Ak ( ) 79 k auflösen, k 9 9 9i ( 9) i Lösung: k 9 keine Lösung keine Lösung keine Lösung m7_nta_l / 6.6.7

3 Analysis NT. Nun sei k. Man erhält die Funktion f mit f ( x) ( ) x 6x 9x.. Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen die Funktion f echt monoton zunimmt bzw. abnimmt. Bestimmen Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte des Graphen. 7 BE. Ableitung: f ( x) d f ( x) x x Horizontale Tangenten: f ( x) x x x x auflösen, x Vorzeichentabelle f'(x) positiv negativ positiv G f sms smf sms Funktionswerte: f ( ) Extrema:. HP( / ) f ( ) TP( / ) HP TP G f ist streng monoton steigend in ] ; ] und in [ ; [. G f ist streng monoton fallend in [ ; ].. Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion f für. x in ein Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch den Wendepunkt und die Wendetangente ein. Maßstab: LE cm BE Wertetabelle "x-werte" "y-werte" m7_nta_l / 6.6.7

4 Analysis NT Wendepunkt: x W y W.667 Wendetangente: tx (, ) ( x)... HP WP TP Der Graph G f, die Wendetangente und die x-achse schließen zwei Flächenstücke ein. Markieren Sie das größere der beiden im Koordinatensystem von Teilaufgabe. und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts. BE Stammfunktion: F ( x) f ( x) x x. Teilfläche: A f ( x) A x. Teilfläche Dreieck: A A. 9 Gesamtfläche: A ges A A A ges. 9 m7_nta_l / 6.6.7

5 Analysis NT. Für einen Snowboard-Sprungwettbewerb wird eine Rampe präpariert. Die Teilnehmer starten von einer waagrechten Plattform ( AB), gleiten ab B( / ) ohne Knick durch die Rampe ( BC) und beginnen den Sprung im Punkt C( / ). Die Bahnkurve des Sprunges entspricht annähernd einer Parabel. Skizze des Querschnitts, Flugbahn gestrichelt gezeichnet: 6 A B C D. Der Querschnitt der Rampe ( BC) kann durch die ganzrationale Funktion dritten Grades rx ( ) beschrieben werden mit Tiefpunkt T( / Funktion. ). Ermitteln Sie den Funktionsterm rx ( ) dieser 9 BE Funktion. Grades: rx (, a, b, c, d) ax bx cx d. Ableitung: d r ( x, a, b, c, d) rx (, a, b, c, d) ax bx c Bedingungen für das Gleichungsystem: r (, a, b, c, d) d r(, a, b, c, d) ( ) a b c d r (, a, b, c, d) 7a b c r (, a, b, c, d) a b c Gleichungssystem lösen: abcd r (, a, b, c, d) r(, a, b, c, d) r (, a, b, c, d) r (, a, b, c, d) auflösen, a, b, c, d 6 a b 6 c d rx ( ) x 6 x x m7_nta_l / 6.6.7

6 Analysis NT. Die Kurve aus obiger Skizze wird durch folgende abschnittsweise definierte Funktion beschrieben: gx ( ) if x < ( ) x 9x x if x x x if < x Die Funktion ist stetig innerhalb ihrer gesamten Definitionsmenge (Nachweis nicht erforderlich). Begründen Sie rechnerisch, dass die Funktion an den Stellen x und x differenzierbar ist. 6 BE Ableitungsfunktion: g ( x) if x < ( ) x x if < x < 6 x if < x Nahtstelle x : linker Grenzwert: rechter Grenzwert: lim x lim x Funktionswert: g ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) Nahtstelle x : linker Grenzwert: lim x ( ) x x rechter Grenzwert: lim x Funktionswert: g ( ) 6 x ( ). Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes im abfallenden Teil der Rampe, in dem diese am steilsten ist. BE steilste Stelle Wendepunkt r ( x) r ( x) ( ) x x d r ( x) x 7 r ( x) x 7 auflösen, x r( ) 6. Wendepunkt: ( /. ) m7_nta_l 6 / 6.6.7